數字運算——容斥原理2015038容斥原理“容斥原理”一共有五種小題型，分別用五種不同的思路來解答。對于“兩集合容斥原理”：1.如果題目涉及的是這樣五個量①滿足條件A的數目②滿足條件B的數目③同時滿足條件A和B的數目④條件A、B都不滿足的數目⑤總數，那么選用“兩集合標準型”的標準公式作答；AUB=A+B-AnB=總-外2.如果題目涉及“只滿足條件A的數目”或者“只滿足條件B的數目”，那么標準公式無法解答，一般選用“兩集合圖示標數”來完成答題。容斥原理對于“三集合容斥原理”：1.關于滿足兩個條件的描述，如果題目只涉及①滿足條件A、B的數目②滿足條件B、C的數目③滿足條件C、A的數目，一般選用“三集合標準型”的標準公式作答；2.如果題目涉及“只滿足條件A、B的數目”，一般選用“三集合圖示標數”來作答；3.如果題目涉及“滿足一個條件的數目”和“滿足兩個條件的數目”，只給了我們一個總數而不是分項的數字，一般選用“三集合整體重復型”的公式來作答。容斥原理兩集合標準型核心公式：

滿足條件A的個數+滿足條件B的個數-兩者都滿足的個數=總個數-兩者都不滿足的個數【例1】（浙江2013-54）某班對50名學生進行體檢，有20人近視，12人超重，4人既近視又超重，該班有多少人既不近視又不超重？()

A.22人

B.24人

C.26人

D.28人將題干數據帶入到核心公式中：20=124=50-x答案為A選項若問題之近視不超重，或只超重不近視的，則不可解容斥原理【例2】（天津2013-12）有70名學生參加數學、語文考試，數學考試得60分以上的有56人，語文考試得60分以上的有62人，都不及格的有4人，則兩門考試都得60分以上的有多少人？（）

A.50B.51C.52D.53核心公式：56+62-x=70-4數學及格+語文及格-語文數學都及格=總數-不及格X=52容斥原理——兩集合圖示標數型核心公式

涉及到兩個集合的容斥原理問題時，如果題目提及“只滿足某1個條件”的數目，那么我們無法通過標準的兩集合容斥原理公式得到答案。這時，推薦大家利用簡潔的“文氏圖”標數得到所求結果。圖示標數的關鍵是：從最中間“兩個條件都滿足”的數字入手。【例3】（北京2013-73）一批游客中每人都去了A、B兩個景點中至少一個。只去了A的游客和沒去A的游客數量相當，且兩者之和是兩個景點都去了的人數的3倍。則只去一個景點的人數占游客總人數的比重為（）

A.2/3B.?C.4/5D.5/6答案為B選項

11.51.5AB容斥原理【例4】（國考2014-67）工廠組織職工參加周末公益活動，有80%的職工報名參加，報名參加周六活動的人數與報名參加周日活動的人數比為2：1，兩天的活動都報名參加的人數為只報名參加周日活動的人數的50%。問未報名參加活動的人數是只報名參加周六活動的人數的？A.20%B.30%C.40%D.50%總數為10個人，未報名人數為2，答案為2/5，C選項12

5六日容斥原理——三集合標準型特別注意：上式左邊代表至少滿足三個條件之一的情況，也等于總數減去三個條件都不滿足的情況。【例5】（安徽2011-15）如圖所示：A、B、C分別是面積為60、170、150的三張不同形狀的卡片，它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為280，且A與B、B與C、C與A重疊部分的面積分別是22、60、35。問陰影部分的面積是多少？（）

A.15B.16C.17D.18三集合容斥原理公式：280=60+170+150-22-60-35+x，x=17，C選項容斥原理——三集合標準型【例6】（2012年421聯考－54）某公司招聘員工，按規定每人至多可投考兩個職位，結果共42人報名，甲、乙、丙三個職位報名人數分別是22人、16人、25人，其中同時報甲、乙職位的人數為8人，同時報甲、丙職位的人數為6人，那么同時報乙、丙職位的人數為：

A.7人B.8人C.5人D.6人42=22+16+25-8-6-x+0x=7容斥原理——三集合圖示標數型【例7】外語學校有英語、法語、日語教師共27人，其中只能教英語的有8人，只能教日語的有6人，能教英、日語的有5人，能教法、日語的有3人，能教英、法語的有4人，三種都能教的有2人，則只能教法語的有多少人（）

A.4人B.5人C.6人D.7人當題目條件不能直接代入標準公式時，我們可以考慮利用圖示配合，標數解答。1.特別注意“滿足某條件”和“僅滿足某條件”的區分；2.特別注意有沒有“三個條件都不滿足”的情形；3.標數時，注意由中間向外圍標記。容斥原理——三集合整體重復型【例8】（陜西2013-78）五年級一班共有55個學生，在暑假期間都參加了特長培訓班，35人參加書法班，28人參加美術班，31人參加舞蹈班，其中以上三種特長培訓班都參加的有6人，則有（）人只參加了一種特長培訓班。

A.45B.33C.29D.2255=x+y+694=x+2y+18得出y=27，則x=22容斥原理——三集合整體重復型【例9】（北京2014-80）某旅行團共有48名游客，都報名參觀了三個景點中的至少一個。其中，只參觀了一個景點的人數與至少參觀了兩個景點的人數相同，是參觀了三個景點ACB的人數的4倍。則需要為這些游客購買多少張景點門票？

A.48B.72C.78D.84W=x+y+z

A+B+C=x+2y+3z；根據題干條件：x=y+z=4z，求A+B+Cy=3z，x=4z，代入上式得出z=6，則x=24，y=18答案為？容斥原理——三集合整體重復型【例10】（春季聯考2013-42）有100人參加運動會的三個比賽項目，每人至少參加一項，其中未參加跳遠的有50人，未參加跳高的有60人，未參加賽跑的有70人。問至少有多少人參加了不止一個項目？（）

A.7B.10C.15D.20100=x+y+z120=x+2y+3z(120=50+40+30)題干求的是y+z，通過判斷得出答案