連續時間信號和系統的頻域表示與分基本概 重點與難周期信號的傅里葉級數分析三角形式傅里葉級數的三角形式傅里葉級數為J oouooo式u

標準三角形式

u u 為基波角頻率 兩種三角形式系數的關系為

o oc d c o dtKc doK 指數形式的傅里葉級數復指數形式的傅里葉級數 uo其中系J fo 指數形式與三角形式系數之間的關系為fd G c f bc G G

P K P

GoG f bo G kJn 周期信號頻譜特點周期信號頻譜具有離散 諧波 收斂周期信號的對稱性信號對稱性與傅里葉系數關系信號對稱條件與傅里葉系數關系如 所 對稱條件與傅里葉系序對稱條件傅里葉系數I僅有不為零的系數偶函gJbo奇函 gIo奇諧函數 UULoueuKo為奇o偶諧函數Jgu UULoueuKo為偶o奇函數奇諧函o奇函數偶諧函o偶函數奇諧函o偶函數偶諧函ULoueuKo為偶 坐標軸的影響橫軸上 下移動K可改變直流平均值分量使得隱藏的對稱條件顯現N而縱軸的左右移動K僅改變相位o傅里葉變換

kJ& K &kf kKJGIuJk特別I&KI 常用函數的傅里葉變換對

I常用函數的傅里葉變換對如 所 常用函數的傅里葉變換序時域gI頻域IJvbbGk KI JI KGIb IJbJfvJIJ IJKIJ I KGI } I R`h J I o_}_ IoJ I J_}_ 頻帶寬度 或 IIkI 傅里葉系數Go與頻譜函數G的關系I 傅里葉變換性質及定理已QIQGIQGI傅里葉變換性質及定理如 所 傅里葉變換性質及定序名稱時域頻域線延uuGkfku尺}bGb頻移kGk kt kJGk kok kJGk k時域微分kGkJGk時域積分u&gIek IJI 頻域微分GIkoGI e對稱G為實偶函數gIJIJ時域卷積gg復頻域卷積ggkkJ系統的頻域分系統的頻響函數

IkZk IIIkJ其中KbII是系統的幅模頻特性NI是系統的相頻特性系統函數的求解方法MIJ由微分方程求解IkIqIJ由求解K即mIkJNIJ由頻域電路系統求解無初始儲能的動態元件時域與頻域電壓電流關系分別表示為w e I I w

MumWM kMJMDIe DIDD 式中kM為頻域的感抗值K是電感的頻域表示N為頻域的容抗值K是電容的頻域表示k兩式右邊的頻域表示均滿足頻域廣義歐姆定律系統的頻域分析J周期正弦信號的響應正弦周期信號JBI 通過系統函數為bIIkIJ的響應JBIIPu IJ J非正弦周期信號的響應激勵為 gUJb oou 響應 zUJ oo oDobIoK o周期非正弦信號通過線性系統響應求解的計算步驟為IJ將激勵gU分解為無窮多個正弦分量之和K即展開為傅里葉級數IkIIIIII J利用正弦穩態分析法計算第o次諧波的響應為oJoou IJ各諧波分量的瞬時值相加UJJJ ooo o實際處理時K可以根據U的收斂情況系統帶寬等因素K從第I步就取有限項J非周期信號的響應JmZk Ik無失真傳輸系統IJ線性失真振幅失真系統對信號中各頻率分量的幅度產生不同程度的衰減放大相位失真系統對信號中各頻率分量產生相移與頻率不成正比IJ無失真傳輸系統的單位沖激響應為JluuJIJ無失真傳輸系統的頻響函數為QIk }Ik理想低通濾波器與物理可實現系統理想低通濾波器的沖激響應與階躍響應理想低通濾波器的傳遞函數為IkIk

}_d式中Kd是通帶截止頻率Nu是相位斜率或群時延JIJ沖激響應d

}}`IJ階躍響應

dPuud I式中

j du頻帶寬

jz&y&IJ從振幅衰減的角度定義頻帶寬度M例如頻譜響應函數的第一般 個零點IIJ是從能量的角度定義頻帶寬度若以零頻或幅度為為基準K定義能量的對數 }IIJ}h}II d處K信號能量減半K其對數衰減}II}II}J 以能量下降eC的頻率間隔作帶寬K適用于有一主峰的濾波器IJ以主要能量或功率集中的頻帶范圍為信號帶寬K可以從能量平均功率的角度確定系統的帶寬 能量及功率信號的帶寬分別為I &g或 X&}G }AU n gIUAU&UL 式中K為比例系數K一般MUJ系統是物理可實現的時域MUJ系統是物理可實現的時域準則是系統的單位沖激響應滿足因果性K即JuI 與頻域相關的是佩 維納若準則K即系統的幅度函數bIIb滿足平方可&IIJe K物理可實現系統的必要條II e時域采樣與恢復插值時域采采樣信號表示為式中K是周期為

的周期開關函數K相應的采樣頻 采樣 號的頻

tGI I ooGIo當開關函數是周期沖激序列時也稱理想采樣KtI GIoUI oUt采樣定采樣定理M一個頻譜受限信號的最高頻率為gK則可以用不大于 時間間隔的采樣值惟一地確定通常把允許最低的采樣頻率t gn定義為奈奎斯特頻率N把允許最大的采樣間隔U 定義為奈奎斯特間隔 t也稱為折疊頻率N信號恢

利用幅度為K相移為的理想低通濾波器可以恢復原信號K即JJ UJuoUJ I oUuoU o式中K低通濾波器截止頻率應滿足Mn0d0 相關系J為兩個確定信號K誤差能量定義為 uJ&yu &z相對誤差能量定義為&y&&式中K L為相關系&y&z相關系數滿足關系Mbyzb0K特別 J線性相關K形狀完全相似K誤差能 J線性相關K形狀完全相反K誤差能 J線性無關K形狀完全不同相關函IJ互相關函數

JH

H同理

IJ&yuz uSzy

H JH zuy y 若J均為實能量信號K

IJ& u& u& 定義兩個功率信號J的互相關函數為H SIJ ULH 若J均為實功率信號K

UA UL UL UA UA&ULH UL &UA UAIJ自相關函數自相關函數SyyI一般用SI表示SS

IJ

u u

Hu若為實能量信號K自相u

IJSJ& u& 若為功率信號K自相關函數表示為

H 若為實功率信號K自相關函數表示為SIJIJ UL UAIJ歸一化相關函數與許多參數類似K相關函數還可以作歸一化處理歸一化自相關函數歸一化互相關函數

相關系數與歸一化函數的關系相關性

IS 為使下面的討論更簡捷K假定信號均為實信號I SyzIJSzyI

IJ& u& ISI是的偶函數K即JIJISIJ&yuFSI是的能量ISISIJIJ周期函數的自相關函數也是同周期的函數I }o}o相關的計算方法方 對u有M_ 左移N` 右& &方 zIJ對u有M_u相對波形右移N`u相對波形左移 SyzJIuJ相關定則同理可

yJmmSyImYZHIJzz

mYHJ則YIIJ若是實偶函數K則相關定理與卷積定理結果相同JIuJJmYJYI YYIJ YJ能量譜和功率譜歸一化能量歸一化平均功率

F&gULg Gbdo信號的方bdo

ULgULgIJ能量譜密度函數定義

能量的頻域表示為

III I & &式中的單位為焦L赫茲能量譜密度函數與自相關函數的關系IJ功率譜密度函數定義

IInU平均功率的功率譜密度表示QgJ UA

UAg I I & &式中KQ的單位為瓦L赫茲JSI與功率譜I的關系表示為SI&

IkkI &If習題解選擇IJ如題 圖所示周期信號其傅里葉系數中G等于I IJ如題 圖所示周期信號其傅里葉系數中G等于I UL

K所以是

UL K周期信號的雙邊頻譜如 圖所示K求的三角函數表示 由 圖可知基波頻 Ko

fuJufkGG 周期矩形信號如 圖所示K如果它的重復頻率 lK脈K幅度F WK求直流分量的大小K以及基波二次三次諧波的振幅值解是偶函數K只有余弦項KdoVnoboL&ouu o&o

LUF J U其中KVno為第o次諧波振將參數代入除dG外 g I IoI o Io G o o I o I 周期矩形信號如 圖所示K如果g的參數為重復周期 K脈K幅度 WKg的參數為重復周期 K脈 KWK分別IJg的譜線間隔和帶寬第一零點位置頻率單位以lI{表示NIJg與g的基波幅度之比 IJ譜線間 U帶 XIJ譜線間隔

帶 X

IJg的傅里葉 F J g的傅里葉

oUo F Uo

og的基波振幅為d Kg的基波振幅為d Kg與g基波幅度之比為 試求 圖所示周期信號的傅里葉級數 U 提示M先觀察g與gJgJg的關系K再利用g的傅里葉級數K求gJgJg的傅里葉級數K可以減少計算量 令g UYU的一周為g利用

求傅里葉系數g UJJ UI

Uk

U It JkUUGk o

Go

I U I II k} U

I因gJg o oGo

I I Ifo gJgJg所 Go GoJGo fkoI I oogJgJgoGo GoJGo

fkoI o I o試求 圖所示半波整流余弦脈沖的傅里葉系數 U FIo F Ju J UP J o J Fn J F o to o

Ft

UP IQF UF UF oF或 t

ooJ FI o o r o FI oo o oIo

o FI FPI I I I I I I 試求 圖所示半波整流正弦脈沖的傅里葉級數 方 U半波周期余弦為g g P J oI ouooo Jo

I

tout FI o

ouJI FI o FIuJFPt I I I t I I 方法 F Ju J U&Foou P P

Ju J J UUP FI o oJ I Qo- oJ F&&

FII

uu F FIo U& Ju JFo JuJo F J UP P FI o o ULFou

FUL t 或c PFo Fo o P bFo FI obFo FIuJFPIuJIuJIuJQFPIuJIuJIuJIuJQ求題 圖所示周期性鋸齒形信號的頻譜函數 圖令g UYU的一周為g利用

求傅里葉系數gJ JuUJQ Jg GI GI k Go

I}

UkU o koUU Uk UGo kKGo圖gJgI所GoJGIo oG利用信號的對稱性K不用計算傅里葉級數的系數K定性判斷題 圖所示各信 圖平均值不為零K將橫軸上移至平均值處K可見是偶函數奇諧函數K所以有直流 余弦奇次諧波圖平均值為零K是奇諧函數K所以有正余弦奇次諧波圖平均值不為零K將橫軸上移至平均值處K可見是奇諧函數K所以有直流正弦 圖平均值不為零K將橫軸上移至平均值處K可見是偶函數偶諧函數K所以有直 余弦偶次諧波已知周期函數在YUL的波形如 圖所示K根據下列要求繪 UYU的波 I是偶函數K只含偶諧波NI是偶函數K只含奇諧波I是偶函數K含有奇偶諧波NI是奇函數K只含偶諧波NI是奇函數K只含奇諧波I是奇函數K含有奇偶諧波 IJ偶函數K只含偶諧波K其波形如題 圖所題 IJ偶函數K只含奇諧波K其波形如題 圖所題 IJ偶函數K含有奇偶諧波K其波形如題 圖所題 IJ奇函數K只含偶諧波K其波形如題 圖所題 IJ奇函數K只含奇諧波K其波形

圖所題 IJ奇函數K含有奇偶諧波K其波形如題 圖所題 信號波形如 圖所示K波形參數 U K設計適當的電路 解 gU

K諧波N即只含有 K K lKK所以適當電路只能提取 試求 圖所示函數的傅里葉變 圖

P P u

J UgU

FuUJ

Fu Ug如題 圖所題 I U k gumG FTbIJFIf t kI GI PIU IU PIU IUk圖 F J Ug g FJFJuUGIJ FUTb f II

GI

ITbIJ k k gJ JuUJQgJ FPJuUQmGI FPfkUUI

IJ gg如題 圖所圖

題 JFoJuUJQgo 圖所題 gJJuUJQmFIfk mI FI JU I JUQkQ 因為fk K所I F I IfkUf IUJkf試求 圖所示信號的傅里葉變換 解g F J J J 解gmGI FP

J

k QF I GI J gJg如題解 圖所示特別的K IJ bI 或k B IJ如題 圖所題 gJmkI&uI &I I并解釋其結果&ku& I II I&u是信號的直流分量I

If

I &I gI 時的大小相 試利用傅里葉變換的性質K求 圖所示各信號的頻譜函 I 圖利用已知hm 與移位特性KIgJh Jh I IGkJ I II圖利用已知hm IgJhIuJGk J J J 已知函數的頻譜函數IJ如題gJ& & fe kukuf Bou 或利用對稱性h Km得 I I BI 試利用傅里葉變換的性質K求 圖所示各波形的傅里葉變 圖利用已知hm I制特性K得gJhGk I J圖M利用如題 圖所示已知信g與調制特性K題 gJm bIgJgGk bI I J圖利用已知h IgJh t GkJ JfkIJI fk JQI Jk試求下列函數的傅里葉變換IJgJfN JJ Jf I GkkIJ利用實偶函數對稱性K mI I將I中的A A代入gJJJmk I I I JJvGkJ Jffkf mGk

e uJGIkuIJu IJu IueN IJeJfkuN uI&N IguJNIJIu IJu gI I g J 函數有移位與乘u運算頻域微分變換J線性變換 mkfk再乘u運 kfke最后線 kfk kfkeGkfk fkGkJ kGkJGkfk fkGkJJ ku函數有調制運算乘頻域微分變換J及線性變換先調制 kuJmk kfk再乘 kuJmke kfke最后線 gJku kuuGkJGkk kfku

函數有微分與乘u運算先微分 emkGkJu再乘u ueJ GIJ ePGJQ IJ eIJ Gk JJ先微分 emkGkJu再調 eJfkumGkJ kJ

u函數有積分與移位變換先移 Jmkkuk

k再積

&ymGk

kJIJguJ先尺度 PI PI Jmk

ke GII g I J J 函數有移位與乘u運算頻域微分變換J線性變換 mkfk再乘u kekfkQ Gkfk k最后線 gJ J GkJk kfk GkIJ gJ g

g gI I I函數有尺度乘u運算頻域微分變換J及線性變換先尺

mk m再乘 m

IJ

PGku最后線 g

I IGkJkePGkJQ kJkGkJ kJ若h是幅度為K寬度為的矩形脈沖KU是以U為周期的沖激序列試求下列函數的傅里葉變換 uhI uhIJUHPhtIPUhQt 已 h IJ利用線 Ih

h ht令 K再利用調制特性KGI b bI JIJ先利用調制特性

htumGI Tb b

Tb 因 UuJm I oo再卷 g UHhtQm bI GI R QoSoIJ先卷 h IJ o I再調 g PUHhQt則

Io J ooGI

o

oQP 試求下列函數的傅里葉逆變換IJGk I k

kk IJGk I I Gk II

gJ vJI Gk k kQgJ fIkJufIkJu fQI Gk mfk

fe J JfI Gk I J J J JQ J 所g

_試求 圖所示函數的傅里葉逆變 MI I IJ IJ P G }f g B P M f kKg u ku B B

kfBfBu

uI J ku Btu I uBoIu利用傅里葉變換的對稱性質K求下列頻譜函數的傅里葉逆變換IkJ IJGkJvIJNIJGkJ J IJ方 g u &方 G uumfk gIbI

I Gb mu并乘系 K所 I k IJ GIJvIJ IJ IuJ G I Ic u并乘系 K

g I I k J JuuJuuJmuuJ dIJ偶對稱 muK mu并乘系數 gJ I 圖所示波形中K若已知gmk試求gJg的傅里變 gJgI先時 gIJmGk再尺 gIuJmGIkfk所GkJGIkfkg是周期為 的周期函數K其一周的表示及其傅里葉變換 _ gJ _u_ IJgu IuJ mG _g的基波角頻 K傅里葉系UG JGI GIoJGo g的傅里 GIoG f g的傅里葉變IQ GIoJG og oGIoJG o所GkJ oQ oou&試計算并利用該結果證明u&&&

y 利用對稱性hm K mI KI IJm即QhIh因為u是偶函數Ku

又I

GPQ fk &uK& I&uu&u求 圖所示信號的頻譜函 M gJu gJ Jmfk GI 方 I I k I m

I gJ J Jm 圖gJu JvIu Juu Ju 無直流方法 gJ Ju IJhGI Ik方 將g分解為兩個函數gJgJgJ其gJu JvIu IJ kvI

I kJ JvI kg u J gg J JQP IJk fkJ IJ IGIm IJ IJ GIJGIJGI Ik圖gJvIuJu Ju Ju 有直流g的平均值J為L方 因 Ig J m Ik GIJ IJ IJk方 將g分別為兩個函數gJgJg其gJvIuJ h LJ GI k I kk fkgJ J J JQJ J J J fk fk IGI IfkL

k kkI kGIJGIJGII fk I圖 g h h而h I I I所GI I 試利用能量定理計算積分 由能量定&g &GI令

hbIJIb所選擇

g&

bIJe kgHguJ IJ IJIJGkGGDJGkk EJGkkI IFJkkkguguJ IJ IJIJGkGGDJGkk EJGkkI IFJkk IJIuJ kK所以 IJ I答案是JN GIJ gIJHgum GIGk IJIuJ I所以答案是J GIJgIJmGk 已知信號的頻譜函數kJ如 圖所示K求u為零時的函I解

I &I 已知信號如 圖所示K求其頻譜函數kJ中的直流分量I解I&若系統頻率特性IIJuNIJfJ

K試求下列各激勵信號的響應k I Ik

fk o o tuI ZkJkIk 設系統的微分方程為eJ eJ eJ eJ 若輸入Jf試用傅里葉分析法求響應 Ik

k

kk k kIk

k k fufu 試求 圖所示系統的頻率特性II其中為激勵為響應為了使系統能無失真的傳輸信號IJIJJ IIkZk

k kkJ SS Sk SkSSJI LJSS SkJ SS SSk kJ Sk SS SS S SJk比較同次項系數S S J I 得到 IkI IkSI IkSk Sk kD kSkD

SD DkDSkD kDSD SDS JSDS SS DIk D SS D比較同次項系數解出S SDK

SS D SIk SIkDSJ kD某線性非時變系統的頻率響應Ik

}_ } L若系統的輸入激 o K求系統的輸出響應 u gJumGI hIu o I P tum ZI Jh ZJ hI JhI Jou tIZI 圖所題 若濾波器的頻率特性如題 圖所示K當輸入J ouJLu時K求輸出J Jou IkJhIZkJkIkJIko Iu 濾波器的頻率特性如 圖K當輸入波形如 圖時K求出 解為周期函數K其周期 N將展開為傅里葉級數K其傅里系數 k只有直流與基波分量可通過 圖所示濾波器其直流與基波的傅o葉系數

I o o Ioookkoooog k fk ogk因直流是放大倍K基波分量直通J不變K所 o o如 圖所示系統K其g u _ogJ _}_}_題圖}LIk求系統的輸出響應I g ogg uu IIJ 且有L移位時延J的低通濾波器K所 低通濾波器頻率特性為IkJvIJvI當輸入為下列信號時求響IouNuIJou IgJuk J uZk kIkJ J IuJI JoumkJ J uZk kIkJ J IuJ如 JgJtKIk 圖所示的帶通濾波器II 試求 ggJtu utuJIkJ是只能通過_0 無移位時延J的帶通濾波器K即kJ 其

Ik Ik tu已知理想低通濾波器的系統函數 I }_ 激勵信號I L}I傅里葉變換為GIJ K求該理想低通濾波器的響應I 由k TbIKJhJ J 截止頻率為dK相移 u的理想低通濾波器的階躍響應 Puud本題系統可認為是截止頻率 LK相移為零的理想低通濾波器K所以其輸出 P JQP 如 圖所示系統IIkJ為理想低通濾波器K其頻響特性分別求IJ

Ik

}_}IgJ LJ時的響應u 系統頻響Ik

u }_} IJI I Zk

PI fku u }_截止頻率為dK相移 u的理想低通濾波器的階躍響應 Puud

}本題系統可認為是截止頻率d K相移分別為u及 uUJ的兩個理想低通濾波器的并聯K所以其輸出為 uuJu I LJ I hI vI J fku u }_ Zk

}JPuPu UQ激響

如 圖所示理想帶通系統的頻響特性K該系統是否物理可實現求其 系統不滿足維 辛欽準則K所以是非因果系統K是物理不可實現令 }0II i u }}`因Ik I JI 所 iIdPuuId求如 圖所示的頻譜函數GI并粗略估計其頻帶寬 k IC X已知某系統的輸入為J時K輸出為Ju判斷系統是否為無失真傳輸系統 是否物理可實現系統Zk k

kfK滿足不失真傳輸條件K但由于響應超前激勵K因此是物理不可實現系試確定下列信號不失真均勻抽樣的奈奎斯特頻率與奈奎斯特間隔Ih或K將m IIIh或K將m I Im則JI h I hIJgI 圖所示K信號的最高角頻 K信號的最高頻 信號的奈奎斯特頻率 信號的奈奎斯特間隔U t

題 JIIJ其對應的傅里葉變換為

gI 卷積后的gIJ頻譜展寬為gIJ頻譜的兩倍K如題解 所示K最高角頻率 K信號的最高頻率gn 信號的奈奎斯特頻率 信號的奈奎斯特間隔 tIJ JI

I GJGIgIJgIJgIG信號的最高角頻 K信號的最高頻率n信號的奈奎斯特頻率 信號的奈奎斯特間隔U tI JI JIIG第一項的最高角頻 K第二項的最高角頻 K所以信號的最頻率 信號的奈奎斯特頻率 信號的奈奎斯特間隔U t今對三個正弦信號ybJtuKybJtuKybJtu進行理想采樣K采樣頻率為tK求三個采