矩陣位移法1

一、矩陣位移法的基本思路

矩陣位移法的兩個基本步驟是（1）結構的離散化；（2）單元分析；（3）整體分析，任務意義單元分析建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成單元剛度矩陣用矩陣形式表示桿件的轉角位移方程整體分析由變形條件和平衡條件建立結點力與結點位移間的剛度方程，形成整體剛度矩陣用矩陣形式表示位移法基本方程2指桿件除有彎曲變形外，還有軸向變形和剪切變形的單元，桿件兩端各有三個位移分量，

符號規則：圖(a)表示單元編號、桿端編號和局部座標，局部座標的座標與桿軸重合；12eEAIl(a)圖(b)表示的桿端位移均為正方向。單元編號桿端編號局部座標12(b)桿端位移編號12桿端力編號(c)二、桿端位移、桿端力的正負號規定一般單元：3eee局部坐標系中的單元剛度方程EAl6EIl2

6EIl2

EAl12EIl3

12EI

l34EIl2EIlee=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI

l206EIl20-EAl-6EIl2-6EIl2

EAl-12EIl3

12EIl32EIl4EIl000000-6EIl206EIl20只與桿件本身性質有關而與外荷載無關局部座標系的單元剛度矩陣4§13-3單元剛度矩陣(整體座標系)exyX1Y1X2Y2eeeee座標轉換矩陣一、單元座標轉換矩陣正交矩陣[T]-1=[T]Teeee??5三、單元剛度矩陣的性質（1）單元剛度系數的意義e—代表單元桿端第j個位移分量等于1時所引起的第i個桿端力分量。（2）單元剛度矩陣是對稱矩陣，e即。（3）一般單元的剛度矩陣是奇異矩陣；e因此它的逆矩陣不存在從力學上的理解是，根據單元剛度方程eeeee由有一組力的解答(唯一的)，即正問題。ee由如果e不是一組平衡力系則無解；若是一組平衡力系，則解答不是唯一的，即反問題。[k]=[T]T

ke[T]e二、整體座標系中的單元剛度矩陣6§13-4連續梁的整體剛度矩陣按傳統的位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每個結點位移對{F}的單獨貢獻F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2123={F}=[K]{}根據每個結點位移對附加約束上的約束力{F}的貢獻大小進行疊加而計算所得。傳統位移法7一、單元集成法的力學模型和基本概念分別考慮每個單元對{F}的單獨貢獻，整體剛度矩陣由單元直接集成i1i212123F3{F}1=[F11F211]TF11F21F31令

i2=0，則F31=0[k]=4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i100000單元1的貢獻矩陣單元1對結點力{F}的貢獻略去其它單元的貢獻。8i1i212123F12F22F32[k]=4i22i24i22i22F12F22F32=4i12i14i12i1000001232[K]{}{F}=2設

i1=0，則F12=0[K]=24i12i14i12i100000單元的貢獻矩陣F3{F}2=[F12F222]T單元對結點力{F}的貢獻略去單元的貢獻。91[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i1000002[K]{}{F}=2[K]=24i12i14i12i100000i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12ee[k][K][K]ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}12{F}=[K]{}整體剛度矩陣為：單元集成法求整體剛度矩陣步驟：根據單元和單元分別對結點力{F}的貢獻，可得整體剛度方程：10[k][K][K]ee12[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12i14i12i100000[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2整體剛度矩陣:11二、按照單元定位向量由[k]求

e[K]e(1)在整體分析中按結構的結點位移統一編碼，稱為總碼。(2)在單元分析中按單元兩端結點位移單獨編碼，稱為局部碼。以連續梁為例121231(1)(2)2(1)(2)位移統一編碼，總碼單元12對應關系局部碼總碼單元定位向量e(1)1(2)21=(1)2(2)32=確定中的元素在中的位置。為此建立兩種編碼：[k]

e[K]e位移單獨編碼局部碼由單元的結點位移總碼組成的向量12（3）單剛[k]

e[K]e和單元貢獻中元素的對應關系單元單元[k]=4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=[K]=11230000000004i12i12i14i1123[k]=4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=[K]=20000000004i22i24i22i2123123單元定位向量描述了單元兩種編碼（總碼、局部碼）之間的對應關系。單元定位向量定義了整體坐標系下的單元剛度矩陣中的元素在整體剛度矩陣中的具體位置，故也稱為“單元換碼向量”。單元貢獻矩陣是單元剛度矩陣，利用“單元定位向量”進行“換碼重排位”。13三、單元集成法的實施（定位累加）[K]123123000000000[k]110000000004i12i12i14i1123123[k]224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123（1）將[K]置零，得[K]=[0]；（2）將[k]的元素在[K]中按{}定位并進行累加，得[K]=[K]；（3）將[k]的元素在[K]中按{}定位并進行累加，得[K]=[K]+[K]；按此作法對所有單元循環一遍，最后即得整體剛度矩陣[K]。1412i1i2i3312301230=0（1）結點位移分量總碼（2）單元定位向量1=2=3=（3）單元集成過程[k]=4i12i14i12i111221[k]=4i22i24i22i222332[k]=4i32i34i32i330330[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2例.求連續梁的整體剛度矩陣。15四、整體剛度矩陣[K]的性質（1）整體剛度系數的意義:Kij－j=1(其余=0)時產生的結點力Fi（2）[K]是對稱矩陣（3）對幾何不變體系，[K]是可逆矩陣，如連續梁i1i2123F1F2F3{F}=[K]{}{}=[K]-1{F}（4）[K]是稀疏矩陣和帶狀矩陣，如連續梁123F1F2F3123nnFnn+1Fn+10000000000000000000000000000000000004i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in16§13-5剛架的整體剛度矩陣思路要點：（1）設各單元已形成了整體座標系下的單元剛度矩陣；e[k]（2）各經由e{}進行累加集成[K]。與連續梁相比：(1)各單元考慮軸向變形；(2)每個剛結點有三個位移；(3)要采用整體座標；(4)要處理非剛結點的特殊情況。一、結點位移分量的統一編碼——總碼ABCxy123004000結點位移總碼{}=[1

234]T規定：對于已知為零的結點位移分量，其總碼均編為零。=[uA

vA

A

C]T整體結構的結點位移向量為：相應地結點力向量為：=[XA

YA

MA

MC]T{F}=[F1

F2

F3

F4]T①②17x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)單元結點位移分量局部碼二、單元定位向量單元單元局部碼總碼局部碼總碼（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）4（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）0三、單元集成過程①②ABCxy12300400結點位移總碼②①0(4)(1)(4)181ABC2xy123004000121234[K]=123400000000000000001[k]=000000000000000000000000000000000000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566123004123004111213212223313233616263661626361112132122233132332[k]1230001230001112131415162