第六章

線性反饋系統的時間域綜合

重慶大學自動化學院柴毅魏善碧系統分析與綜合綜合與分析是相反的一個命題。系統的狀態空間描述的建立為分析系統的行為和特性、對系統按期望的性能指標進行控制提供了可能性系統分析：揭示系統狀態的運動規律和基本特性系統分析：運動的定量變化規律，運動的定性行為系統綜合：按照期望的性能指標確定控制規律性能指標：非優化型和優化型控制規律：輸出反饋和狀態反饋反饋系統綜合綜合問題已知系統的結構和參數，以及所期望的系統運動形式或某些特征，確定的需要施加于系統的外輸入作用及控制作用的規律。控制作用取為反饋形式反饋控制：有效抑制外部擾動、減小內部參數表化的影響反饋系統綜合學習目標把握系統綜合和受控系統的概念正確理解線性定常系統的狀態反饋和輸出反饋并掌握其主要區別掌握研究綜合問題的綜合理論和綜合方法掌握典型形式性能指標的反饋綜合方法正確理解狀態觀測器的基本概念和應用反饋系統綜合主要內容線性定常系統的反饋控制綜合典型形式性能指標可綜合性理論和反饋控制綜合算法狀態觀測器反饋系統綜合重點難點綜合問題的綜合理論和綜合方法典型形式性能指標的反饋綜合方法狀態觀測器及應用第6章

線性反饋系統的時間域綜合6.1引言

6.2狀態反饋和輸出反饋

6.3極點配置問題：可配置條件和算法

6.4鎮定問題：可鎮定條件和算法

6.5解耦控制問題：可解耦條件和算法

6.6狀態重構問題和狀態觀測器

6.8引入觀測器的狀態反饋控制系統的特性6.1引言(1)分析已知系統結構和參數及外輸入作用，研究系統運動的定性行為（如能控性、能觀測性、穩定性等）和定量的變化規律（狀態響應）。(2)綜合已知系統結構和參數，以及所期望的系統運動形式或某些特征。確定需要施加于系統的外輸入作用，即控制作用的規律控制作用規律通常取為反饋形式(優勢：抗擾動、抗參數變化)

分析與綜合(3)綜合問題的提法系統的綜合問題包括：受控系統、性能指標、控制輸入

綜合：尋找一個控制作用u，在其作用下使受控系統的運動滿足所給出的期望性能指標。6.1引言

受控系統：綜合問題的對象，為連續時間時不變系統6.1引言

控制作用依賴于系統的實際響應：

1）狀態反饋控制

2）

輸出反饋控制其中：

為

常陣，狀態反饋矩陣。

為

常陣，輸出反饋矩陣。

為參考輸入向量。所導出的閉環結構的控制系統，分別稱為狀態反饋系統和輸出反饋系統。（4）系統綜合就是對給定受控系統，確定反饋形式的控制，使所導出閉環系統的運動行為達到或優于指定的期望性能指標。要求：期望的性能指標、某些特征向量、或某種期望形式、或極小（或極大）值一個性能函數。綜合：確定控制u的規律和形式及其工程實現中的理論問題設計：還要考慮控制u的實現問題(如電路、元件、參數等)6.1引言6.1引言性能指標的類型

優化型性能指標：對于狀態X和控制u的二次型積分性能指標綜合任務是要確定一個控制u(·)，使得在相應的性能指標J(u(·))取為極小值。控制u(·)稱為最優控制，J為最優性能6.1引言非優化型性能指標鎮定問題：以漸近穩定作為性能指標極點配置：以一組期望的閉環極點作為性能指標解耦控制：使一個多輸入-多輸出系統實現“一個輸入只控制一個輸出”作為性能指標跟蹤問題：以使系統的輸出y無靜差地跟蹤一個外部信號y0(t)作為性能指標（5）研究綜合問題的思路

綜合問題分解為兩個性質不同的命題：綜合理論和綜合算法

可綜合條件

給定的受控系統和期望性能指標，使控制存在且實現綜合目標應滿足的條件。用以綜合控制規律的算法

確定滿足要求的控制律。即響應的狀態反饋矩陣或輸出反饋矩陣。

1）

狀態反饋控制

2）

輸出反饋控制6.1引言（6）控制系統工程實現中的一些理論問題1）狀態反饋的構成問題

利用可測輸入u和輸出y來構造出不能測的狀態x。稱為狀態重構，即觀測器問題。6.1引言2）系統模型的不準確和參數懾動問題

模型不準確和參數懾動，按理想模型得到的控制器組成的控制系統中，是否產生達不到期望的性能指標或不穩定的問題。魯棒性問題：參數的不精確誤差或攝動出現在模型參數的一個鄰域內時，系統仍能穩定地運行或保持期望的性能值，則是魯棒性的。6.1引言（6）控制系統工程實現中的一些理論問題3）對外部擾動的影響的抑制問題

實際的控制系統將面臨外部擾動的影響，抑制或減少這種影響，稱為擾動抑制問題。第6章

線性反饋系統的時間域綜合6.1引言

6.2狀態反饋和輸出反饋

6.3極點配置問題：可配置條件和算法

6.4鎮定問題：可鎮定條件和算法

6.5解耦控制問題：可解耦條件和算法

3.6狀態重構問題和狀態觀測器

3.8引入觀測器的狀態反饋控制系統的特性（1）狀態反饋

設連續時間線性時不變系統狀態反饋下受控系統的輸入為：反饋系統

的狀態空間描述為：6.2狀態反饋和輸出反饋6.2狀態反饋和輸出反饋B∫CAK

結論1：對連續時間線性時不變系統，狀態反饋保持能控性，不保持能觀測性（2）輸出反饋

設連續時間線性時不變系統

輸出反饋下受控系統輸入

B∫CAF6.2狀態反饋和輸出反饋6.2狀態反饋和輸出反饋

輸出反饋系統的狀態空間描述為：

結論2：對連續時間線性時不變系統，輸出反饋保持能控性和能觀測性。（3）狀態反饋和輸出反饋的比較

反饋原理：狀態反饋為系統結構信息的完全反饋，輸出反饋則是系統結構信息的不完全反饋反饋功能：狀態反饋在功能上遠優于輸出反饋6.2狀態反饋和輸出反饋反饋實現上，輸出反饋要優越于狀態反饋。（反饋的工程構成：輸出變量可直接測量）6.2狀態反饋和輸出反饋改善輸出反饋的途徑：擴展輸出反饋（動態輸出反饋）B∫CA并聯補償器串聯補償器

在反饋中單獨或同時引入串聯補償器和并聯補償器。對線性時不變受控系統，補償器也為線性時不變系統，它的引入提高了反饋系統的階次。6.2狀態反饋和輸出反饋解決狀態反饋物理實現的途徑：引入狀態觀測器（也是一個線性系統，其維數等于或小于被觀測系統的維數）通常，不可能做到使和x為完全相等，但可以做到使兩者漸近相等：當t→∞時，和x(t)相等。第6章

線性反饋系統的時間域綜合6.1引言

6.2狀態反饋和輸出反饋

6.3極點配置問題：可配置條件和算法

6.4鎮定問題：可鎮定條件和算法

6.5解耦控制問題：可解耦條件和算法

3.6狀態重構問題和狀態觀測器

3.8引入觀測器的狀態反饋控制系統的特性

（1）期望閉環極點組

對極點配置綜合問題，首要是合理指定期望閉環極點組期望閉環極點組的性能指標屬性

控制理論角度，以期望閉環極點組為性能指標，可以嚴格和簡潔地建立相應綜合理論和算法。

控制工程角度，期望閉環極點組缺乏直觀工程意義，不為控制工程界所認同和采用。

理論界和工程界接受：在直觀的性能指標和期望閉環極點組之間建立起對應的聯系。6.3狀態反饋極點配置

（2）控制工程中基本類型性能指標

控制工程中，對控制系統性能指標提法的基本要求，可歸結為形式上的直觀性和內涵上的工程性。基本性能指標類型

時間域性能指標頻率域性能指標6.3狀態反饋極點配置6.3狀態反饋極點配置（3）時間域性能指標

時間域性能指標由系統單位階躍響應定義：1.050.95trtdtptsσ00.10.50.91.0ty(t)超調量σ=響應曲線第一次越過穩態值達到峰點時超調部分與穩態值之比上升時間ts=響應曲線首次從穩態值10%過渡到穩態值90%所需時間延遲時間td=響應曲線首次達到穩態值50%所需時間峰值時間tp=響應曲線第一次達到峰點時間6.3狀態反饋極點配置（4）頻率域性能指標

頻率域性能指標由系統頻率響應幅頻特性定義：

諧振峰值Mr=幅頻特性曲線達到峰點的值諧振角頻率ωr=幅頻特性曲線達到峰點對應角頻率值截止角頻率ωcc=幅頻特性曲線上值為

0.707處對應角頻率值6.3狀態反饋極點配置（5）二階系統性能指標關系其中，

為輸出，

為輸入，

為時間常數，

為阻尼系數，且限于情形。

對于二階系統：其中，

為自然角頻率。

系統特征方程根為一對共軛復數：6.3狀態反饋極點配置對上述二階系統，通過相應推導，可以導出其時間域性能指標和系統參數的顯示關系：超調量

過渡過程時間（誤差范圍取為5%穩態值）（誤差范圍取為2%穩態值）

上升時間

峰值時間6.3狀態反饋極點配置同樣，對上述二階系統，通過相應推導，可以導出其頻率域性能指標和系統參數的顯示關系：諧振峰值

諧振角頻率

截止角頻率6.3狀態反饋極點配置不同阻尼下二階系統單位階躍響應6.3狀態反饋極點配置（1）狀態反饋極點可配置問題

n維連續時間線性時不變受控系統給定n個所期望的閉環系統的極點，為實數或者共軛復數對。

狀態反饋極點配置

這組期望的閉環極點是由綜合問題的更為的性能指標，如時域形式的過渡過程時間、超調量等，頻率形式的增益穩定裕度、相位穩定裕度等，通過轉換來確定。

確定一個p×n的狀態反饋增益矩陣K，使得所導出的狀態反饋閉環系統6.3狀態反饋極點配置

給定受控系統確定狀態反饋控制

，

為參考輸入。

（1）狀態反饋極點可配置問題的極點為式中λ(·)表示(·)的特征值。

表示為6.3狀態反饋極點配置

解決極點配置問題，需要考慮兩個問題：建立可配置條件的問題：給出受控系統可以利用狀態反饋任意配置其閉環極點所應遵循的條件；建立相應的算法：確定滿足極點配置要求的狀態反饋增益矩陣K的算法。（1）狀態反饋極點可配置問題6.3狀態反饋極點配置（2）狀態反饋極點可配置的條件（單輸入系統）極點配置定理對單輸入n維連續時間線性時不變受控系統系統全部n個極點可任意配置的充分必要條件為完全能控。6.3狀態反饋極點配置step5

step6

Q=P-1step7

step8停止計算

（3）極點配置算法

step1判別（A，b）能控性

step2計算矩陣A特征多項式det(sI-A)=α(s)=sn+αn-1sn-1+…+α1s+α0step3計算由期望閉環特征值

決定的特征多項式

step46.3狀態反饋極點配置例1連續時間線性時不變狀態方程為期望閉環極點為計算狀態反饋陣K解：容易判斷系統能控計算由期望閉環極點組決定的特征多項式

6.3狀態反饋極點配置計算

得到

6.3狀態反饋極點配置極點配置定理：對多輸入n維連續時間線性時不變系統系統可通過狀態反饋任意配置全部n個極點的充分必要條件為{A,B}完全能控。（4）狀態反饋極點（多輸入系統）6.3狀態反饋極點配置極點配置算法：給定n維多輸入連續時間線性時不變受控系統{A,B}和一組任意期望閉環特征值要求確定一個p×n狀態反饋矩陣K，使step1

判斷A的循環性，若非循環，選取一個p×n實常陣K1，使為循環；若循環，表step2

選取一個p×1實常量ρ，有b=Bρ使為完全能控

step3

對等價單輸入系統

利用單輸入情形極點配置算法，計算狀態反饋向量k。step4

對A為循環，K＝ρk

對A為非循環，K＝ρk＋K1

結論：對完全能控n維單輸入單輸出連續時間線性時不變系統，引入狀態反饋任意配置傳遞函數全部n個極點的同時，一般不影響其零點。結論：對完全能控n維多輸入多輸出連續時間線性時不變系統，狀態反饋在配置傳遞函數矩陣全部n個極點同時，一般不影響其零點。6.3狀態反饋極點配置（5）狀態反饋對系統傳遞函數矩陣零點的影響6.3狀態反饋極點配置定義：設完全能控多輸入多輸出連續時間線性時不變系統其傳遞函數矩陣G(s)=C(SI-A)-1B,G(s)的極點為其特征方程式的根。零點定義使得的所有s值結論：對完全能控連續時間線性時不變受控系統采用輸出反饋一般不能任意配置系統全部極點。（6）輸出反饋極點配置6.3狀態反饋極點配置結論：對完全能控n維單輸入單輸出連續時間線性時不變受控系統采用輸出反饋只能使用閉環系統極點配置到根軌跡上，而不能任意配置到根軌跡以外位置上。第6章

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6.2狀態反饋和輸出反饋

6.3極點配置問題：可配置條件和算法

6.4鎮定問題：可鎮定條件和算法

6.5解耦控制問題：可解耦條件和算法

6.6狀態重構問題和狀態觀測器

6.8引入觀測器的狀態反饋控制系統的特性狀態鎮定問題：對給定時間線性時不變受控系統，找到一個狀態反饋型控制律使所導出的狀態反饋型閉環系統為漸近穩定，即系統閉環特征值均具有負實部。6.4狀態反饋鎮定結論：連續時間線性時不變系統可由狀態反饋鎮定，當且僅當系統不能控部分為為漸近穩定結論：連續時間線性時不變系統可由狀態反饋鎮定的一個充分條件是系統完全能控6.4狀態反饋鎮定狀態反饋鎮定算法：Step1

判斷(A.B)能控性，若完全能控，去Step4。Step2

對(A.B)按能控性分解Step3

對能控部分進行極點配置Step4

計算鎮定狀態反饋矩陣Step5

計算停止。第6章

線性反饋系統的時間域綜合6.1引言

6.2狀態反饋和輸出反饋

6.3極點配置問題：可配置條件和算法

6.4鎮定問題：可鎮定條件和算法

6.5解耦控制問題：可解耦條件和算法

6.6狀態重構問題和狀態觀測器

6.7引入觀測器的狀態反饋控制系統的特性問題的提法：設多輸入多輸出連續時間線性時不變系統采用包含輸入變換的狀態反饋系統B∫CAKL6.5狀態反饋解耦控制（1）狀態反饋動態解耦系統狀態空間描述為：動態解耦控制：尋找輸入變換狀態反饋矩陣使得所導出的閉環傳遞函數矩陣為非奇異對角有理分式矩陣6.5狀態反饋解耦控制B∫CAKL6.5狀態反饋解耦控制系統的結構特征量

輸出矩陣傳遞函數矩陣對連續時間線性時不變受控系統，結構特性指數定義為：對連續時間線性時不變受控系統，結構特性向量定義為：6.5狀態反饋解耦控制6.5狀態反饋解耦控制可解耦條件結論：對方連續時間線性時不變受控系統，使包含輸入變換狀態反饋系統可實現動態解耦的充分必要條件是：基于結構特征向量組成的pхp矩陣E非奇異

則可導出包含輸入變換狀態反饋系統這種解耦稱為積分型解耦系統6.5狀態反饋解耦控制解耦控制綜合算法

給定n維方連續時間線性時不變受控系統要求綜合一個輸入變換和狀態反饋矩陣對{L,K}，使系統實現動態解耦，并使解耦后每個單輸入單輸出系統實現期望極點配置Step1：計算受控系統(A,B,C)的結構特征量

6.5狀態反饋解耦控制6.5狀態反饋解耦控制Step2：組成并判斷矩陣E的非奇異性若E為非奇異，即能解耦若E為奇異，則不能解耦。Step3：

Step4：取

導出積分型解耦系統

Step5：判斷

的能觀測性，若不完全能觀測，計算Step6：引入線性非奇異變換化積分型解耦系統為解耦規范型。對完全能觀測

6.5狀態反饋解耦控制6.5狀態反饋解耦控制Step7：求

6.5狀態反饋解耦控制Step9：根據指定期望極點組按單輸入情形極點配置法，定出狀態反饋矩陣Step10：最后得

6.5狀態反饋解耦控制Step8：對解耦規范型

選取

狀態反饋矩陣

的結構

對完全能觀測對不完全能觀測問題的提法：

設多輸入多輸出連續時間線性時不變受控系統靜態解耦控制：綜合一個輸入變換和狀態反饋矩陣對使導出的包含輸入變換狀態反饋系統及其傳遞函數矩陣6.5狀態反饋解耦控制（2）狀態反饋靜態解耦6.5狀態反饋解耦控制滿足：i）閉環控制系統漸近穩定，即ii）閉環傳遞函數矩陣當S=0時為非奇異對角常陣，即有可解耦條件

存在輸入變換和狀態反饋矩陣對L,K,其中可使方n維連續時間線性時不變受控系統實現靜態解耦，當且僅當6.5狀態反饋解耦控制算法的主要步驟為：第1步：判斷是否能穩定或能控，判斷系數矩陣的秩條件是否成立。第2步：對于滿足可靜態解耦條件的系統，按極點配置算法，確定一個狀態反饋增益矩陣K，使的特征值均具有負實部。第3步：按照靜態解耦后各單輸入-單輸出自治系統的穩態增益要求，確定的值，且取。第4步：取輸入變換陣，則。第6章

線性反饋系統的時間域綜合6.1引言

6.2狀態反饋和輸出反饋

6.3極點配置問題：可配置條件和算法

6.4鎮定問題：可鎮定條件和算法

6.5解耦控制問題：可解耦條件和算法

6.6狀態重構問題和狀態觀測器

6.7引入觀測器的狀態反饋控制系統的特性6.6狀態重構問題和狀態觀測器

狀態重構：重新構造一個系統，利用原系統中可直接測量的變量，如輸入向量和輸出向量作為它的輸入信號，并使其輸出信號在一定的提法下等價于原系統的狀態

稱為的重構狀態或估計狀態

用于實現狀態重構的系統為觀測器1）開環狀態觀測器為了實現狀態反饋，有時需要對狀態進行估計，開環估計方法如下：6.6狀態重構問題和狀態觀測器（1）全維狀態觀測器2）全維觀測器全維觀測器是指重構狀態向量的維數與原系統相同事實上，已知的信息為u(t)和y(t)，只有當系統完全能觀測時，才能從u(t)和y(t)及其導數的線性組合中獲得狀態向量x(t)的估計值此時存在狀態觀測器。利用觀測器實現狀態反饋的系統為：

6.6狀態重構問題和狀態觀測器結論：n維線性定常系統是能觀測的，則必可采用全維觀測器來重構其狀態，并且必可通過選擇增益陣L而任意配置（A－LC）的全特征值。6.6狀態重構問題和狀態觀測器

在觀測器的設計中，為使盡快地接近x(t)，可利用y(t)和之間的差作為誤差反饋信息，觀測器結構如下：BACL寫出觀測器動態方程為原系統的狀態方程：6.6狀態重構問題和狀態觀測器寫出觀測器動態方程為原系統的狀態方程：定義狀態向量的真實值與估計值之間的偏差為誤差狀態向量，即：定理：若系統（A,B,C）是能觀測的，其狀態可用n維狀態觀測器進行估計矩陣L可以按給定極點的位置來選擇，所定極點的位置，將決定誤差向量趨于零的速率。例：設系統動態方程為

試設計一個狀態觀測器，其中矩陣A-hc的特征值（觀測器極點）為-10，-10。解：

6.6狀態重構問題和狀態觀測器希望的特征多項式

觀測器方程

原系統及其狀態觀測器結構圖如下6.6狀態重構問題和狀態觀測器6.6狀態重構問題和狀態觀測器

由于在系統的輸出y中包含有系統狀態x的部分信息，因此在直接利用這部分信息的基礎上，可以構造出維數低于被估計系統的狀態觀測器。稱為降維狀態觀測器。（2）降維狀態觀測器

被估計n維線性定常系統為其中，A，B和C分別為n×n

，n×p和q×n實常陣，假定{A，C}為能觀測，C為滿秩陣即有rankC=p降維觀測器的最小維數為n－q6.6狀態重構問題和狀態觀測器1）建立n-m維子系統動態方程為一個n×n矩陣，D的選擇應使Q可逆。令：考慮到6.6狀態重構問題和狀態觀測器系統的動態方程為可直接有y

提供，只須估計6.6狀態重構問題和狀態觀測器2）降維觀測器設計方程改寫為故降維觀測器方程為6.6狀態重構問題和狀態觀測器令這是一個n-m維觀測器，整個狀態向量的估計值為：而系統原狀態向量x的估計值為降維觀測器方程6.6狀態重構問題和狀態觀測器3）L陣的選擇通過H

陣的選擇，使

的極點任意配置，衰減到零的速率，直接有y提供，不存在估值誤差。極點的位置決定誤差向量而定理：有m個輸出的任一m維能觀測系統(A,B,C)，可通過狀態變換而寫成如下形式：其狀態可用n-m維龍伯格觀測器進行估計(n-m)×m矩陣H可以選得使的極點任意配置6.6狀態重構問題和狀態觀測器6.6狀態重構問題和狀態觀測器極點的位置決定誤差向量衰減到零的速率，觀測器結構圖如下：例：已知系統：構造一降維觀測器解：系統完全能觀測

令

6.6狀態重構問題和狀態觀測器設降維觀測器的特征值為-10，H=[h]6.6狀態重構問題和狀態觀測器希望的特征多項式為λ+10，故H=[10]，