欠阻尼二階系統動態性能分析與計算j0-ξωnωd=ωn√1-ξ2Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2S1,2=-ξωn±j√1-ξ2ωnβ

h(t)=1－√1-ξ21e-ξωnsin(ωdt+β)ωnπ-βωd得tr=令h(t)=1取其解中的最小值，令h(t)一階導數=0，取其解中的最小值，得tp=πωdσ%=h(∞)h(tp)－h(∞)100%σ%

=e-πξ/√1-ξ2100%由包絡線求調節時間得ts≈3.5ξωneωd

h(t)=1－√1-ξ21-ξωntsin(t+β)線性系統穩定的充要條件：其特征根全部位于S平面的左半部。三．穩定判據

1.Routh穩定判據系統的特征方程為線性系統穩定的充分必要條件是：勞斯表中第一列系數全部為正。勞斯判據指出，若勞斯表中第一列系數全部為正，則所有閉環極點均位于左半s平面；若勞斯表第一列系數有負數，則系統是不穩定的，說明有閉環極點位于右半s平面，且位于右半s平面的閉環極點數正好等于勞斯表第一列系數符號改變的次數。設系統特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8

412勞斯表介紹勞斯表特點2

每兩行個數相等1

右移一位降兩階3

行列式第一列不動4

次對角線減主對角線5

分母總是上一行第一個元素7

第一列出現零元素時，用正無窮小量ε代替。6一行可同乘以或同除以某正數ε2ε+87ε127

-8ε-8(2ε+8)-7ε27ε勞斯判據系統穩定的必要條件:有正有負一定不穩定!缺項一定不穩定!系統穩定的充分條件:勞斯表第一列元素不變號!若變號系統不穩定!變號的次數為特征根在s右半平面的個數!s6s5s0s1s2s3s41246357127124635710-8

412ε2ε+87ε127

-8ε-8(2ε+8)-7ε27ε特征方程各項系數均大于零!勞斯表出現零行設系統特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞斯表s0s1s2s3s451756116601勞斯表何時會出現零行?2出現零行怎么辦?3如何求對稱的根?②由零行的上一行構成輔助方程:①

有大小相等符號相反的特征根時會出現零行s2+1=0對其求導得零行系數:2s1211繼續計算勞斯表1第一列全大于零,所以系統穩定錯啦!!!勞斯表出現零行系統一定不穩定求解輔助方程得:s1,2=±j由綜合除法可得另兩個根為s3,4=-2,-3例5：穩定判據的應用

1）利用穩定判據，可以判斷系統的穩定性。2）利用穩定判據，可以判斷系統穩定時，參數的取值范圍。

設單位負反饋系統，開環傳遞函數為：試確定系統穩定時K的取值范圍。

解：

系統的特征方程式為：建立勞斯表：系統穩定時，要求0<K<8例3）利用穩定判據，也可以判斷系統的穩定裕度。

系統穩定時，要求所有閉環極點在s平面的左邊，閉環極點離虛軸越遠，系統穩定性越好，閉環極點離開虛軸的距離，可以作為衡量系統的穩定裕度。在系統的特征方程D(s)=0中，令s=s1-a，得到D(s1)=0，利用穩定判據，若D(s1)=0的所有解都在s1平面左邊，則原系統的特征根在s=-a左邊。設單位負反饋系統，開環傳遞函數為：

若要求閉環極點在s=-1左邊，試確定K的取值范圍。解：

系統的特征方程式為：

令s=s1-1

0.25<K<2

赫爾維茨穩定判據設線性系統的特征方程為：線性系統穩定的充分必要條件是：由系統特征方程系數所構成的主行列式Δn及其各階順序主子式Δi(i=1,2…,n-1)全部為正。例設線性系統特征方程式為：試用赫爾維茨穩定判據判斷系統的穩定性。解：

故系統不穩定。3：李納德-戚帕特判據設線性系統的特征方程為：線性系統穩定的充分必要條件是：1）方程式所有系數為正；2）所有奇數階或偶數階胡爾維茨行列式為正，即：Δ奇>0或Δ偶>0。根據李納德-戚帕特判據，若系統特征方程式的各項系數中有負或零（缺項），則系統是不穩定的。對于一階系統，特征方程式為Ts+1=0，只要系數為正（T>0）,系統是穩定的。對于二階系統，特征方程式為只要系數為正（ξ>0，ωn>0）,系統是穩定的。例設線性系統的開環傳遞函數為：試判斷系統穩定時K,T應滿足的條件。解：

系統特征方程式為1+G(s)H(s)=0根據李納德-戚帕特判據，K>0,T>0且：系統穩定時，要求：3-6線性系統的穩態誤差計算

一：誤差與穩態誤差

誤差=希望值-實際值，R(s)E(s)C(s)-B(s)對于圖示一般線性控制系統，若按輸入端定義：

e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s)若按輸出端定義：輸出量的期望值與實際值之差。對于單位負反饋系統，兩種定義方法是一致的。在系統分析和設計中，一般采用按輸入端定義誤差。穩態誤差是指誤差信號的穩態值，即：若系統的誤差傳遞函數為Φe(s)，則E(s)=Φe(s)R(s)，若E(s)滿足拉氏變換終值定理的條件（要求系統穩定，且R(s)的所有極點在左半s開區間），可以利用終值定理來求穩態誤差，即閉環系統的偏差傳遞函數給定輸入作用下的偏差傳遞函數。N(s)=0時E(s)和R(s)之比。N(s)=0時系統的等效圖例：

設單位負反饋系統的開環傳遞函數為：求r(t)=1(t),r(t)=t,r(t)=t2/2以及r(t)=sinωt時系統的穩態誤差。解：

誤差傳遞函數為：系統穩定若輸入信號為正弦信號，則不能應用拉氏變換終值定理。穩態誤差為：二：系統類型設控制系統的開環傳遞函數為：其中K稱為系統的開環增益。υ=0，系統稱為0型系統，υ=1，系統稱為1型系統，υ=2，系統稱為2型系統，…。三：單位階躍信號作用下系統的穩態誤差對于穩定的系統，可用終值定理來求：定義系統靜態位置誤差系數四：單位斜坡信號作用下系統的穩態誤差對于穩定的系統，可用終值定理來求：定義系統靜態速度誤差系數五：單位加速度信號作用下系統的穩態誤差

對于穩定的系統，可用終值定理來求：

定義系統靜態加速度誤差系數

動態誤差系數設則該級數收斂于s→0的鄰域，相當于t→∞時成立。或者說，在t→∞時有：定義c0為動態位置誤差系數，c1為動態速度誤差系數，c2為動態加速度誤差系數，可以用下式計算：實際計算時，常采用長除法計算，即令：例：

設單位負反饋系統的開環傳遞函數為：求r(t)=t，r(t)=t2，r(t)=sin5t時系統的穩態誤差。解：

誤差傳遞函數為：可求得系統的穩態誤差為：r(t)=t時，r(t)=t2時，

r(t)=sin5t時，擾動作用下的穩態誤差對于圖示系統，設r(t)=0系統在擾動信號作用下的理想輸出應為0，若按輸入端定義擾動作用下的誤差：若按輸出端定義誤差：R(s)E(s)C(s)-N(s)若En(s)滿足拉氏變換終值定理條件，可利用終值定理求穩態誤差:令則可用動態誤差系數法求擾動作用下的穩態誤差：例：

對于圖示系統，試求r(t)=t，n(t)=1(t)時系統的穩態誤差。R(s)E(s)C(s)-N(s)解：

系統的開環傳遞函數為為1型二階系統，系統是穩定的,在r(t)=t，穩態誤差在擾動信號作用下的誤差表達式為：n(t)=1(t)時，穩態誤差為：系統總的穩態誤差為：八：減小或消除穩態誤差的措施系統總的穩態誤差包括輸入作用下的穩態誤差和擾動作用下的穩態誤差兩部分。要減小或消除穩態誤差應從分別減小或消除這兩部分穩態誤差入手。1：增大系統開環增益或擾動作用點之前系統的前向通道增益。在輸入信號作用下的穩態誤差與系統開環增益成反比，增大系統開環增益，有利于減小在輸入信號作用下的穩態誤差，擾動信號作用下的穩態誤差與擾動作用點之前系統的前向通道增益成反比，增大該增益，有利于減小擾動信號作用下的穩態誤差，應當注意，在大多數情況下，對于高階系統，系統開環增益的增加有可能使系統不穩定。2、在系統前向通道或主反饋通道中設置串聯積分環節。在系統前向通道中設置串聯積分環節，提高了系統型別，有利于減小或消除輸入信號作用下的穩態誤差。為了減小或消除擾動作用下的穩態誤差，串聯積分環節的位置應加在擾動作用點之前的前向通道或反饋通道中。3、串級控制抑止內回路擾動—適用控制精度要求較高時4、采用復合控制的方法采用復合控制，也可以減小或消除穩態誤差。對于圖示系統，試求r(t)=t，n(t)=1(t)時系統的穩態誤差。

R(s)E(s)C(s)-N(s)解系統的開環傳遞函數為：

為1型二階系統，系統穩定在r(t)=t，穩態誤差在擾動信號作用下的誤差表達式為：n(t)=1(t)時，穩態誤差為：系統總的穩態誤差為第四章線性系統的根軌跡法4-1根軌跡法的基本概念4-2根軌跡繪制的基本法則4-3廣義根軌跡4-4系統性能的分析第四章

線性系統的根軌跡法

§

1根軌跡法的基本概念C(s)R(s)-20j-20jG(s)C(s)R(s)H(s)4－2繪制根軌跡的基本法則法則1

根軌跡的起點和終點：根軌跡起始于開環極點，終止于開環零點。如果開環零點數m<n，則有（n-m）條根軌跡終止于無窮遠處。證明：根軌跡方程

模值方程

根軌跡起點：要使模值方程成立，則所以pi是根軌跡起點。根軌跡終點要使模值方程成立，則所以zi是根軌跡終點。當m<n時，有m條根軌跡到開環零點止，另有（n-m）條根軌跡終止于無窮遠處說明：如果m>n，則應有（m-n)條根軌跡的起點在處。法則2

根軌跡的分支數和對稱性：根軌跡的分支數與開環有限零點數和有限極點數中的大者相等，它們是連續的并且對稱于實軸