2013年杭州市中考數學真題總分：120分考試時間：分鐘學校__________班別__________姓名__________分數__________題號一二三總分得分一、單選類（共30分）1.（2013杭州，1）下列“表情圖”中，屬于軸對稱圖形的是（）.A.B.C.D.答案：D解析：解：A．不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B．不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C．不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D．是軸對稱圖形，故本選項正確；故選D．考點：軸對稱圖形．分析：根據軸對稱的定義，結合各選項進行判斷即可．點評：本題考查了軸對稱圖形的知識，判斷軸對稱的關鍵尋找對稱軸，屬于基礎題．2.（2013杭州，2）下列計算正確的是（）.A.m3+m2=m5B.m3m2=m6C.（1﹣m）（1+m）=m2﹣1D.答案：D解析：解：A．不是同類項，不能合并，故選項錯誤；B．m3m2=m5，故選項錯誤；C．（1﹣m）（1+m）=1﹣m2，選項錯誤；D．正確．故選D．考點：平方差公式；合并同類項；同底數冪的乘法；分式的基本性質．分析：根據同類項的定義，以及同底數的冪的乘法法則，平方差公式，分式的基本性質即可判斷．點評：本題考查了同類項的定義，以及同底數的冪的乘法法則，平方差公式，分式的基本性質，理解平方差公式的結構是關鍵．3.（2013杭州，3）在?ABCD中，下列結論一定正確的是（）. A.AC⊥BDB.∠A+∠B=180°C.AB=ADD.∠A≠∠C答案：B解析：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．故選B．考點：平行四邊形的性質．分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，即可證得∠A+∠B=180°．點評：此題考查了平行四邊形的性質．此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用．4.（2013杭州，4）若a+b=3，a﹣b=7，則ab=（）.A.﹣10B.-40C.10D.40答案：A解析：解：聯立得：，解得：a=5，b=﹣2，則ab=﹣10．故選A．考點：完全平方公式．專題：計算題．分析：聯立已知兩方程求出a與b的值，即可求出ab的值．點評：此題考查了解二元一次方程組，求出a與b的值是解本題的關鍵．5.（2013杭州，5）根據2008～2012年杭州市實現地區生產總值（簡稱GDP，單位：億元）統計圖所提供的信息，下列判斷正確的是（）A.2010～2012年杭州市每年GDP增長率相同B.2012年杭州市的GDP比2008年翻一番C.2010年杭州市的GDP未達到5500億元D.2008～2012年杭州市的GDP逐年增長答案：D解析：解：A．2010年～2011年GDP增長率約為：=，2011年～2012年GDP增長率約為=，增長率不同，故此選項錯誤；B．2012年杭州市的GDP約為7900，2008年GDP約為4900，故此選項錯誤；C．2010年杭州市的GDP超過到5500億元，故此選項錯誤；D．2008～2012年杭州市的GDP逐年增長，故此選項正確，故選：D．考點：條形統計圖．分析：根據條形統計圖可以算2010年～2011年GDP增長率，2011年～2012年GDP增長率，進行比較可得A的正誤；根據統計圖可以大約得到2012年和2008年GDP，可判斷出B的正誤；根據條形統計圖可得2010年杭州市的GDP，可判斷出C的正誤，根據條形統計圖可直接得到2008～2012年杭州市的GDP逐年增長．點評：本題考查的是條形統計圖，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據．6.（2013杭州，6）如圖，設k=（a＞b＞0），則有（）. A.k＞2B.1＜k＜2C.D.答案：B解析：解：甲圖中陰影部分面積為a2﹣b2，乙圖中陰影部分面積為a（a﹣b），則k====1+，∵a＞b＞0，∴0＜＜1，故選B．考點：分式的乘除法．專題：計算題．分析：分別計算出甲圖中陰影部分面積及乙圖中陰影部分面積，然后計算比值即可．點評：本題考查了分式的乘除法，會計算矩形的面積及熟悉分式的運算是解題的關鍵．7.（2013杭州，7）在一個圓中，給出下列命題，其中正確的是（）.A.若圓心到兩條直線的距離都等于圓的半徑，則這兩條直線不可能垂直B.若圓心到兩條直線的距離都小于圓的半徑，則這兩條直線與圓一定有4個公共點C.若兩條弦所在直線不平行，則這兩條弦可能在圓內有公共點D.若兩條弦平行，則這兩條弦之間的距離一定小于圓的半徑答案：C解析：解：A．圓心到兩條直線的距離都等于圓的半徑時，兩條直線可能垂直，故本選項錯誤；B．當兩圓經過兩條直線的交點時，圓與兩條直線有三個交點；C．兩條平行弦所在直線沒有交點，故本選項正確；D．兩條平行弦之間的距離一定小于直徑，但不一定小于半徑，故本選項錯誤，故選C．考點：直線與圓的位置關系；命題與定理．分析：根據直線與圓的位置關系進行判斷即可．點評：本題考查了直線與圓的位置關系、命題與定理，解題的關鍵是熟悉直線與圓的位置關系．8.（2013杭州，8）如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）. A.B.C.D.答案：C解析：解：由三視圖可看出：該幾何體是﹣個正六棱柱，其中底面正六邊形的邊長為6，高是2，所以該幾何體的體積=6××62×2=108．故選C．考點：由三視圖判斷幾何體．分析：由三視圖可看出：該幾何體是﹣個正六棱柱，其中底面正六邊形的邊長為6，高是2．根據正六棱柱的體積=底面積×高即可求解．點評：本題考查了由三視圖求原幾何體的體積，正確恢復原幾何體是解決問題的關鍵．9.（2013杭州，9）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，則斜邊上的高等于（）.A.B.C.D.答案：B解析：解：根據題意畫出圖形，如圖所示，在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=，根據勾股定理得：AC==，∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴CD==．故選B. 考點：解直角三角形．專題：計算題．分析：在直角三角形ABC中，由AB與sinA的值，求出BC的長，根據勾股定理求出AC的長，根據面積法求出CD的長，即為斜邊上的高．點評：此題考查了解直角三角形，涉及的知識有：銳角三角函數定義，勾股定理，以及三角形的面積求法，熟練掌握定理及法則是解本題的關鍵．10.（2013杭州，10）給出下列命題及函數y=x，y=x2和y=①如果，那么0＜a＜1；②如果，那么a＞1；③如果，那么﹣1＜a＜0；④如果時，那么a＜﹣1．則（）. A.正確的命題是①④B.錯誤的命題是②③④C.正確的命題是①②D.錯誤的命題只有③答案：A解析：解：易求x=1時，三個函數的函數值都是1，所以，交點坐標為（1，1），根據對稱性，y=x和y=在第三象限的交點坐標為（﹣1，﹣1），①如果，那么0＜a＜1正確；②如果，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故本小題錯誤；③如果，那么a值不存在，故本小題錯誤；④如果時，那么a＜﹣1正確．綜上所述，正確的命題是①④．故選A．考點：二次函數與不等式（組）；命題與定理．分析：先確定出三函數圖象的交點坐標為（1，1），再根據二次函數與不等式組的關系求解即可．點評：本題考查了二次函數與不等式組的關系，命題與定理，求出兩交點的坐標，并準確識圖是解題的關鍵．二、填空題（本題有6個小題，每小題4分，共24分）要注意認真看清楚題目的條件和要填寫的內容，盡量完整地填寫答案（共24分）1.（2013杭州，11）3^2×+3×（﹣）=_________.答案：0解析：解：原式=3×﹣3×（﹣）=0．故答案是：0．點評：本題考查了有理數的混合運算，理解運算順序是關鍵．2.（2013杭州，12）把7的平方根和立方根按從小到大的順序排列為_________．答案：﹣＜＜ 解析：解：7的平方根為﹣，；7的立方根為，所以7的平方根和立方根按從小到大的順序排列為﹣＜＜．故答案為：﹣＜＜．考點：實數大小比較．專題：計算題．分析：先分別得到7的平方根和立方根，然后比較大?。c評：本題考查了實數大小比較：正數大于0，負數小于0；負數的絕對值越大，這個數越小．3.（2013杭州，13）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，現給出下列結論：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正確的結論是_________（只需填上正確結論的序號）答案：②③④解析：解：如圖所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故①錯誤；∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=，故②正確；∵∠A=30°，∴tanA=tan30°=，故③正確；∵∠B=60°，∴tanB=tan60°=，故④正確．故答案為：②③④． 考點：特殊角的三角函數值；含30度角的直角三角形．專題：探究型．分析：先根據題意畫出圖形，再由直角三角形的性質求出各角的度數，由特殊角的三角函數值即可得出結論．點評：本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角度的三角函數值是解答此題的關鍵．4.（2013杭州，14）杭州市某4所高中近兩年的最低錄取分數線如下表（單位：分），設4所高中2011年和2012年的平均最低錄取分數線分別為，，則=_________分. 答案：解析：解：2011年的平均最低錄取分數線=（438+435+435+435）÷4=（分），2012年的平均最低錄取分數線=（442+442+439+439）÷4=（分），則=﹣=（分）；故答案為：．考點：算術平均數．分析：先算出2011年的平均最低錄取分數線和2012年的平均最低錄取分數線，再進行相減即可．點評：此題考查了算術平均數，掌握平均數的計算公式是解題的關鍵，是一道基礎題，比較簡單．5.（2013杭州，15）四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分別繞直線AB，CD旋轉一周，所得幾何體的表面積分別為，，則=_________（平方單位） 答案：4π解析：解：AB旋轉一周形成的圓柱的側面的面積是：2π×2×3=12π；AC旋轉一周形成的圓柱的側面的面積是：2π×2×2=8π，則=4π．故答案是：4π．考點：圓錐的計算；點、線、面、體；圓柱的計算．分析：梯形ABCD分別繞直線AB，CD旋轉一周所得的幾何體的表面積的差就是AB和CD旋轉一周形成的圓柱的側面的差．點評：本題考查了圖形的旋轉，理解梯形ABCD分別繞直線AB，CD旋轉一周所得的幾何體的表面積的差就是AB和CD旋轉一周形成的圓柱的側面的差是關鍵．6.（2013杭州，16）射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．動點P從點Q出發，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心，cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點在邊上），請寫出t可取的一切值_________（單位：秒） 答案：t=2或3≤t≤7或t=8 解析：解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N為BC中點，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分為三種情況：①如圖1，當⊙P切AB于M′時，連接PM′，則PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如圖2，當⊙P于AC切于A點時，連接PA，則∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，當當⊙P于AC切于C點時，連接PC，則∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即當3≤t≤7時，⊙P和AC邊相切；③如圖1，當⊙P切BC于N′時，連接PN′3則PN′=cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案為：t=2或3≤t≤7或t=8．考點：切線的性質；等邊三角形的性質．專題：分類討論．分析：求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分為三種情況：畫出圖形，結合圖形求出即可；點評：本題考查了等邊三角形的性質，平行線的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形性質，切線的性質的應用，主要考查學生綜合運用定理進行計算的能力，注意要進行分類討論?。?、解答題（本題有7個小題，共66分）解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟．如果覺得有的題目有點困難，那么把自己能寫出的解答寫出一部分也可以．（共66分）1.（2013杭州，17）如圖，四邊形ABCD是矩形，用直尺和圓規作出∠A的平分線與BC邊的垂直平分線的交點Q（不寫作法，保留作圖痕跡）．連結QD，在新圖形中，你發現了什么？請寫出一條． 答案：解：如圖所示：發現：DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等． 考點：作圖—復雜作圖．分析：根據角平分線的作法以及線段垂直平分線的作法得出Q點位置，進而利用垂直平分線的作法得出答案即可．點評：此題主要考查了復雜作圖以及線段垂直平分線的作法和性質等知識，熟練應用其性質得出系等量關系是解題關鍵．2.（2013杭州，18）當x滿足條件時，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．答案：解：由求得，則2＜x＜4．解方程x2﹣2x﹣4=0可得x1=1+，x2=1﹣，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，符合題意∴x=1+．考點：解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式組．分析：通過解一元一次方程組求得2＜x＜4．然后利用求根公式x=求得方程程x2﹣2x﹣4=0的根，由x的取值范圍來取舍該方程的根．點評：本題考查了解一元二次方程﹣﹣公式法，解一元一次不等式組．要會熟練運用公式法求得一元二次方程的解．3.（2013杭州，19）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，線段AG，BG分別交CD于點E，F，DE=CF．求證：△GAB是等腰三角形． 答案：證明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴∠DAE=∠CBF，∴∠GAB=∠GBA，∴GA=GB，即△GAB為等腰三角形． 考點：等腰梯形的性質；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定．專題：證明題．分析：由在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE=CF，利用SAS，易證得△ADE≌△BCF，即可得∠DAE=∠CBF，則可得∠GAB=∠GBA，然后由等角對等邊，證得：△GAB是等腰三角形．點評：此題考查了等腰梯形的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．4.（2013杭州，20）已知拋物線=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于點A，B（點A，B在原點O兩側），與y軸相交于點C，且點A，C在一次函數=x+n的圖象上，線段AB長為16，線段OC長為8，當隨著x的增大而減小時，求自變量x的取值范圍．答案：解：根據OC長為8可得一次函數中的n的值為8或﹣8．分類討論：（1）n=8時，易得A（﹣6，0）如圖1，∵拋物線經過點A、C，且與x軸交點A、B在原點的兩側，∴拋物線開口向下，則a＜0，∵AB=16，且A（﹣6，0），∴B（10，0），而A、B關于對稱軸對稱，∴對稱軸直線x==2，要使隨著x的增大而減小，則a＜0，∴x＞2；（2）n=﹣8時，易得A（6，0），如圖2，∵拋物線過A、C兩點，且與x軸交點A，B在原點兩側，∴拋物線開口向上，則a＞0，∵AB=16，且A（6，0），∴B（﹣10，0），而A、B關于對稱軸對稱，∴對稱軸直線x==﹣2，要使隨著x的增大而減小，且a＞0，∴x＜﹣2．考點：二次函數的性質；拋物線與x軸的交點．專題：分類討論．分析：根據OC的長度確定出n的值為8或﹣8，然后分①n=8時求出點A的坐標，然后確定拋物線開口方向向下并求出點B的坐標，再求出拋物線的對稱軸解析式，然后根據二次函數的增減性求出x的取值范圍；②n=﹣8時求出點A的坐標，然后確定拋物線開口方向向上并求出點B的坐標，再求出拋物線的對稱軸解析式，然后根據二次函數的增減性求出x的取值范圍．點評：本題考查了二次函數的性質，主要利用了一次函數圖象上的點的坐標特征，二次函數的增減性，難點在于要分情況討論．5.（2013杭州，21）某班有50位學生，每位學生都有一個序號，將50張編有學生序號（從1號到50號）的卡片（除序號不同外其它均相同打亂順序重新排列，從中任意抽取1張卡片 （1）在序號中，是20的倍數的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（為了不重復計數，20只計一次），求取到的卡片上序號是20的倍數或能整除20的概率； （2）若規定：取到的卡片上序號是k（k是滿足1≤k≤50的整數），則序號是k的倍數或能整除k（不重復計數）的學生能參加某項活動，這一規定是否公平？請說明理由； （3）請你設計一個規定，能公平地選出10位學生參加某項活動，并說明你的規定是符合要求的．答案：解：（1）∵在序號中，是20的倍數的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（為了不重復計數，20只計一次），∴是20倍數或者能整除20的數有7個，則取到的卡片上序號是20的倍數或能整除20的概率為：； （2）不公平，∵無論k取何值，都能被1整除，則序號為1的學生被抽中的概率為1，即100%，而很明顯抽到其他序號學生概率不為100%．∴不公平； （3）先抽出一張，記下數字，然后放回．若下一次抽到的數字與之前抽到過的重復，則不記數，放回，重新抽?。粩嘀貜停敝脸闈M10個不同的數字為止．（為保證每個數字每次被抽到的概率都是） 考點：游戲公平性．分析：（1）由在序號中，是20的倍數的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（為了不重復計數，20只計一次），直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）由無論k取何值，都能被1整除，則序號為1的學生被抽中的概率為1，即100%，而很明顯抽到其他序號學生概率不為100%．可知此游戲不公平；（3）可設計為：先抽出一張，記下數字，然后放回．若下一次抽到的數字與之前抽到過的重復，則不記數，放回，重新抽?。粩嘀貜停敝脸闈M10個不同的數字為止．點評：本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．6.（2013杭州，22）（1）先求解下列兩題：①如圖①，點B，D在射線AM上，點C，E在射線AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度數；②如圖②，在直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點B，C的橫坐標都是3，且BC=2，點D在AC上，且橫坐標為1，若反比例函數的圖象經過點B，D，求k的值．（2）解題后，你發現以上兩小題有什么共同點？請簡單地寫出． 答案：解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根據三角形的外角性質，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得，∠A=21°；②∵點B在反比例函數y=圖象上，點B，C的橫坐標都是3，∴點B（3，），∵BC=3，∴點C（3，+2），∵AC∥x軸，點D在AC上，且橫坐標為1，∴A（1，+2），∵點A也在反比例函數圖象上，∴+2=k，解得，k=3；（2）用已知的量通過關系去表達未知的量，使用轉換的思維和方法．（開放題） 考點：等腰三角形的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征．分析：（1）①根據等邊對等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，計算即可求解；②先根據反比例函數圖象上的點的坐標特征表示出點B的坐標，再表示出點C的坐標，然后根據AC∥x軸可得點C、D的縱坐標相同，從而表示出點D的坐標，再代入反比例函數解析式進行計算即可得解．（2）從數學思想上考慮解答．點評：本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，以及反比例函數圖象上點的坐標特征，是基礎題．7.（2013杭州，23）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對稱中心為點P，點F為BC邊上一個動點，點E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關于直線AC成軸對稱，設它們的面積和為． （1）求證：∠APE=∠C