機械能守恒定律一、知識點綜述：在只有重力和彈簧的彈力做功的情況下，物體的動能和勢能發生相互轉化，但機械能的總量保持不變.對機械能守恒定律的理解:（1）系統在初狀態的總機械能等于末狀態的總機械能.即Ei=E2或 1/2mvi2+mghi=1/2mv22+mgh2⑵物體（或系統）減少的勢能等于物體（或系統）增加的動能，反之亦然。即 -AEP=AEK（3）若系統內只有A、B兩個物體，則A減少的機械能Ea等于B增加的機械能AEb 即-AEa=AEb二、例題導航:例1、如圖示，長為l的輕質硬棒的底端和中點各固定一個質量為m的小球，為使輕質硬棒能繞轉軸O轉到最高點，則底端小球在如圖示位置應具有的最小速度v=。解：系統的機械能守恒，AEp+AEk=01 (v1 (v)2一mv2+—m一=mg-1+mg-212 I2)'24gl=濯.8gl例2,如圖所示，一固定的楔形木塊，其斜面的傾角。=30°，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪。一柔軟的細線跨過定滑輪，兩端分別與物塊A和B連結，A的質量為4m，B的質量為m，開始時將B按在地面上不動，然后放開手，讓A沿斜面下滑而B上升。物塊A與斜面間無摩擦。設當A沿斜面下滑S距離后，細線突然斷了。求物塊B上升離地的最大高度H.解：對系統由機械能守恒定律4mgSsin°-mgS=1/2X5mv2???v2=2gS/5細線斷后，B做豎直上拋運動，由機械能守恒定律mgH=mgS+1/2Xmv2H=1.2S例3.如圖所示，半徑為R、圓心為O的大圓環固定在豎直平面內，兩個輕質小圓環套在大圓環上.一根輕質長繩穿過兩個小圓環，它的兩端都系上質量為m的重物，忽略小圓環的大小。

（1）將兩個小圓環固定在大圓環豎直對稱軸的兩側9=30°的位置上（如圖）.在兩個小圓環間繩子的中點C處，掛上一個質量M=m的重2物，使兩個小圓環間的繩子水平，然后無初速釋放重物M.設繩子與大、小圓環間的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離.（2）若不掛重物M.小圓環可以在大圓環上自由移動，且繩子與大、小圓環間及大、小圓環之間的摩擦均可以忽略，問兩個小圓環分別在哪些位置時，系統可處于平衡狀態？解：（1）重物向下先做加速運動，后做減速運動，當重物速度為零時，下降的距離最大.設下降的最大距離為h,由機械能守恒定律得 Mgh=2mgh2+（RsinO）2-RsinO解得 h=、，R （另解h=0舍去）⑵系統處于平衡狀態時，兩小環的可能位置為兩小環同時位于大圓環的底端.兩小環同時位于大圓環的頂端.兩小環一個位于大圓環的頂端，另一個位于大圓環的底端.除上述三種情況外，根據對稱性可知，系統如能平衡，則兩小圓環的位置一定關于大圓環豎直對稱軸對稱.設平衡時，兩小圓環在大圓環豎直對稱軸兩側a角的位置上（如圖所示）.對于重物，受繩子拉力與重力作用，有T=mg對于小圓環，受到三個力的作用，水平繩的拉力T、豎直繩子的拉力T、大圓環的支持力N.兩繩子的拉力沿大圓環切向的分力大小相等，方向相反Tsina=Tsina'得a=az,而a+a'=90°，所以a=45° AA AA例4.如圖質量為m1的物體A經一輕質彈簧與下方地面上的 *質量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數為k，A、B都處于靜止狀態。一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，

另一端連一輕掛鉤。開始時各段繩都牌伸直狀態，A上方的一段沿豎直方向。現在掛鉤上掛一質量為m3的物體C上升。若將C換成另一個質量為(m1+m3)物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態釋放，則這次B則離地時D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g。解:開始時，B靜止平衡，設彈簧的壓縮量為x1,kx1=m1g掛C后，當B剛要離地時，設彈簧伸長量為x2,有kx2=m2g此時，A和C速度均為零。從掛C到此時，根據機械能守恒定律彈簧彈性勢能的改變量為△E=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2)將C換成D后，有△E+—(m+m+m)v2=(m+m)g(x+x)一mg(x+x)2 1 3 1 1 3「 1 2 1° 1 2聯立以上各式可以解得：2m1(m1+m2)g2I k(2m1+m3)針對訓練在光滑水平面上有兩個相同的彈性小球A、B，質量都為m,現B球靜止，A球向B球運動，發生正碰。已知碰撞過程中總機械能守恒，兩球壓縮最緊時的彈性勢能為Ep，則碰前A球的速度等于 (mE

A球的速度等于 (mE質量為m的物體，在距地面h高處以g/3的加速度由靜止豎直下落到地面，下列說法中正確的是： ( )物體的重力勢能減少1/3mgh物體的機械能減少2/3mgh物體的動能增加1/3mgh重力做功mgh一物體從某一高度自由落下，落在直立于地面的輕彈簧上，如圖所示.在A點時，物體開始接觸彈簧；到B點時，物體速度為零，然后被彈回.下列說法中正確的是[bcd]物體從A下降到B的過程中，動能不斷變小物體從B上升到A的過程中，動能先增大后減小物體由A下降到B的過程中，彈簧的彈性勢能不斷增大物體由B上升到A的過程中，彈簧所減少的彈性勢能等于物體所增加的動能與增加的重力勢能之和長為L質量分布均勻的繩子，對稱地懸掛在輕小的定滑輪上，如圖所示.輕輕地推動一下，讓繩子滑下，那么當繩子離開滑輪的瞬間，繩子的速度為.—根內壁光滑的細圓管，形狀如下圖所示，放在豎直平面內，一個小球自A口的正上方高h處自由落下，第一次小球恰能抵達B點；第二次落入A口后，自B口射出，恰能再進入A口，則兩次小球下落的高度之比hi：h2=將質量為M和3M的兩小球入和日分別拴在一根細繩的兩端，繩長為L，開始時B球靜置于光滑的水平桌面上，A球剛好跨過桌邊且線已張緊，如圖所示.當A球下落時拉著B球沿桌面滑動，桌面的高為h，且hVL.若A球著地后停止不動，求：(1)B球剛滑出桌面時的速度大小.(2)B球和A球著地點之間的距離.幻 幽生彳」?—如圖所示，半徑為W~質量不計的圓盤盤面與地面相垂直,圓心處有一個垂直盤面的光滑水平固定軸O,在盤的最右邊緣固定一個質量為m的小球A,在O點的正下方離O點r/2處固定一個質量也為m的小球B.放開盤讓其自由轉動，問：當A球轉到最低點時，兩小球的重力勢能之和減少了多少?A球轉到最低點時的線速度是多少？在轉動過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？

小球A用不可伸長的輕繩懸于O點，在O點的正下方有一固定的釘子B,OB=d，初始時小球A與O同水平面無初速釋放，繩長為L，為使球能繞B點做圓周運動，試求d的取值范圍？OhI■Im |，|m如圖所示，桌面上有許多大小不同的塑料球，它們的密度均為P，有水平向左恒定的風作用在球上；使它們做勻加速運動(摩擦不計)，已知風對球的作用力與球的最大截面面積成正比，即F=kS(k為一常量).(1)對塑料球來說，空間存在一個風力場，請定義風力場強度及其表達式.(2)在該風力場中風力對球做功與路徑無關，可引入風力勢能和風力勢的概念，若以柵欄P零風力勢能參考平面，寫出風力勢能Ep和風力勢U的表達式。⑶寫出風力場中機械能守恒定律的表達式.(球半徑用r表示；第一狀態速度為v1，位置為x1；第二狀態速度為七，位置為X2)將細繩繞過兩個定滑輪A和B.繩的兩端各系一個質量為m的祛碼。A、BOhI■Im |，|m如圖所示，桌面上有許多大小不同的塑料球，它們的密度均為P，有水平向左恒定的風作用在球上；使它們做勻加速運動(摩擦不計)，已知風對球的作用力與球的最大截面面積成正比，即F=kS(k為一常量).(1)對塑料球來說，空間存在一個風力場，請定義風力場強度及其表達式.(2)在該風力場中風力對球做功與路徑無關，可引入風力勢能和風力勢的概念，若以柵欄P零風力勢能參考平面，寫出風力勢能Ep和風力勢U的表達式。⑶寫出風力場中機械能守恒定律的表達式.(球半徑用r表示；第一狀態速度為v1，位置為x1；第二狀態速度為七，位置為X2)參考答案：1.C2.BCD3.BCD4.解：由機械能守恒定律，取小滑輪處為零勢能面.=一mgL——+1—mv225.解：第一次恰能抵達B點，不難看出vB1=0由機械能守恒定律mgh1=mgR+1/2?mvB12第二次從B點平拋R=vB2t參考答案：1.C2.BCD3.BCD4.解：由機械能守恒定律，取小滑輪處為零勢能面.=一mgL——+1—mv225.解：第一次恰能抵達B點，不難看出vB1=0由機械能守恒定律mgh1=mgR+1/2?mvB12第二次從B點平拋R=vB2tR=1/2?gt2VB26.7.mgh2hlh2=mgR+1/2?mvB22=5R/4:h2=4：5答案：Q）v=2uH11解：（i）AEp=mgr-mgr/2=mgr/2(2)由系統機械能守恒定律得2mgr一mv"二m21 5=—m?一v22 4a左偏離豎直方向的最大角度是9,由系統機械能守恒定律得mgrXcos9-mgr/2X(1+sin9)=02cos9=1+sin9,4(1-sin29)=1+2sin9+sin20,5sin20+2sin9-3=0Sin9=0.6.?.9=37°2/r解：設BC=r，若剛能繞B點通過最高點D,必須有(1)2/r由機械能守恒定律

mg(L-2r)=1/2mvd2 (2).??r=2L/5d=L-r=3L/5?.?d的取值范圍 3/5Ld<L解：(1)如答案圖(a