頻域分析的基本原理數字信號處理傅里葉變換信號一般有兩種基本形式：時域形式和頻域形式。為了分析上的方便，往往需要信號在頻域中的描述。傅立葉變換就是一種描述信號頻域特性的方法，它也是眾多科學領域里重要的應用工具之一。下面就給出傅立葉變換的定義：f(t)F(u)F(w)=f(t)exp[-jwt]dt,weRsf(t)=—f+^F(w)exp[jwt]dw(4-1)傅里葉變換是一種刻畫函數空間，求解微分方程，進行數值運算的有效工具。它可以把許多常見的微分、積分和卷積運算化簡成代數運算。在平穩信號分析和處理中有著突出的貢獻，因為它可以把復雜的時間信號和空間信號轉換到頻率域中，用頻譜特性去分析和表示時域信號的特性。但是，對常見的不平穩信號，如語音信號、音樂信號、探地信號、核探測的脈沖信號、以及核醫學的圖像信號等，它們的頻域特性是隨時間變化的，人們需要了解某些局部時段上所對應的主要頻率特性，也需要了解某些頻率的信息出現在那些時段上，也就是需要了解時-頻部分化要求。對于這種時－頻局部化要求，傅立葉變換是無能為力的。可見：從時間(模擬)信號中提取頻譜信息F(s),就是取無限的時間量，即使用(一8,8)的時間信息來計算單個頻率的頻譜；或者說，頻域過程F(s)的任一頻率組成部分的值，是由時域過程玖七)在(一8,8)上決定的。過程f(t)在任一時刻的狀態也是由F(s)在整個頻域(一8,8)的量決定。故f(t)和F(s)間的彼此的整個刻畫，不能反映各自局部區域上的特征。也就是說,人們雖然從傅立葉變換能清楚地看到一個信息包含的每一個頻率的多少但很難看出不同信號何時發射和發射了多長時間，缺少時間信息使得傅立葉分析變得脆弱而容易失誤。對于一個特別簡單的信號、或信號突然變化和不可預測的情況，傅立葉分析不可用。4.2.2.2短時傅里葉變換短時傅里葉變換式最早和最常用的一種時頻分析方法，是傅立葉變換的自然推廣。為使變換具有時頻局域性，它先將時間信號加窗，然后將時間窗滑動做傅里葉變換，就得到信號的時變譜或短時譜。因此，短時傅里葉變換是用時間窗的一段信號來表示他在某個時刻的特性。顯然，窗越寬，時間分辨率越差，但為提高時間分辨率面縮短窗寬時，又會降低頻率分辨率。在傅立葉積分中，使用空間窗口函數g(t-T)與信號f(t)相乘，實現在T附近的開窗和平移，然后進行傅立葉變換。在線性空間有一個可測的、平方可積的函數f(t)WL2(R)，對其進行窗式傅立葉變換：G(g,u)=jf(t)g(t-u)e-j&dtf R(4-2)g(t-u)e-j為其中的積分核，f(t)g(t-u)e-j為在點附近度量了頻率為u的正弦分量的幅度。時窗函數g(t)：通常選窗口函數為能量集中在低頻處的實偶函數；信號在乘以平滑移動的窗函數g(t-u)后，有效地抑止了的鄰域以外的信號，所以，再對f(t)g(t-u)進行傅立葉變換所得的結果，反映了t=u時刻附近的局域頻譜信息,也就是給出了按窗口f(t)寬度分解信號的頻譜F(3),從而達到了時域局域化的目的。時窗函數的傅立葉變換G(3)=g八(3)為頻窗函數。圖4-1窗的概念從以上定義知，和g(t)和G(3)分別起著時窗和頻窗的作用，在時間一頻率坐標系中，時窗和頻窗共同作用的結果就構成了時-頻窗，這樣就從幾何上直觀低描述了時頻局部化。由窗式傅立葉變換對函數進行的分析，相當于用一個形狀、大小和放大倍數相同的“放大鏡”在時－頻相平面上移動去觀察某固定長度時間內的頻率特性，如上圖所示。這里的問題是：盡管窗式傅立葉變換能解決變換函數的局域化問題，但是，其窗口的大小和形狀是固定的，即窗口沒有自適應性。圖4-2窗口的概念在實際問題中，對于高頻譜的信息，由于波形相對要窄，時間間隔要相對的小以給出比較好的精度，也就是更好地確定峰值和斷點，或者說需要用較窄的時域窗來反映信息的高頻成分；而對于低頻譜的信息，由于波形相對是寬的，時間間隔要相對的寬才能給出完整的信號信息，或者說必須用較寬的時域窗來反映信息的低頻成分。而用Gabor變換，如果你選擇一扇寬的時頻窗，低頻成分可以看得清楚，在高頻部分確定時間時就很糟糕；若你選一扇窄的時頻窗，在高頻可以很好確定時間，但在低頻的頻率就可能裝不進去。這樣，真正合適的做法是“放大鏡”的長寬是可以變化的，在時－頻相平面上分布可如下圖示。正是為了實現這樣的目的，人們引進了小波變換。4.2.2.3小波變換小波變換是80年代后期新發展起來的一種數學分析方法,目前已經受到數學界和工程界的極大重視。現在，小波分析已經被成功地應用于信號處理、圖像處理、地震勘測、模式識別、計算機視覺、故障監控等眾多學科和相關技術的研究中，而我們對于小波分析的研究也正在一步步地向更深的層次發展。在本文中，小波分析是主要的理論基礎。小波，即小區域的波，是一個特殊的長度有限、平均值為0的波形。它有兩個特點：一個“小”，即在時域都具有緊支集或近似緊支集；二是正負交替的“波

動性”，也即直流分量為零。所有小波是通過對基本小波進行尺度伸縮和位移得到的。基本小波是一具有特殊性質的實值函數，它是震蕩衰減的，而且通常衰減得很快，在數學上滿足積分為零的條件：Jg屮(t)dt=0。—g設函數且滿足條件：屮(t)GLi(R)nL2(R)則稱V為一個小波基。設f(t)是平方可積函數(記作f(t)WL2(R))，屮(t)是基本小波。則—gWf(S,t)=f(t)*屮(t)=Jgf(TM(t—T)dT—g(4—3)稱為f(t)的小波變換。式中是伸縮尺度因子。式中不但t是連續變量，而且s>0也是連續變量，因此稱為連續的小波變換。我們可以看出小波變換具有如下的特點：具有多分辨率，也叫多尺度的特點，可以由粗及細地逐步觀察信號。可以看成用基本頻率特性為甲(t)的帶通濾波器在不同尺度s下對信號做濾波。由傅立葉變換的尺度特性可知這組濾波器具有品質因數恒定，即相對帶寬(帶寬與中心頻率之比)恒定的特點。注意，S越大相當于頻率越低。適當地選擇基本小波，使w(t)在時域上為有限支撐，甲(t)在頻域上也比較集中，便可以使WT在時、頻兩域都具有表征信號局部特性的能力，因此有利于檢測信號的瞬態或者奇異點。基于上述特性，所以也有人將小波變換譽為分析信號的數學顯微鏡。4.2.2向量法的基本原理向量法的基本思想來自于語音的模式識別，語音是一種聲波，而脈搏信號則是一種次聲波，語音識別技術已經發展多年，所以有一些成熟的特征提取的方法可以借鑒。從語音信號中提取的說話人特征常常時一個多維矢量的時間序列。我們根據這個思想，想從頻譜數據中提取類似的特征向量。在測量過程中發現，雖然頻譜圖千變萬化，但是每個人頻譜中都有諧波，只是有的人明顯，有的人不明顯。如果從頻譜圖找出了各個諧波，然后再映射到向量空間中，就可以組成了一個多維矢量，這個過程如圖4-3所示。可以根據這個矢量進行接下來的分析。下面首先對模式識別做一個簡介。語音識別系統主要包括兩個部分:特征提取和模式匹配［23。圖4-3空間變換（1） 特征提取說話人的模型不是由語音信號得到的，而是通過從語音信號中提取特征而得到的，是說話人語音特征的模型。測試音只有在經過特征提取后才與說話人的模型進行比較和匹配,訓練語音也只有進行語音特征提取后才能得到其特征的模型，因此特征提取是說話人識別系統中的重要組成部分。與計算機處理相對應，可以將人類的聲音特征劃分為以下三個層次:聲道聲學層次，在分析短時信號的基礎上，抽取對通道、時間等因素不敏感的特征;韻律特征層次，抽取獨立于聲學、聲道等因素的超音段特征,如方言、韻律、語速等;語言結構層次，通過對語音信號的識別，獲取更加全面和結構化的語義信息。說話人識別系統主要針對較低層次的聲道聲學特征進行建模，主要有基音周期、共振峰、基于線性預測的倒譜、基于付氏變換的FFT倒譜、基于語音信號的濾波器組分析的Mel倒譜和語音譜的過渡信息等。總之，較好的特征提取,應該能夠有效地區分不同的說話人，但又能在同一說話人語音發生變化時保持相對的穩定；不易被他人模仿或能夠較好地解決被他人模仿問題;具有較好的抗噪性能等等。（2） 模式匹配目前針對各種特征而提出的模式匹配方法的研究越來越深入,大致可歸為三類:基于非參數模型的方法、基于參數模的方法、基于神經網絡模型的方法。典型的非參數模型有模板匹配、矢量量化模型。模板匹配方法用語音信號某些特征的長時間的均值來辨認說話人，這一均值我們也稱為統計平均。使用模板匹配方法,就是對待識語音計算平均值。并與已經儲存的每一說話人訓練平均值進行比較。在模板模型系統中，補償說話率偏差的最流行方法是動態時間規整（DTW）方法。矢量量化模型作為一種非參數模型，是目前文本無關的說話人識別方法的評估基準。從語音信號中提取的說話人特征，常是一多維矢量的時間序列。矢量量化模型就是從這些矢量中尋找到少數具有代表性的典型矢量進而構的說話人模型。尋找代表矢量（碼本）為一矢量聚類問題,可通過聚類等算法來實現。用矢量量化模型識別說話人的過程如下：對某一說話人，其訓練語音的特征矢量序列通過聚類算法可聚為M類,求每類中的所有矢量的均值（或選擇類中的一個成員）就得到了每類的碼本矢量。M個碼本矢量構成了該說話人的矢量量化模型。在識別過程中，將待識語音的每一特征矢量到某一說話