吉林省長春市萬金塔鄉中學2021-2022學年高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數中，既是偶函數又在區間(0,+∞)上單調遞增的是（

）A． B． C． D．參考答案：B對于A:函數在遞減，不合題意；對于B:是偶函數且在遞增，符合題意；對于C：是周期函數，在不單調，不合題意；對于D：此函數不是偶函數，不合題意；2.已知e是自然對數的底數，函數的零點為，函數的零點為，則下列不等式成立的是（

)A．

B．C．D．參考答案：D易知函數f（x）=ex+x﹣2在R上是增函數，g（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上也是增函數；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；3.已知集合A={x∈Z|-1≤x≤2},集合B={y|y=},則A∩B=(

)A.{-1,0,1}

B.{0,1,2}

C.{-1,0,1,2}

D.參考答案：A4.直線y=3x繞原點逆時針旋轉90°，再向右平移1個單位，所得到的直線為(

) A． B． C．y=3x﹣3 D．參考答案：A考點：兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系．分析：先利用兩直線垂直寫出第一次方程，再由平移寫出第二次方程．解答： 解：∵直線y=3x繞原點逆時針旋轉90°∴兩直線互相垂直則該直線為，那么將向右平移1個單位得，即故選A．點評：本題主要考查互相垂直的直線關系，同時考查直線平移問題．5.設函數在定義域內可導，的圖象如圖，則導函數的圖象可能是（

）參考答案：C6.設等差數列滿足：，公差．若當且僅當時，數列的前項和取得最大值，則首項的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：B【知識點】等差數列及等差數列前n項和D2由=1得：由積化和差公式得：整理得：=∴sin（3d）=-1．

∵d∈（-1，0），∴3d∈（-3，0），則3d=-，d=-．

由Sn=na1+=na1+=-+對稱軸方程為n=(a1+)，由題意當且僅當n=9時，數列{an}的前n項和Sn取得最大值，

∴＜(a1+)＜，解得＜a1＜．

∴首項a1的取值范圍是(,)．【思路點撥】利用三角函數的倍角公式、積化和差與和差化積公式化簡已知的等式，根據公差d的范圍求出公差的值，代入前n項和公式后利用二次函數的對稱軸的范圍求解首項a1取值范圍．7.有下列四個命題：

p1：；

p2：已知a>0，b>0，若a+b=1，則的最大值是9；

p3：直線過定點(0，-l)；

p4：區間是的一個單調區間．

其中真命題是

(A)p1,p4

(B)p2,p3

(c)p2,p4

(D)p3,p4參考答案：8.為了解某地區高三學生的身體發育情況，抽查了該地區100名年齡為17.5歲－１８歲的男生體重(kg),得到頻率分布直方圖如下：

根據上圖可得這100名學生中體重在〔56.5,64.5〕的學生人數是（

）

A．20

B．30

C．40

D．50

參考答案：答案：C9.函數的圖象是（

）參考答案：A10.已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，且a與c的夾角為60°，|b|＝|a|，則a與b的夾角為

（A）30° （B）150° （C）60° （D）120°參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線在點處的切線方程為______________.參考答案：【分析】求出原函數導函數，得到函數在時的導數，再由直線方程點斜式得答案．【詳解】解：由，得，，曲線在點處的切線方程為，即．故答案為：．【點睛】本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，熟記基本初等函數的導函數是關鍵，屬于基礎題．12.在ABC中，D為BC邊上一點，BC=3BD，AD=，∠ADB=1350，若AC=AB，則BD=

.參考答案：作AH⊥BC于H,則則.又,所以，即,，，所以，即，整理得，即，解得或（舍去）.13.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，當tan（A﹣B）取最大值時，角C的值為．參考答案：考點： 兩角和與差的正切函數；正弦定理的應用．

專題： 壓軸題；三角函數的求值．分析： 利用正弦定理及誘導公式化簡已知的等式，整理后利用同角三角函數間的基本關系弦化切后得到tanA=3tanB，利用兩角和與差的正切函數公式化簡tan（A﹣B），將tanA=3tanB代入，利用基本不等式變形，求出tan（A﹣B）取得最大值時tanA與tanB的值，進而確定出A與B的度數，即可此時得到C的度數．解答： 解：利用正弦定理化簡已知的等式得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B）=（sinAcosB+cosAsinB），整理得：sinAcosB=3cosAsinB，兩邊除以cosAcosB得：tanA=3tanB，則tan（A﹣B）===，∵A、B是三角形內角，且tanA與tanB同號，∴A、B都是銳角，即tanA＞0，tanB＞0，∴3tanB+≥2，當且僅當3tanB=，即tanB=時取等號，∴tanA=3tanB=，∴A=，B=，則C=．故答案為：點評： 此題考查了兩角和與差的正切函數公式，正弦定理，同角三角函數間的基本關系，誘導公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．14.若直角坐標平面內兩點滿足條件：①都在函數的圖象上；②關于原點對稱，則稱是函數的一個“伙伴點組”（點組與看作同一個“伙伴點組”）．已知函數有兩個“伙伴點組”，則實數的取值范圍是__

_．參考答案：.15.如圖是某算法的程序框圖，若任意輸入中的實數，則輸出的大于的概率為

;

參考答案：略16.設函數f（x）=3x+9x，則f（log32）=．參考答案：6【分析】利用對數換底公式直接求解．【解答】解：∵函數f（x）=3x+9x，∴f（log32）==2+=2+4=6．故答案為：6．【點評】本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對數換底公式的合理運用．17.如圖，在極坐標系中，過點的直線與極軸的夾角，若將的極坐標方程寫成的形式，則

。

參考答案：設直線上的任一點為P,因為,所以,根據正弦定理得,即，即。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對于函數定義域內的任意x，存在常數a，b（），使得

恒成立，則函數的圖象關于點P（a，b）對稱，

已知函數（I）求證：存在定點M，使得函數圖象關于點M對稱，并求出點M的坐標；（II）定義，求的表達式，并求除以31的余數；（III）對于（II）中的求證：對于任意都有

.參考答案：解：（I）設，則由（常數）對任意x恒成立，則，解得，所以，存在定點，使得函數圖像關于點對稱。………………4分（II）由（I）得，…………5分又①得②①+②得

，所以

，…7分∵，∴……從而可知除以31的余數為1.……9分（III）當時，由（II）知：，故要證：對于任意都有則只需證：對于任意都有…………10分構造函數,則顯然：在上恒成立，所以在為增函數，且所以：，即在上恒成立，取，則有：所以原不等式得證。…………14分略19.（本小題滿分10分）己知曲線的極坐標方程是．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系．在平面直角坐標系中，直線經過點，傾斜角為．(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線，的參數方程；(2)設直線，與曲線相交于兩點，求的值.參考答案：20.某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方米.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為千元，半球形部分每平方米建造費用為千元.設該容器的總建造費用為千元.（Ⅰ）將表示成的函數，并求該函數的定義域；（Ⅱ）討論函數的單調性，并確定和為何值時，該容器的建造費用最小，并求出最小建造費用.（參考公式：球的表面積公式，球的體積公式，圓柱體的側面積公式，圓柱體的體積公式）參考答案：（Ⅰ）因為容器的體積為立方米，所以,解得所以圓柱的側面積為，兩端兩個半球的表面積之和為所以又，所以定義域為（Ⅱ）因為所以令得；令得所以當時，該容器的建造費用最小為千元，此時：略21.已知直線l的極坐標方程為，圓C的參數方程為為參數）．（1）請分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標方程；（2）求直線l被圓截得的弦長．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數方程化成普通方程．【專題】計算題；轉化思想；數學模型法；坐標系和參數方程．【分析】（1）展開兩角差的正弦，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ得到直線l的直角坐標方程，兩式平方作和消去θ得到圓的普通方程；（2）求出圓心到直線的距離，利用弦心距、圓的半徑及弦長的關系求得答案．【解答】解：（1）由，得，∴y﹣，即．圓的方程為x2+y2=100．（2）圓心（0，0）到直線的距離d=，y=10，∴弦長l=．【點評】本題考查參數方程化普通方程，考查了極坐標方程化直角坐標方程，考查了弦心距、圓的半徑及弦長的關系，是基礎題．22.已知點是函數的圖象上一點，等比數列的前項和為數列的首項為，且前項和滿足（1）數列，的通項公式；（2）若數列的前項和為，問的最小