第五節奇異值分解_第1頁
第五節奇異值分解_第2頁
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第五節奇異值分解第1頁，共19頁。矩陣的等價標準型定理：設則存在使得右式稱為矩陣A的等價標準型酉等價：設若存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，使得則稱A與B酉等價。矩陣的奇異值分解就是矩陣在酉等價下的一種標準型。第2頁，共19頁。引理1證明設是AHA的特征值，x是相應的特征向量，則AHAx=x由于AHA為Hermite矩陣，故是實數。又同理可證AAH的特征值也是非負實數。第3頁，共19頁。證明設x是方程組AHAx=0的非0解，引理2則由得第4頁，共19頁。對于Hermite矩陣AHA，AAH，設

AHA，AAH有r個非0特征值，分別記為即：AHA與AAH非0特征值相同，并且非零特征值的個數為第5頁，共19頁。奇異值的定義說明：A的正奇異值個數恰等于，并且A與AH有相同的奇異值。第6頁，共19頁。定理酉等價的矩陣有相同的奇異值由第7頁，共19頁。稱為矩陣A的酉等價標準形.奇異值分解定理第8頁，共19頁。證明由于AHA是Hermite矩陣，存在n階酉矩陣V,使其中將矩陣V分塊，則有：第9頁，共19頁。比較等式兩端得：從而有設第10頁，共19頁。即U1的r個列是兩兩正交的單位向量，則第11頁，共19頁。于是第12頁，共19頁。推論在矩陣A的奇異值分解A=UDVH中，U的列向量為AAH的特征向量，V的列向量為AHA的特征向量.說明：此定理僅是奇異值分解的必要條件，但不是充分條件。第13頁，共19頁。1]求矩陣AHA的酉相似對角矩陣及酉相似矩陣V;5]構造奇異值分解4]擴充U1為酉矩陣U=(U1,U2)3]令2]記奇異值分解方法1—利用矩陣AHA求解第14頁，共19頁。例1、求矩陣的奇異值分解可求得的特征值為對應的特征向量依次為于是可得：令其中計算：第15頁，共19頁。構造：則的奇異值分解為第16頁，共19頁。奇異值分解方法2--利用矩陣AAH求解1]先求矩陣AAH的酉相似對角矩陣及酉相似矩陣U;4]擴充V1為酉矩陣V=(V1,V2)5]構造奇異值分解

2]記3]令第17頁

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