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文檔簡介

第七節方向導數與梯度

一、問題的提出二、方向導數的定義三、梯度的概念四、小結重點：方向導數與梯度的計算難點：方向導數與相關概念的關系實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的實質：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．一、問題的提出討論函數在一點P沿某一方向的變化率問題．二、方向導數的定義（如圖）當沿著趨于時，是否存在？記為定義證明由于函數可微，則增量可表示為兩邊同除以得到故有方向導數解例1解由方向導數的計算公式知例2故推廣可得三元函數方向導數的定義解令故方向余弦為例3故三、梯度的概念結論在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量等高線的畫法播放例如,梯度與等高線的關系：類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數的方向一致，其模為方向導數的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數解由梯度計算公式得故1、方向導數的概念2、梯度的概念3、方向導數與梯度的關系（注意方向導數與一般所說偏導數的區別）（注意梯度是一個向量）四、小結思考題思考題解答作業P55:2—5,6(2,3),7.等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法

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