第3章抽樣方法與抽樣分布

2000年的美國總統選舉一波三折，出現了前所未有的激烈場面，爆出了“難產”的世紀大新聞。11月7日美國第54屆大選投票后，本應在第2天宣布大選結果，卻因兩黨總統候選人對決定勝負的佛羅里達州的計票結果發生嚴重爭執，雙方由政治競爭發展到“對簿公堂”，大小官司打了50多場，從地方法院，州法院，巡回法院，一直打到聯邦最高法院，從而使大選戰火四處蔓延，美國上下沸沸揚揚，全世界都在注視佛州關于選票所引起的混亂。只是聯邦最高法院12月12日對佛州人工重新計票問題作出最后裁決，戈爾14日發表“退出”競選之后，大選才有了最終結果。大舉結果顯然變成了審判的結果。因此，不少政治評論家認為，布什總統不是選出來的，而是“判”出來的。與此同時，共和黨以“極其微弱的優勢”繼續控制國會參眾兩院。這是1954年以來，共和黨首次同時控制白宮和國會。美政治分析家認為，共和黨在這次大選中獲得了“全面勝利”。管理定量分析第3章：抽樣技術猜想一下，這些民意調查專家訪問了多少受訪者，使其對大約一億選民的行為預測的誤差不超過兩個百分點?不超過2000！概率抽樣與非概率抽樣抽樣就是懸著觀察對象的過程，比如在繁忙的街道上每隔10人就訪問一個人就可以稱為抽樣。抽樣調查與總統選舉。抽樣調查的歷史來源。3.1非概率抽樣無法選擇概率樣本的情形下采用非概率抽樣：例：要研究無家可歸者，不但沒有一份所有無家可歸者的現成名單，也不可能造一份這樣的名冊。4種非概率抽樣方法:就近抽樣目標式或判斷式抽樣滾雪球抽樣配額抽樣就近抽樣定義：是指研究者根據現實情況，以自己方便的形式抽取偶然遇到的人作為調查對象，或者僅僅選擇那些離得最近的、最容易找到的人作為調查對象。就近抽樣舉例：為了調查某市的交通情況，研究者到離他們最近的公共汽車站，把當時正在那里等車的人選作調查對象。在街口攔住過往行人進行調查；在圖書館閱覽室對當時正在閱讀的讀者進行調查；在商店門口、展覽大廳、電影院等公眾場所向進出往來的顧客、觀眾進行的調查；利用報刊雜志向讀者進行調查；老師以他所教的班級的學生作為調查樣本的調查等等。判斷式抽樣判斷抽樣又稱“立意抽樣”或“目標式抽樣”，是指根據調查人員的主觀經驗從總體樣本中選擇那些被判斷為最能代表總體的單位作樣本的抽樣方法。例如：要對福建省旅游市場狀況進行調查，有關部門選擇廈門、武夷山、泰寧金湖等旅游風景區做為樣本調查，這就是判斷抽樣。滾雪球抽樣樣定義：滾雪雪球抽樣是是指先隨機機選擇一些些被訪者并并對其實施施訪問，再再請他們提提供另外一一些屬于所所研究目標標總體的調調查對象，，根據所形形成的線索索選擇此后后的調查對對象。例如，要研研究退休老老人的生活活，可以清清晨到公園園去結識幾幾位散步老老人，再通通過他們結結識其朋友友，不用很很久，你就就可以交上上一大批老老年朋友。。但是這種種方法偏誤誤也很大，，那些不好好活動、不不愛去公園園、不愛和和別人交往往、喜歡一一個人在家家里活動的的老人，你你就很難把把雪球滾到到他們那里里去，而他他們卻代表表著另外一一種退休后后的生活方方式。滾雪球抽樣樣滾雪球抽樣樣主要用于于估計十分分稀有的人人物特征，，例如名字字不能公開開的信息，，可利用政政府或社會會服務的人人員；特別別的群體，，如私家車車車主等。。滾雪球抽樣樣的主要優優點是可以以大大增加加接觸總體體中所需群群體的可能能性。而且且可以根據據某些樣本本特征對樣樣本進行控控制，適用用于尋找一一些在總體體中十分稀稀少的人物物。此外還還可以使調調查費用大大大減少，，不過這種種成本的節節約是以調調查質量的的降低為代代價的。配額抽樣配額抽樣也也稱“定額額抽樣”，，是指調查查人員將調調查總體樣樣本按一定定標志分類類或分層，，確定各類類（層）單單位的樣本本數額，在在配額內任任意抽選樣樣本的抽樣樣方式。例如市場調調查中消費費者的具有有性別、年年齡、收入入、職業、、文化程度度等等方面面的特征。。按各個控控制特性，，分配樣本本數額。配額抽樣從從建立描述述目標總體體特征的矩矩陣或表格格開始。舉例來說，，研究者必必須事先知知道，目標標總體中男男性占多少少比例，女女性占多少少比例；在在不同的年年齡階層、、還有教育育水準、種種族團體等等不同類別別中，男女女比例又是是如何?這樣的矩陣陣一旦建立立起來，就就可以進行行配額抽樣樣。矩陣中的每每一個格子子(cell)就有了相應應的比例，，此時研究究者就根據據研究目的的從不同的的格子中選選擇樣本并并收集資料料，而代表表每一個格格子出現的的人，則按按照這些格格子相對于于總體的比比例，給予予加權。3.2概率抽樣方方法有意識與無無意識的抽抽樣誤差舉例：“隨隨機”訪問問遇到的100名學生概率抽樣是是根據概率率理論來選選擇樣本的的方法的總總稱。一些些隨機選擇擇機制就是是典型。其其背后的基基本觀念是是：要對總總體進行有有用的描述述，從該總總體中抽樣樣出來的樣樣本必須包包含總體的的各種差異異特征。幾個重要概概念總體(population)：是一個統統計問題中中所涉及個個體的全體體。樣本（sample）：按一定定程序從總總體中抽取取的一組個個體。均值（mean）：表示一一系列數據據或統計總總體的平均均特征的值值。樣本容量(Samplesize)：樣本中所所含個體的的數量。標準差（standarddeviation）標準差也稱稱均方差，，是各數據據偏離平均均數的距離離的距離，用σ表示示。標準差差是方差的的算術平方方根。標準準差能反映映一個數據據集的離散散程度。平平均數相同同的，標準準差未必相相同。標準準差計算公公式例：學生成成績的抽樣樣樣本1：樣本2：757073698168767799894486796725100抽樣框抽樣框又稱稱“抽樣框框架”、““抽樣結構構”，是指指對可以選選擇作為樣樣本的總體體單位列出出名冊或排排序編號，，以確定總總體的抽樣樣范圍和結結構。常見的抽樣樣框：大學學學生花名名冊、城市市黃頁里的的電話列表表、工商企企業名錄、、街道派出出所里居民民戶籍冊、、意向購房房人信息冊冊……。抽樣框誤差差來源抽樣框存在在偏誤，會會對預測結結果造成很很大影響，，因此，需需要對抽樣樣框誤差來來源進行分分析。丟失目標總總體單位：：也被被稱稱為為““涵涵蓋蓋不不足足””，，是是指指抽抽樣樣框框沒沒有有覆覆蓋蓋全全部部目目標標總總體體單單位位，，有有些些目目標標單單位位沒沒有有在在抽抽樣樣框框中中出出現現，，因因而而也也就就沒沒有有機機會會被被選選入入樣樣本本，，這這些些單單位位成成為為丟丟失失目目標標單單位位。。對丟失的總體體單位不能發發現并糾正會會造成調查中中對總量的估估計偏低。（（未裝電話））包含非目標單單位：是指抽樣框中中包含了一些些不屬于研究究對象的非目目標總體單位位。這種偏差的影影響很大，但但是潛在威脅脅卻通常會小小一些。因為為可以在調查查中辨認出非非目標元素并并把它們剔除除。一般情況下，，由于抽樣框框中存在非目目標總體單位位，容易造成成估計量的高高估。（單位位電話）丟失目標單位位和包含非目目標單位共存存：是指在抽樣框框中既有丟失失目標單位，，也有包含非非目標單位。。在實際調查中中，丟失目標標單位不易被被查覺和發現現，具有較大大的隱蔽性，，相比之下，，包含非目標標單位的抽樣樣框誤差的威威脅性要小些些。因為在調調查過程中，，非目標單位位容易被發現現，并予以剔剔除。如果丟失目標標單位和包含含非目標單單位數量相當當，也相互抵抵消，估計量量是否會產生生偏差也難以以斷定。這要要取決于丟失失目標單位和和非目標單位位的數量特征征是否有顯著著差異。復合連接：是指抽樣框單單元與目標總總體單元不完完全一一對應應，而是存在在一對多、多多對一或是多多對多模式的的現象。在前一種模式式中，若進行行簡單隨機抽抽樣，能保證證每個目標總總體單位以同同等的可能性性被抽中。在后兩種模式式中進行簡單單隨機抽樣，，每個目的總總體單位被抽抽中的概率是是不同的，從從而使估計量量產生偏斜。。例如：若某銀銀行想了解其其客戶的情況況進行一次抽抽樣調查，則則該行所有客客戶構成目的的總體。選擇擇的抽樣框是是銀行的來往往帳目，這就就構成了多對對一模式。若若在這個框中中進行抽樣，，則來往帳目目多的客戶被被抽中的可能能性則較大，，反之來往帳帳目少的客戶戶被抽中的可可能性很小，，而兩種客戶戶通常會有較較大差異，從從而造成樣本本的偏斜，使使估計量產生生偏差。抽樣框老化：：又稱為“抽樣樣框過時”或或“不準確的的抽樣框”，，是指隨著時時間的推移，，抽樣總體與與目標總體產產生極大的偏偏差，即原來來的抽樣框不不符合實際情情況，必須進進行更新。最最典型的例子子，就是隨著著城市建設的的大規模展開開，許多地區區已被改造，，地址發生了了變化，如果果仍按以前的的抽樣框去抽抽樣，那么精精度就會難以以控制。減少抽樣框誤誤差方法：第一，在抽選選樣本之前，，要對抽樣框框加以檢查，，發現可能存存在的問題，，進行識別、、處理，并采采取一定措施施加以補救。。第二，連接接遺漏單位法法，就是指把把抽樣樣本遺遺漏的個體和和抽樣樣本中中的某個值相相連接，其鏈鏈接規則必須須在調查前明明確規定。簡單隨機抽樣樣例如：要調查查居民對某項項公共政策的的態度，要從從100戶居民家庭中中抽選10戶居民代表抽抽選樣本。具具體步驟如下下：第一步：將100戶居民家庭編編號，每一戶戶家庭一個編編號，即01～00。（每戶居民民編號為2數，00代表100），第二步：在附附錄的隨機數數表隨機確定定抽樣的起點點和抽樣的順順序。假定從從第1行，第9列開始抽，抽抽樣順序從左左往右抽。第三步步：依依次抽抽出號號碼分分別是是：92、45、42、05、94、96、05、37、36、02，共10個號碼碼。由由于05號碼被被抽了了兩次次。再再補充充1個號碼碼：22。由此此產生生10個樣本本單位位號碼碼為：：92、45、42、05、94、96、37、36、02、22。編號為為這些些號碼碼的居居民家家庭就就是抽抽樣調調查的的對象象。系統抽抽樣系統抽抽樣(systematicsampling)是系統化地地選擇完整整名單中的的每第K個要素組成成樣本。如如果名冊包包含10000個要素，而而需要1000個樣本時，，選擇每第第10個要素作為為樣本。系統抽樣方方法潛藏的的危機例一，研究人員從從名冊中每每隔10個士兵抽出出一個來進進行研究。。然而士兵兵的名冊是是依下列的的組織方式式來編排的的:首先是中士士，接著是是下士，其其后才是二二等兵；用用一班一班班的方式進進行編排，，每個班10個人。因此，此名名冊中每隔隔10個便是一位位中士。如如此系統抽抽樣可能會會取得一個個完全是中中士的樣本本，同樣的的理由，此此方式也可可能會取得得一個完全全不含中士士的樣本。。例二假設我們想想在一棟公公寓建筑物物內選擇公公寓樣本。。如果樣本是是從每個公公寓的編碼碼(如101，102,103,104,201，202等等)中抽出的話話，那么所所使用的抽抽樣間隔，，可能剛好好等于每層層樓的戶數數或是每層層樓戶數的的倍數。如如此所選到到的樣本有有可能都是是屬于西北北角的公寓寓或都是接接近電梯的的公寓。假設這些形形態的公寓寓有一些共共同的特性性(如月租費較較高)，樣本就會會產生偏誤誤。分層抽樣分層抽樣是是在抽樣之之前將總體體分為同質質性的不同同群。原理：抽樣設計中中有兩個因因素可以減減少抽樣誤誤差。首先，大樣樣本比小樣樣本產生的的抽樣誤差差小。其次，從同同質(homogeneous)總體中抽取取樣本比從從異質(heterogeneous)總體中抽取取樣本所產產生的抽樣樣誤差要小小。分層抽抽樣便是基基于上述抽抽樣理論第第二個影響響因素的方方法?；静襟E首先將總體體分成互不不交叉的層層，然后按按一定的比比例，從各各層次獨立立地抽取一一定數量的的個體，將將各層次取取出的個體體合在一起起作為樣本本。分層抽樣的的特點是將將科學分組組法與抽樣樣法結合在在一起，分分組減小了了各抽樣層層變異性的的影響，抽抽樣保證了了所抽取的的樣本具有有足夠的代代表性。一個例子一個單位的的職工有500人，其中不不到35歲有125人，35歲至49歲的有280人，50歲以上的有有95人.為了了解這這個單位職職工與身體體狀況有關關的某項指指標，要從從中抽取一一個容量為為100的樣本，由由于職工年年齡與這項項指標有關關，決定采采用分層抽抽樣方法進進行抽取.因為樣本容容量與總體體的個數的的比為1：5，所以在各各年齡段抽抽取的個數數依次為125/5，280/5，95/5，即25，56，19。多級整群抽抽樣前面討論了了直接從要要素名單中中進行抽樣樣的方法。。然而許多多研究都需需要從一個個不易獲得得抽樣名單單的總體中中抽樣。例如:一個城市、、一個國家家的人口、、全國的大大學生等等等。在這些些例子當中中，抽樣的的設計必定定更加復雜雜，通常必必須先進行行整群要素素抽樣，然然后再從這這些群中抽抽取要素。。舉例要對一個總總體區域例例如城市的的人口進行行抽樣的時時候，雖然然沒有整個個城市的人人口名冊，，但是人們們居住在這這個城市中中的不同街街道，因此此可以先對對城市中的的不同街道道進行抽樣樣，然后列列出抽選出出來的每個個街道的住住戶名單，，再對這些些住戶進行行抽樣，之之后列出抽抽選出來的的住戶人口口名冊，最最后再對這這些人口名名冊進行抽抽樣。使用多級整整群抽樣方方法，能夠夠對全市的的人口進行行抽樣，而而不需要整整個城市的的人口名冊冊。3.3抽樣分布概率理論研研究者提供供了抽樣技技術和分析析樣本結果果的工具。。例：概率理理論使得調調查機構能能夠從大約約包含2000個投票人的的樣本來推推測總體1億人的投票票行為——而且還能夠夠明確指出出該估測的的可能誤差差。例1：10個人的抽樣樣分布假設一個群群體中有10個人，每個個人的口袋袋里都有一一定數量的的錢。假設設其中一人人身無分文文，一人有有1元，另一人人有2元，依此類類推到有9元的那個人人。問題：1、每個人平平均有多少少錢？2、如何通過過抽樣方法法知道這一一點？例2大樣本抽樣樣假設要研究究某大學的的學生對校校方擬實行行的一套學學生管理條條例的態度度。研究總總體為20000名該校注冊冊學生。樣樣本要素則則為該大學學的每個學學生，此研研究所考察察的變量為為對校規的的態度，這這是一個二二項式變量量:同意與不同同意。我們們將隨機抽抽取其中100名學生為樣樣本以估計計總體的情情況。抽取更多的的樣本之后后兩個概念離散變量：：是指采用用記數的方方法，如0，1，2，3，…來描述具體體事物的數數量特征。。例如，一個個機構的職職務分類數數，一個部部門的從業業人數等等等。這些都都是離散變變量的例子子。連續變量：：在一個給給定的區間間內有無數數多個變量量值，例如如，溫度、、氣壓、身身高、體重重、時間以以及距離等等等。注意意，這些變變量的共同同特點是都都可以用小小數表示。。正態分布是是用來描述述連續變量量的分布正態分布的的特征1.以平均數為為中心，并并在平均數數所在位置置形成一個個單峰的山山形分布。。2.曲線完全對對稱的，3.絕大部分數數值集中在在平均數的的附近。4.正態曲線線由其平平均數μ和標準差差σ完全確定定。正態曲線線由其平平均數μ和標準差差σ完全確定定。在正態分分布中，，約有68．26％的變量量值分布布在以平平均數為為中心的的一個個標準差差范圍內內；主講人：劉蘭劍約有95．44％的變量量值分布布在以平平均數為為中心的的兩個標標準差范范圍內；；在正態分分布中，，只有約約5％的數值值落在以以平均數數為中中心的兩兩個標準準差范圍圍之外(1-0.9544＝0.0456)，主講人：劉蘭劍約有99．72％的變量量值分布布在以平平均數為為中心的的三個標標準差范范圍內。。只有約0．25％的數值值落在以以平均數數為中心心的三個個標準差差范圍之之外(1-0.9972＝0．0028)。主講人：劉蘭劍總結在正態分分布中，，約有68．27％的變量量值分布布在以平平均數為為中心的的1個標準差差范圍內內；約有95%的數據分分布在以以平均數數為中心心的1.96個標準差差范圍內內；約有99%的數據分分布在以以平均數數為中心心的2.58個標準差差范圍內內。z分數和正正態概率率表z分數是用來衡衡量我們們所感興興趣的變變量值和和平均數數之間的的距離是是多少個個單位標標準差的的統計量量。我們可以利用用z分數將原始始數據變換換為與均值值相聯系的的發生概率率。主講人：劉蘭劍z分數確定一個變變量與數據據平均數之之間的距離離有多少個個單位的標標準差，用用公式表示示為：主講人：劉蘭劍查Z分數表（附附表１），，所得數值值為對應X與均值μ之間所有取取值發生的的概率。例：Z＝1，查表得0.3413，說明有34.３％的數據據落在平均均數與平均均數左側一一個標準差差單位的變變量區間內內。主講人：劉蘭劍在正態分布布中，有百百分之多少少的數值落落在平均數數μ與z=1．33之間?得到0.4082。有40.82％的數值落落在平均數數與1.33個標準差之之間。主講人：劉蘭劍計算有百分分之多少的的數值落在在大于z=1.33的范圍內?用0.5-平均數和z為1.33之間的概率率得到0.0918。因此，有9.18％的數值落落在大于z=1.33的范圍內。。主講人：劉蘭劍計算有百分分之多少的的數值落在在小于z=1.33的范圍內？？兩種思路：：（1）1-z大于等于1.33的概率（2）0.5+平均數與z之間的概率率主講人：劉蘭劍案例１警察局對所所有應聘者者進行了一一次警務知知識考試。。這次考試試的成績服服從平均數數為100，標準差為為10的正態分布布。問題１：假假設本次招招聘的主考考官要對一一名考分為為119．2的考生進行行審查。現現在我們需需要知道這這一考生的的成績在本本次考試中中處于什么么水平。步驟1將考試成績績變換為z值。首先將各個個考試成績績與其平均均數相減，，然后再除除以其標準準差，用公公式表示為為：本例中，用用我們所感感興趣的變變量值119．2減去本次考考試的平均均成績100，得到19．2；然后用19．2除以標準差差10，得到1．92。步驟2在正態分布布表上查找找z等于1．921.92相應的概率率為0.4726。這意味著著有47.26％的應試者者其考試成成績介于平平均數(100)和z=1.92(119.2分)之間間。。因因為為有有50％(一半半)的應應試試者者其其考考試試成成績績低低于于平平均均成成績績，，因因此此共共有有97.26％的的成成績績低低于于119.2。用概概率率語語言言來來表表達達，，就就是是從從所所有有的的警警察察局局警警務務考考試試的的應應試試者者中中隨隨機機抽抽取取一一人人，，其其成成績績不不低低于于119.2的概率率為0.0274(1-0.9726)。問題２２假設警警察局局局長長要知知道在在本次次考試試中，，成績績介于于100—106之間的的應聘聘者在在總人人數中中所占占的比比重有有多少少。因為本本次考考試成成績的的平均均數為為100(標準差差為10)，因此此這一一問題題也等等價于于：在在本次次考試試中，，成績績居于于106和平均均數之之間的的應聘聘者在在總人人數中中所占占的比比重為為多少少。步驟1變量值值轉化化為z值：步驟2在正態態分布布表中中查找找z等于0．6結果為為0．2257。因此此，在在這次次考試試中，，約有有22．6％的應應聘者者其成成績居居于100--106之間。。問題３３在這次次考試試中，，成績績介于于88-112之間的的應聘聘者所所占的的比重重是多多少?如果我我們根根據平平均數數所在在位置置，將將這一一區間間分為為兩個個部分分，則則這一一問題題的解解決將將會變變得簡簡單。。首先先，成成績介介于平平均數數100-112之間的的應聘聘者所所占的的比重重是多多少?步驟1將考試試成績績轉化化為z分數：：步驟2在正態態分布布表中中查找找z等于1．2成績介介于平平均數數和z之間的的應聘聘者所所占的的比重重是0.3849。因此此，在在本次次警務務知識識考試試中，，有38.49％的應應聘者者其成成績介介于100-112之間。。步驟３３第二部部分：：成績績介于于88到平均均數100之間的的應聘聘者所所占的的比重重是多多少?注意到到88到平均均數之之間的的距離離和112到平均均數之之間的的距離離相同同，只只是方方向相相反。。因此此，88和112的z值絕對對值相相等，，符號號相反反，等等于-1．20，但其其相應應的概概率相相同，，也為為0.3849，將這這兩個個概率率相加加，就就得到到成績績介于于88-112之間的的應聘聘者所所占的的比重重，等等于77％(0.3849+0.3849=0.7698)，問題４４在警察察局的的這次次考試試中，，隨機機抽取取一個個應聘聘者，，其成成績介介于117—122之間的的概率率是多多少?步驟１１，首首先計計算117和122這兩個個變量量值所所對應應的z值步驟2在正態態分布布表中中查找找z值在正態態分布布表中中查找找z等于1.70和2.20所對應應的概概率。。這兩兩個概概率分分別顯顯示了了在正正態曲曲線下下介于于平均均數和和1．70之間的面面積為0.4554，平均數數和2.20之間的面面積為0.4861。變量值值介于117-122之間的概概率等于于這兩個個概率之之差，即即0.0307(0.4861-0.4554)。問題５如果警察察局只想想錄用在在這次考考試中成成績居于于前20％的應聘聘者，則則根據原原始數據據，分數數線該怎怎么劃定定?步驟1查表因為考試試成績最最高的20％應聘者者和考試試成績最最低的80％應聘者者對應著著同一個個z分數，而而確定后后80％的z分數比確確定前20％的z分數要容容易。因此，我我們將要要尋找后后80％的考生生對應的的z分數。我我們從正正態分布布曲線知知道，在在后80％的考生生中，有有50％的人成成績低于于其平均均數100，另外30％的應聘聘者其成成績介于于平均數數和劃定定的分數數線之間間。為了了確定與與分數線線相對應應的z分數，先在正正態分布表中中找到0．30這一概率，然然后查看最左左邊的一列和和最上面的一一行，確定與與這一概率所所對應的z值。步驟2將z分數轉化為原原始數值。z值僅僅代表我我們所關心的的變量值與其其平均數之間間的距離是多多少個標準差差單位。我們需要與與z=0.85相對應的原原始數值，，因此，將將z值乘以標準準差(10)，得到8.5，即我們所所關心的分分位數比平平均數多8.5。最后將這這一數值與與平均數相相加，結果果為100+8.5=108.5。所以，如果果警察局只只錄用成績績在全部應應聘者中居居于前20％的應聘者者，則只有有那些成績績不低于108.5的應聘者才才可以被錄錄取，108.5分就是錄取取線。案例２陸軍部隊要要從大學招招募軍官。。為了能進進入軍官預預備學校，，參加考試試的大學畢畢業生的成成績必須名名列前75％。去年，平均均考試成績績為80分，標準差差為6，并且考試試成績服從從正態分布布，那么如如果只招收收成績排在在前75％的應聘者者，最低錄錄取分數線線應該定為為多少?有50％的應聘者者其成績在在80分以上，因因此，要求求的分數線線應低于平平均數，且且落入平均均數與分數數線之間的的分數比例例為25％。。在在正正態態分分布布表表中中查查找找概概率率0．25，發發現現與與其其最最為為接接近近的的概概率率是是0.2486，它它所所對對應應的的z值為為0.67。因因為為我我們們所所感感興興趣趣的的變變量量值值小小于于平平均均數數，，因因此此，，我我們們在在這這里里要要求求的的z值應應該該為為-0.67。將z等于于-0．67轉化化為為原原始始數數據據，，最最后后得得到到最最低低錄錄取取分分數數線線為為76分(-0．67××6)+80。案例例如果果知知道道某某一一學學生生考考試試得得了了87分，，那那么么我我們們幾幾乎乎無無法法判判斷斷該該成成績績是是好好是是壞壞。。因因為為考考試試的的題題目目的的難難度度，，學學生生的的現現有有知知識識水水平平、、以以及及評評分分標標準準都都會會影影響響到到學學生生的的得得分分。。87可以以說說很很高高，，也也可可以以說說很很低低；；但如如果果我我們們知知道道了了學學生生的的Z分數數，，我我們們就就可可以以了了解解該該學學生生這這次次考考試試是是低低于于平平均均分分還還是是高高于于平平均均分分以以及及在在全全班班（（或或者者總總體體））的的一一個個什什么么位位置置。。試利利用用Z分數數分分析析該該考考生生的的成成績績（（均均值值88.標準準差差6）一個個重重要要概概念念：：自自由由度度自由由度度是是““未未知知量量的的數數目目減減去去連連接接這這些些未未知知量量的的等等式式的的數數目目””。。假設有有兩個個變量量(x和y)，兩個個兩個個自由由度。。如果：：x+y=30。一個個自由由度如果