二自由度機械系統動力§4－1§4－1?4567例：球擺的一組廣義坐標是和假設雙擺僅能在xoy平面內擺xAl1sin yAl1 lsinlsin 如采用直角坐標，需xA，yA，xB，yB四個參x2y2l 22(xBxA)2( y 22 2N－S2×2－2其中N為質點數，S為方程數球擺的約束方

x2y2l2x2y2z2約束分類約束分類幾何約束與速定常約束與非x2y2完整約束與非完整約束(Holonomicconstraint)包括幾何約束(Geometric含時幾何約束(Timedependentconstraint)非完整約束(Nonholonomicconstraint)為：含有速度的約束且完整系統與非只包含完整約束的動力系統稱為完整系統是用于完整系至少包含一個可微約的力統為完系帶有滾動 系，自車汽，機落等，大都是非完整。rkrk(q1,q2,...,qn

xkxk(q1,q2,...,qn y(q,q,...,q z(q,q,...,q

r

k 其中，廣義

q

§4－3虛位移原理與廣 Fk kk式中：XkYkxk,yk,z

—rkrk表曲柄曲柄——滑塊系統中點O/A/B處的虛位移δ，δrA與將虛位移δrk用廣義坐標虛位移來表n自由度系統，rk＝rk(q1,，q2，qn)rnkrkii

FkrkF kq F

q i1nQin

iQ

F

(i1,2,..., k

nWFQiqiQi (i1,2,",廣義力Qi的量綱由它所對應的廣義虛位移確當

是線位移，Qi具有力的量綱；nWFQin1、利用定義直接計QiFk

(i1,2,"n) 將廣義力寫成Q(

xk yk

zk (i

k

k Xk、Yk、Zk—主動力FkXk、yk、zkFk作用點的為求坐標對qi的偏導數，要將坐標表達成廣義坐標qi的函 V V

廣義力Qi可表達為iQ(i

V

V

Vzk

(i1,即：對保守系統來說，對應于 的廣義力等于系統能對廣義坐標2、利用虛功原令 ，而讓其余n-1個廣義虛位移均設為零，pp表示，則W

Q

Q

Wpi pi

qWFQ1q1Q2P,則WFQ1q1

桿均在垂直面內，OA桿與鉛垂線成1角，桿AB與鉛垂2角。今在點A和B分別作用鉛垂向下的力F1，F2，12利用定 Q( xk yk

zk k

k

kk QF F 1

2 QF F

2 yAl1cos1,yBl1cos1l2

l1sin

l1sin

Q(FF)lsin

2222

0

sin

QFlsin

2 用求虛功的方法求20Q F

∵rArBQ1(F1F2)l1sin用求虛功的方法求10

W Fsin2Q F 2∵rBQ2F2l2sin

討a)如果F1,F2為A,B兩質點的重力，即F1=mAg,F2=mBg,y=0VF1l1cos1F2(l1cos1l2cos2(F1F2)l1cos1F2l2∵Q ,Q Q1(F1F2)l1sinQFlsin 2 b)如果在鉸鏈O處作用一力偶T1Q1Q1(F1F2)l1sin1圖示的雙擺系統，桿質量不計，桿長分別為l1，l2，yy1m（x，y111x§4-4(Fkmrk)rkk拉格朗日方程是分析力學 內容，其方程為 d(E)E (i1,2,3,", 拉格朗日方程以能量觀點來研究機械系統的真實運動方程是廣義坐標以時間t為自變量的n個二階常微分方程主要優點是方程中不含未知的約束反力求解步驟規范、統一（確定廣義坐標，列出動能、勢能3個100第一個100年，從牛頓的《自然哲學的數學原理》開始，到18世紀后期第二個100年，從拉格朗日的《分析力學》開始，到19世紀后期本時期還有高 第三個100年, 的狹義相對論開始進入相對論力本時期的代表人物還有洛倫茲、海森堡、普朗克、圣維南等第一個100年但是，人們在研究實踐中發現問題不是那么簡單 少來自三個方數學上 ：對建立的動力學方程很難找到一種遍的方法得到 物理上的：當人們想把牛頓的模式拿去研究光、電等受到了。在新的物理事實面前，需要在已經成熟第二個100年，以拉格朗日為代表的階段分析動力學是數學、力學研究者們在克服上述中工作成果的部分記錄。1788年，也就是之后約一年拉朗完了的作分力開辟了典學第個在大度克了牛頓力學的 。δ 二十世紀三大１相對論（PrincipleofrelativitySpecialPrincipleofGeneralPrincipleofrelativity,Einstein）２量子力學（QuantummechanicsBohr）Quantumtheory,especiallythequantumtheoryoftheandbehaviorofatomsand3混沌學（ChaosPoincare確定系統自由計算系統動能E、勢能計算系統的廣義力將動能、勢能求解方程Q(

xk yk

zk

(i

k k Q

(i1,i iQFWQF WFQ1q1Q2q2PQ1q1Q2q2Ox

取φ1和φ2為廣義坐標即計算系統的動E1mv21mv

v

vB vAvA

v

l22

2ll

l2 1 EE12(mm)l 1 12ml mll21 計算系由于系統僅受二質點重力作用，故此系統為保守系統。若取φ1=φ2=0為零勢能位置Vm1gl1(1cos1)m2g[l1(1cos1)l2(1cos2(m1m2)gl1(1cos1)m2gl2(1cos2求得廣義力為QV(mm)glsin1 1

Vmglsin2 2

二自由度系統的拉氏方d(E)

E1 m)l22

1ml

mllcos(

2 212 d(E)E Emllsin(

21 E(mm)l2mllcos(1 21 1d(

)(mm)l2mll)sin(1 1

21 m2l1l2cos( E1(mm)l

1ml

mllcos( 2 21 Emllsin(

21 Eml2mllcos(2 21 2d(

)ml

mll

cos()mll)sin(2 2

2 21 21 (mm)l2mllcos()mll2sin( 21 21 (m1m2)gl1sin1ml2mllcos()mll2sin( 21 21 m2gl2sin2簡當雙擺作微幅

sin,cos1,

忽略不計，故m)l2mll

(mm)gl 21

mllml2mgl 21

§4-5 ,,為了簡化分析他 ，則系統的勢能V不必計算二自由度系統的拉格朗日方程

dt

(

)

d(E)E 平面五桿機q1q1q2能jsjjjm繞質心sj的轉動慣量Jj構件j的動能：j 1mv21J 具有NNE1(mv2J2 j

1jj(q1,q2xkxk(q1,q2 y(

2jj(q1,q2,q1,q2xkxk(q1,q2,q1,q2y ky(q,qy k

x2x2y2

(j1,2,...,N當xsjysj及j作為廣義坐標q1q2 xsjq

sjq 2

y y sj sjq 2

qj

3系統動能E

m(xm(xsj)2jysj)2J(j)2 1m )2j ysj)2J(j)2 21E1j1

J22 N Nj1

2 2

J12jj12m jj12

sj)

qj1

q2系統的動能可E1Jq2 qq1 q2 4等效轉動慣量J11q1的主動件有關，總是大于0；J22q2的主動件有關，總是大于0；J12同時與兩個主動件有關，可能正，也可能為負；J11,J22,J12均為廣義坐標q1，q2的函數，Q1Q2對二自由度系統，常用 求廣義力令虛位移q2=0求出系統在虛位移q1下所有主動力所作虛功總和(WQ(W11 q10,q2 ，可求得(W)2Q(W2 q2

1q2J

q

12

1J22qd(E)Edt 11d(E)Edt 111d(E)E 222 1E1

q 11 E

1q2J2

q

J12

1J11q1

2q 2 2 代入拉氏方程J

1J11q2J11q

(J121J22)q211

2

2 1 q q1

1J11)q2J12q

1J22)q2

2

2常用的常微分方程近似數值解法為四階龍格—庫塔法1 1dJ q21 2 q1為位移J11稱為me)，Fe1稱為等效力(Fe)；q1為角位移J11稱為Je稱為MenJnJmS S2j2j1j11Sj1

2mjj1

S

J

jj j

x

yj kFe1F

Fjy

Mkj1l

1

k Fjcosj

j qkq k qkq例例 ，M4，MH；輪1，4對其中心的轉動慣量為J1，J4；行星輪2，3 自由度系統

選取中心輪1，4的角位移為廣義坐標：q1 ,q2廣義速度為q11

,q24由周轉輪系公

i

R4H整理可得 H

41 q1

2 2

根據同軸條件，R1R2R3可 R1R3R2R4(R1R2)(R3R21212

q

1R2 (R1R2)(R3R21由周轉輪系公

iH整理可

2

R3

1qR3qR

q2q2根據差動輪系出等效轉動慣JEJ2

JJ1JJ

1 (RR)22 令JH Jh

(RR 二、計算等效轉動慣量(續整理可得E1 q2 q 1 q

R21J11J1J21

RR

JH

(RR)2(R