學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精滾動(dòng)訓(xùn)練三（§1～§2)一、選擇題1．已知a,b是給定的正數(shù)，則eq\f(4a2，sin2α）＋eq\f（b2，cos2α)的最小值為()A．2a2＋b2 B．2abC．(2a＋b)2 D．4ab答案C解析eq\f（4a2,sin2α)＋eq\f(b2，cos2α）＝（sin2α＋cos2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（4a2，sin2α)＋\f（b2,cos2α）)）≥eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（sinα·\f(2a，sinα）＋cosα·\f（b,cosα)))2＝（2a＋b)2，當(dāng)且僅當(dāng)sinα·eq\f(b,cosα)＝cosα·eq\f（2a，sinα)時(shí)，等號(hào)成立．故eq\f（4a2,sin2α)＋eq\f（b2,cos2α）的最小值為(2a＋b)2。2．已知a，b,c為正數(shù)且a＋b＋c＝3eq\r（2）,則eq\r(a2＋b2）＋eq\r(b2＋c2）＋eq\r（c2＋a2)的最小值為()A．4B．4eq\r(2)C．6D．6eq\r(2）答案C解析∵a，b,c為正數(shù)，∴eq\r（2)eq\r（a2＋b2)＝eq\r（1＋1)eq\r(a2＋b2)≥a＋b。同理eq\r（2）eq\r（b2＋c2）≥b＋c，eq\r(2)eq\r（c2＋a2)≥c＋a，相加得eq\r(2)(eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2）＋eq\r(c2＋a2））≥2(b＋c＋a）＝6eq\r（2），即eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2）≥6,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\r(2)時(shí)取等號(hào)．3．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4，則3x＋4y的最大值為()A．21B．11C．18D．28答案A解析根據(jù)柯西不等式,得[(x－1)2＋(y－2)2][32＋42]≥[3（x－1)＋4（y－2）］2＝（3x＋4y－11)2，∴（3x＋4y－11）2≤100.可得3x＋4y≤21，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f（x－1，3）＝eq\f(y－2，4）＝eq\f(2，5)時(shí)取等號(hào)．4．已知x＋y＋z＝1，則2x2＋3y2＋z2的最小值為()A。eq\f（2，11) B。eq\f（3,11）C.eq\f(5,11) D。eq\f(6，11）答案D解析∵eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x2＋3y2＋z2))·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)＋\f（1,3）＋1)）≥（x＋y＋z)2＝1,∴2x2＋3y2＋z2≥eq\f(6，11)。當(dāng)且僅當(dāng)eq\f（\r（2）x，\f（1，\r（2)))＝eq\f（\r(3)y,\f（1,\r（3)))＝eq\f(z，1）時(shí)，等號(hào)成立．5．已知x，y，z∈R＋,且eq\f（1,x)＋eq\f（2,y）＋eq\f（3，z）＝1，則x＋eq\f（y，2)＋eq\f(z，3)的最小值為(）A．5B．6C．8D．9答案D解析由柯西不等式知，eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，x）＋\f(2,y）＋\f(3，z)）)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(y,2)＋\f(z，3)))≥(1＋1＋1）2＝9，因?yàn)閑q\f(1，x)＋eq\f(2，y)＋eq\f(3，z)＝1，所以x＋eq\f(y，2）＋eq\f（z,3）≥9.即x＋eq\f(y,2)＋eq\f(z，3）的最小值為9.6．設(shè)c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1,a2，…，an均為正數(shù)),則eq\f(a1，c1)＋eq\f（a2，c2)＋…＋eq\f（an,cn）的最小值是(）A．n B。eq\f（1，n)C。eq\r(n） D．2n答案A解析不妨設(shè)a1≥a2≥…≥an＞0，則eq\f(1，a1）≤eq\f(1,a2)≤…≤eq\f（1，an)，由排序不等式知，eq\f(a1，c1)＋eq\f（a2，c2）＋…＋eq\f(an，cn)≥a1·eq\f（1，a1)＋a2·eq\f（1，a2）＋…＋an·eq\f（1，an)＝n.二、填空題7．函數(shù)y＝3sinx＋2eq\r(21＋cos2x)的最大值是________．答案5解析y＝3sinx＋2eq\r（21＋cos2x)＝3sinx＋4eq\r（cos2x）≤eq\r(32＋42sin2x＋cos2x）＝5，當(dāng)且僅當(dāng)3｜c(diǎn)osx|＝4sinx時(shí)等號(hào)成立．8．設(shè)x，y,z∈R,若x2＋y2＋z2＝4，則x－2y＋2z的最小值為________．答案－6解析由柯西不等式,得(x2＋y2＋z2)［12＋（－2）2＋22］≥(x－2y＋2z）2,故（x－2y＋2z)2≤4×9＝36.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x，1）＝eq\f（y,－2)＝eq\f（z,2）＝k,k＝±eq\f(2，3)時(shí)，上式取得等號(hào)，當(dāng)k＝－eq\f(2，3）時(shí)，x－2y＋2z取得最小值－6.9．已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2eq\r(3)的等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，它到三邊的距離分別為x，y,z，則x，y，z所滿足的關(guān)系式為________，x2＋y2＋z2的最小值是________．答案x＋y＋z＝33解析利用三角形面積相等，得eq\f（1,2）×2eq\r（3)（x＋y＋z)＝eq\f（\r(3),4）×（2eq\r（3)）2,即x＋y＋z＝3.由(1＋1＋1)(x2＋y2＋z2）≥（x＋y＋z)2＝9，得x2＋y2＋z2≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝1時(shí)取等號(hào)．10．已知2x＋3y＋z＝8，則當(dāng)x2＋y2＋z2取得最小值時(shí)，x，y，z形成的點(diǎn)（x，y,z)＝______.答案eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（8，7)，\f（12，7)，\f（4,7）））解析由柯西不等式，得(22＋32＋12）（x2＋y2＋z2)≥（2x＋3y＋z)2,即x2＋y2＋z2≥eq\f(82,14）＝eq\f（32，7).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝z時(shí)等號(hào)成立．又2x＋3y＋z＝8，解得x＝eq\f(8,7），y＝eq\f(12，7),z＝eq\f(4，7)，所以所求點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(8，7)，\f（12,7)，\f(4,7）））.三、解答題11．已知實(shí)數(shù)a，b,c滿足a＋2b＋c＝1,a2＋b2＋c2＝1，求證：－eq\f(2，3）≤c≤1。證明因?yàn)閍＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式，得(12＋22）（a2＋b2）≥（a＋2b)2，5(1－c2)≥(1－c)2,所以3c2－c－2≤0，解得－eq\f（2，3)≤c≤1。12．設(shè)a1,a2,…，an是1,2，…,n的一個(gè)排列，求證：eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f（n－1,n)≤eq\f(a1，a2)＋eq\f(a2,a3）＋…＋eq\f(an－1，an）.證明設(shè)b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一個(gè)排列，且b1＜b2＜…＜bn－1;c1，c2，…，cn－1是a2，a3，…,an的一個(gè)排列，且c1＜c2＜…＜cn－1，則eq\f(1，c1）＞eq\f（1,c2)＞…＞eq\f(1,cn－1）且b1≥1,b2≥2，…，bn－1≥n－1,c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.利用排序不等式,有eq\f(a1,a2）＋eq\f（a2,a3)＋…＋eq\f（an－1，an）≥eq\f(b1,c1）＋eq\f(b2，c2）＋…＋eq\f（bn－1，cn－1）≥eq\f(1，2）＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f（n－1,n)。∴原不等式成立．13．設(shè)a，b，c，d∈R＋，令S＝eq\f(a，a＋d＋b)＋eq\f（b,b＋c＋a)＋eq\f(c,c＋d＋b）＋eq\f（d,d＋a＋c），求證：1＜S＜2.證明首先證明eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)（a＞b＞0，m＞0)．因?yàn)閑q\f（b,a)－eq\f（b＋m,a＋m)＝eq\f（ba＋m－ab＋m,aa＋m)＝eq\f(mb－a,aa＋m）＜0，所以S＝eq\f(a，a＋d＋b)＋eq\f（b，b＋c＋a）＋eq\f(c,c＋d＋b)＋eq\f(d，d＋a＋c）＜eq\f(a＋c,a＋b＋d＋c）＋eq\f(b＋d，b＋c＋a＋d)＋eq\f（c＋a,c＋d＋b＋a）＋eq\f(d＋b,d＋a＋c＋b）＝eq\f（2a＋b＋c＋d，a＋b＋c＋d)＝2，所以S＜2。又S＞eq\f（a，a＋b＋d＋c）＋eq\f(b，b＋c＋a＋d）＋eq\f（c，c＋d＋b＋a）＋eq\f（d，d＋a＋c＋b）＝eq\f(a＋b＋c＋d，a＋b＋c＋d）＝1，所以1＜S＜2.四、探究與拓展14．已知5a2＋3b2＝eq\f(15，8）,則a2＋2ab＋b2的最大值為______．答案1解析∵eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（5)，5)))2＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3）,3）))2））[（eq\r(5）a)2＋（eq\r（3）b)2]≥eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r(5），5)×\r(5)a＋\f（\r（3)，3)×\r（3)b))2＝（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，當(dāng)且僅當(dāng)5a＝3b，即a＝eq\f（3，8)，b＝eq\f（5，8)時(shí)取等號(hào)．∴eq\f(8，15）×(5a2＋3b2)≥a2＋2ab＋b2.∴a2＋2ab＋b2≤eq\f(8，15）×（5a2＋3b2)＝eq\f（8,15)×eq\f(15,8)＝1，∴a2＋2ab＋b2的最大值為1。15．已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＋2－2m＝0,a2＋eq\f（1，4）b2＋eq\f（1,9）c2＋m－1＝0.（1）求證：a2＋eq\f(1,4）b2＋eq\f（1,9）c2≥eq\f(a＋b＋c2,14);(2)求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（1）證明由柯西不等式得eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（a2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)b)）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，3)c）)2)）·(12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f（1,4)b＝eq\f(1,9）c時(shí),等號(hào)成立，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4）b2＋\f（1,9）c2）)×14≥(a＋b＋c)2，∴a2＋eq\f(1，4）b2＋eq\f(1,9)c2≥eq\f(a＋b＋c2,14）.（2)解由已知得a＋b＋c＝2m－2，a2＋eq\f（1，4)b2＋eq\f(1，9)c2