隨機過程及應用60學時3學分主講教師：唐斌博士教授博士生導師考試方式：平時（作業）15%期末（一頁紙開卷）85%考查方式：作業教材：李曉峰唐斌等，應用隨機過程，電子工業出版社，2013參考書徐全智等，隨機過程，電子科技大學出版社，2012周蔭清等，隨機過程，北京航空大學出版社，1986陸大鑫，隨機過程及應用，清華大學出版社，1986.毛用才等，隨機過程，西安電子科技大學出版社，2003帕布里斯等，保錚等譯，概率、隨機變量與隨機過程，科學出版社，2004

Ch1.概率論基礎1.1概率空間1.1.1概率1）隨機試驗

對隨機現象做出的觀察和科學試驗2）樣本空間（）

隨機試驗的全部可能結果構成的集合3)事件（A）

隨機試驗中感興趣的結果構成的集合4）事件域（）

樣本空間的若干子集構成的集合

事件域性質

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

5）概率空間

設

，P是定義在上的實值函數，若滿足

（1）

（2）

（3）可列可加性稱P為定義在上的概率，為概率空間。

概率性質

（1）

（2）

（3）

（4）

1.1.2條件概率及獨立性

給定概率空間與事件A，B，若

為在事件B條件下，事件A/B的條件概率，且記為

條件概率性質1）鏈式法則

2）全概率公式

3）Bayes公式事件獨立性

1）2）

1.2隨機變量及典型分布1.2.1隨機變量

若是一概率空間，是定義在上的單值實函數。如果則稱

或X為上的一個隨機變量。

1）概率分布函數（PDF）

2）概率密度函數(pdf)

1.2.2典型分布

工程中，隨機變量的典型分布見書表1.2.1。

1）均勻分布

2）正態分布3）指數分布

1.3多維隨機變量與條件隨機變量1.3.1多維隨機變量

多維隨機變量亦稱隨機向量。其分布特性以聯合概率分布函數和聯合概率密度函數描述。

對于n維隨機變量

1）聯合概率分布函數（JPDF）

2）聯合概率密度函數（jpdf）

1.3.2條件隨機變量

隨機向量中某隨機變量存在條件下，另外隨機變量發生的可能性。對于，有

條件概率密度函數性質

1）2）3）4）1.3.3多維隨機變量統計獨立性

對于n維隨機變量

隨機變量之間統計獨立

1.4隨機變量函數1.4.1單元函數

1）概率分布函數

2）概率密度函數

（1）

其中是單調、處處可導且恒有導數大于零或小于零的函數g(x)的反函數。

（2）

其中是分段單調且可導函數g(x)的第i段反函數。1.4.2二元函數1）概率分布函數

2）概率密度函數

對于一般的二元隨機變量函數

聯合概率密度函數

其中和分別是和的反函數；J是從坐標系x-y到坐標系u-v的Jacobi行列式，即

1.5數字特征1.5.1黎曼-斯蒂階積分

假設為上的單調不減右連續函數，為上的單值實函數，且。

容易證明，黎曼-斯蒂階積分

滿足：

1.5.2數學期望/均值/重心

假設隨機變量X的概率分布函數為，且則定義為隨機變量X的數學期望。

1.5.3矩與聯合矩

假設隨機變量X的概率密度函數為，則定義

1）絕對原點矩和聯合絕對原點矩

2）原點矩和聯合原點矩

3）中心矩和聯合中心矩

工程中，常用矩函數1）均方值2）方差（Variance）

3）相關矩4）協方差

5）相關系數6）相關矩陣和協方差矩陣容易證明，兩矩陣非負定。

統計獨立（聯合概率分布等于各自概率分布之積）正交（相關矩等于零）不相關（協方差等于零）如果X和Y為正態分布，且僅一個均值為零，三者等價！

定理1（切比雪夫不等式）

假設X是一個有限方差的隨機變量，，則有。隨機變量取值絕大部分集中在均值附近！定理2（柯西-許瓦茲不等式）

假設X和Y是定義在同一概率空間中的兩個隨機變量，且，則存在，且

1.6特征函數和概率母函數1.6.1特征函數

隨機變量X的特征函數定義為特征函數無物理意義！！僅為數學推導方便。

對比f(x)的傅里葉變換和特征函數定義，有

可用Fourier變換結果！

特征函數性質1）Y=aX+b的特征函數2）獨立隨機變量之和的特征函數3）隨機變量X的k階矩與特征函數之間的關系

4）

5）在實數域R上一致連續6）是半正定函數，即7）唯一性定理

1.6.2聯合特征函數

二維隨機變量

的特征函數定義為n維隨機變量的特征函數定義為

其中。

多維特征函數性質1）

2）如果相互統計獨立，則

反之依然。3）假設，則

1）隨機變量

的階混合矩為

1.6.3概率母函數

對于非負整數取值的隨機變量（如泊松分布），如果其分布規律為概率母函數定義為。

定理：

非負整數取值隨機變量的概率母函數在

上一定存在，且由概率分布規律一一確定，即。概率母函數性質1）統計獨立隨機變量之和的概率母函數為各自概率母函數之積。

2）如果

存在，則

1.6隨機序列收斂性

隨機變量序列是定義在同一概率空間上的一系列隨機變量。當隨機試驗確定時，是確定性序列，因此具有收斂性。1）幾乎處處收斂

如果隨機序列和隨機變量X滿足則稱隨機序列幾乎處處收斂于X，簡記為或。

2）概率收斂

如果隨機序列和隨機變量X滿足則稱隨機序列依概率收斂于X，簡記為或。3）r階矩收斂

如果隨機序列和隨機變量X滿足則稱隨機序列依r階矩收斂于X，簡記為或。

4）分布收斂

如果隨機序列的分布序列和隨機變量X的分布滿足則稱隨機序列依分布收斂于X，簡記為或。幾種收