第六章

非線性有限元法（幾何非線性）

1、變形體的運動描述x3x1x2P0t0=0tn+1=tn+Δtn

tn

PnPn+1A0An+1

An

變形體上的質(zhì)點的運動狀態(tài)可以隨不同的坐標選取以下幾種描述方法：1、全拉格朗日列式法（T.L列式法—TotalLagrangianFormulation)：

選取t0=0時刻未變形物體的構(gòu)形A0作為參照構(gòu)形進行分析。2、修正拉格朗日列式法（U.L列式法—UpdatedLagrangianFormulation）：

選取tn時刻的物體構(gòu)形An作為參照構(gòu)形。由于An隨計算而變化，因此其構(gòu)形和坐標值也是變化的，即與t有關。tn為非線性增量求解時增量步的開始時刻。3、歐拉描述法(EulerianFormulation)：

獨立變量是質(zhì)點當前時刻的位置xn+1與時間tn+1。幾何非線性的有限元方程一般采用T.L或U.L列式法建立！２、變形梯度張量x3x1x2P’P初始/未變形變形后位移ux’x1、首先采用Lagrangian方法，將一個物體的加載過程劃分為一系列平衡狀態(tài)。位移方程初始狀態(tài)與變形后狀態(tài)之間坐標關系為：2、然后，考慮材料方向矢量，這個矢量描述物體內(nèi)一段無限小的單元。x3x1x2式中，F(xiàn)ij稱為變形梯度張量。初始狀態(tài)與變形后狀態(tài)之間材料方向矢量的關系：２、變形梯度張量由位移方程，得：由二階張量特性，變形梯度張量的三個不變量為：由于Fij表示從初始狀態(tài)到變形后狀態(tài)的一個映射，其逆映射Fij-1一定存在，即：或?qū)憺椋后w積映射:面積映射：變形前面積dA’Ni(初始面積法向矢量)變形后面積dAni(變形后面積法向矢量)映射Fij逆映射F-1ijFij是一個二階張量。３、應變與變形測度由于變形梯度張量Fij中包含了剛體運動，因此不能直接用于定義應變測度。而材料方向矢量則不包含剛體運動，因此它的平方值可以作為衡量從某一狀態(tài)到變形后狀態(tài)的一個測度，定義為：初始狀態(tài):一個應變測度應該能反映出材料一段長度發(fā)生的改變。因此，應變張量可以由下式定義：x3x1x2變形后狀態(tài)：提醒：由于Green應變張量表達式中的變形梯度張量對應于初始狀

態(tài)，因此該應變張量也應在初始狀態(tài)下計算。３、應變與變形測度２、Almanshi應變張量1、Green應變張量Green應變張量采用Lagrangian運動描述方法，即按初始狀態(tài)下的構(gòu)形定義應變張量。式中，eij稱為Green應變張量或Green-Lagrangian應變張量。Almanshi應變張量采用Eular運動描述方法，即按當前狀態(tài)下的構(gòu)形定義應變張量。式中，Eij稱為Almanshi應變張量或Almanshi–Eular應變張量。由于大變形問題有限元方程主要采用T.L列式法或U.L列式法建立，因此應在初始狀態(tài)下定義應變張量，即采用Green應變張量。可以證明Green應變張量和Almanshi應變張量都是二階對稱張量。３、應變與變形測度2、Green–Lagrangian應變張量eij與小應變張量εij的關系將變形梯度張量表達式代入到Green應變張量公式中，得：式中：為小變形應變張量；2、Green變形張量也可寫為：為非線性二次項1、Green應變張量為小應變張量與一個非線性二次項之和，這意味所有大變形分析都是非線性的。式中，Cij是Cauchy變形張量由于Cauchy變形張量是正定對稱陣，因此該張量有三個實特征值；這些特征值的平方根記為材料的主軸拉伸。４、大變形的應力測度1、柯西應力張量(Cauchy’sstresstensor)取三維空間笛卡兒坐標系，在t時刻的現(xiàn)時構(gòu)形中截取一個四面體素，斜面的法線為n，另外三個面元與所取坐標面平行。由四面體素的平衡條件得出其上的應力為：這里σij=σji便是柯西應力張量，它是二階對稱張量。①、柯西(Cauchy)應力張量是一種采用歐拉描述法(是以質(zhì)點的瞬時坐標xk和時間t作為自變量描述)定義在t時刻的現(xiàn)時構(gòu)形上的應力張量σij，又稱歐拉應力張量。②、在大變形(有限變形)情況下，由于變形前的初始構(gòu)形和變形后的現(xiàn)時構(gòu)形差別較大，柯西(Cauchy)應力張量難于適應。柯西應力是定義在現(xiàn)時構(gòu)形（變形后狀態(tài)下）的單位面積上的力，是與變形相關的真實應力。3、大變形的應力測度2、一階Piola-Kirchoff應力張量一階Piola-Kirchoff應力張量的定義是建立在總力相等的基礎上。即：在參考狀態(tài)下該應力張量能給出與變形后狀態(tài)下柯西應力張量相同的力。變形后狀態(tài)下：稱為一階Piola-Kirchoff應力張量或名義應力參考后狀態(tài)下：變形前面積dA’Ni(參考面積法向矢量)變形后面積dAni(變形后面積法向矢量)將面積映射關系：代入上式，得：同樣，柯西應力張量也可以由一階Piola-Kirchoff應力張量表示：從該式可以看出，一階Piola-Kirchoff應力張量提供了以參考狀態(tài)表示實際力的形式。但是，直接應用一階Piola-Kirchoff應力張量可能存在以下兩個困難：1、從能量角度上，Tij不適合與Green應變張量共同使用。因為Tij乘以Green應變張量不會產(chǎn)生與Cauchy應力張量與小應變張量相同的能量密度。2、Tij不對稱，因而較難應用到有限元分析中。４、大變形的應力測度3、二階Piola-Kirchoff應力張量如不采用變形后狀態(tài)dP推導應力張量，而是將作用在變形后狀態(tài)下的dP映射到未變形狀態(tài)上（映射是采用逆變形梯度張量），即：這樣可以定義另一個應力張量S，它給出了未變形狀態(tài)下作用在未變形面積上的總力：現(xiàn)在，變換柯西應力張量，使：將面積映射關系代入上式：(1)(2)(3)(4)對比(2)、(4)式可得：Sij稱為二階Piola-Kirchoff應力張量或偽應力同樣，由上式可得：二階Piola-Kirchoff應力張量Sij

的性質(zhì)：Sij是對稱陣；

Sij在能量角度下與Green應變張量協(xié)調(diào)，即：

該表達式的優(yōu)點在于等式右邊是在參考狀態(tài)下計算的。Sij與Tij有以下關系：二階Piola-Kirchoff應力張量的物理意義是明確的：真實的力元可以看成是由Sij定義的力元經(jīng)與變形相同的方式被“拉長和轉(zhuǎn)動”后得到的。４、大變形的應力測度4、三個應力張量的比較張量作用力作用面積柯西應力張量σij

變形后狀態(tài)下的力變形后狀態(tài)下的面積一階P-K應力張量變形后狀態(tài)下的力未變形狀態(tài)下的面積二階P-K應力張量未變形狀態(tài)下的力未變形狀態(tài)下的面積因此，雖然二階P-K應力張量有其應用上的優(yōu)點，但其本身的物理意義很難理解。它主要是起到求解大變形問題的橋梁作用，通過它計算出柯西應力張量。５、幾何非線性有限元方程的建立如前所述，幾何非線性的有限元方程一般采用T.L或U.L列式法建立：1、全拉格朗日列式法（T.L列式法)：

選取t0=0時刻未變形物體的構(gòu)形A0作為參照構(gòu)形進行分析。2、修正拉格朗日列式法（U.L列式法）：

選取tn時刻的物體構(gòu)形An作為參照構(gòu)形。由于An隨計算而變化，因此其構(gòu)形和坐標值也是變化的，即與t有關。tn為非線性增量求解時增量步的開始時刻。即增量分析。x3x1x2P0t0=0tn+1=tn+Δtn

tn

PnPn+1A0An+1

An

圖示物體同時作用有體積力fib和面力fiS，在時刻tn+1=tn+Δtn的平衡方程可以按虛功原理建立：提醒：該方程此時不可解，因為應力和應變在變形后狀態(tài)下表示未知。５、幾何非線性有限元方程的建立2、在外力作用點和方向都不改變的條件下，也可以將體積力fib和面力fiS定義到初始狀態(tài)下：提醒：上式給出的虛功方程是從變形后狀態(tài)下的虛功方程轉(zhuǎn)換而來，因此是準確的，但是已經(jīng)完全定義在初始狀態(tài)下了。為了求解，需將以上變形后狀態(tài)下表示的虛功方程轉(zhuǎn)換到初始狀態(tài)下表達。1、采用二階Piola應力張量和Green應變張量將虛應變能轉(zhuǎn)換到初始狀態(tài)下表示：將以上關系代入到虛功方程中：得：(a)５、幾何非線性有限元方程的建立表示該張量對應的時刻：1代表初始狀態(tài)時刻，2為變形后狀態(tài)時刻；如該標識缺省，則表示從初始狀態(tài)變化到變形后狀態(tài)該張量的增量。代表定義該張量所對應的構(gòu)形：1為初始狀態(tài)構(gòu)形，2為變形后狀態(tài)構(gòu)形；如該標識缺省，則為初始狀態(tài)構(gòu)形。在利用增量法（修正拉格朗日列式法）求解時，為了分析的方便，在張量符號的左側(cè)引入上下標，分別該張量對應時刻以及定義該張量的構(gòu)形：當引入以上表示后，按t1+Δt時刻構(gòu)形建立的虛功方程可以寫為：或?qū)憺椋菏街校硎就饬λ龅奶摴Α＃怠缀畏蔷€性有限元方程的建立引入此前Green應變張量表達式，可得：再將變形后狀態(tài)下Kirchoff應力張量表示為未變形狀態(tài)的Kirchoff應力張量加上一個應力增量：(a)(b)注意，式(b)中為作用在未變形構(gòu)形上并以未變形狀態(tài)下表示的Kirchoff應力張量，實際上就是柯西應力張量：。虛功方程：(c)５、幾何非線性有限元方程的建立為tn時刻初始構(gòu)形上外力所做虛功。將以上(a)、(c)兩式代入到虛功方程中，可得：即變形后狀態(tài)下的虛功方程為：式中：為tn+Δt時刻初始構(gòu)形上外力所做的虛功。這里，虛功方程中由于包含了非線性二次項，因此方程是非線性方程。這個方程還不能直接求解。為了求解這個方程，需要將方程線性化。6、非線性平衡增量方程的線性化通常，可以假定應變增量和應力增量之間以下線性本構(gòu)關系：12將以上關系代入到虛功方程中，得：然而上式依然包含有非線性二次項，不可直接求解。