第1、2學(xué)時(shí)

1.1矢量的基本運(yùn)算1.1.1標(biāo)量和矢量

電磁場(chǎng)中遇到的絕大多數(shù)物理量，能夠容易地區(qū)分為標(biāo)量（Scalar）和矢量(Vector)。一個(gè)僅用大小就能夠完整描述的物理量稱為標(biāo)量，例如，電壓、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等。實(shí)際上，所有實(shí)數(shù)都是標(biāo)量。一個(gè)有大小和方向的物理量稱為矢量，電場(chǎng)、磁場(chǎng)、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量A可以表示成

A=aA其中，A是矢量A的大小;a代表矢量A的方向，a=A/A其大小等于1。返回第1、2學(xué)時(shí)

1.1矢量的基本運(yùn)算1.1.1標(biāo)量和矢量1

一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（NullVector）或零矢（ZeroVector），一個(gè)大小為1的矢量稱為單位矢量（UnitVector）。在直角坐標(biāo)系中，用單位矢量ax、ay、az表征矢量分別沿x、y、z軸分量的方向。空間的一點(diǎn)P(X,Y,Z)能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定，如圖1-1所示。從原點(diǎn)指向點(diǎn)P的矢量r稱為位置矢量(PositionVector)，它在直角坐標(biāo)系中表示為

r=axX+ayY+azZ

一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（NullVector）或2圖1-1直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影

圖1-1直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影3

X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上的投影。任一矢量A在三維正交坐標(biāo)系中都可以給出其三個(gè)分量。例如，在直角坐標(biāo)系中，矢量A的三個(gè)分量分別是Ax、Ay、Az，利用三個(gè)單位矢量ax、ay、

az可以將矢量A表示成：

A=axAx+ayAy+azAz

矢量A的大小為A：

A=(A2x+A2y+A2z)1/2

X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上41.1.2矢量的加法和減法矢量相加的平行四邊形法則，矢量的加法的坐標(biāo)分量是兩矢量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分量之和，矢量加法的結(jié)果仍是矢量

1.1.2矢量的加法和減法51.1.3矢量的乘積矢量的乘積包括標(biāo)量積和矢量積。

1）標(biāo)量積任意兩個(gè)矢量A與B的標(biāo)量積(ScalarProduct)是一個(gè)標(biāo)量，它等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積，如圖1-2所示，記為

A·B=ABcosθ

圖1-2標(biāo)量積1.1.3矢量的乘積圖1-2標(biāo)量積6例如，直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：

ax·ay=ay·az=

ax·az=0

ax·ax=ay·ay=az·az=1

任意兩矢量的標(biāo)量積，用矢量的三個(gè)分量表示為

A·B=AxBx+AyBy+AzBz

標(biāo)量積服從交換律和分配律，即

A·B=B·AA·(B+C)=A·B+A·C例如，直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：7

2）矢量積任意兩個(gè)矢量A與B的矢量積（VectorProduct）是一個(gè)矢量，矢量積的大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量A與B組成的平面，如圖1-3所示，記為

C=A×B=anABsinθ

an=aA×aB

（右手螺旋）

8

圖1-3矢量積的圖示及右手螺旋

(a)矢量積(b)右手螺旋圖1-3矢量積的圖示及右手螺旋9

矢量積又稱為叉積(CrossProduct)，如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互平行，或者說(shuō)，兩個(gè)相互平行矢量的叉積一定等于零。矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即

A×B=-B×A

A×(B+C)=A×B+A×C

矢量積又稱為叉積(CrossProduct)，如果兩10直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：

ax×ay=az,ay×az=ax,az×ax=ayax×ax=ay×ay=az×az=0

在直角坐標(biāo)系中，矢量的叉積還可以表示為

=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：11矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分

矢量函數(shù)一般是空間坐標(biāo)的函數(shù)，有時(shí)它也是時(shí)間的函數(shù)。在我們以后研究的有關(guān)內(nèi)容中必將涉及到矢量函數(shù)隨空間坐標(biāo)和時(shí)間的變化率問(wèn)題，既對(duì)上述變量的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分矢量函數(shù)一般是空間坐標(biāo)的函數(shù)，有12矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分

矢量函數(shù)對(duì)空間的偏導(dǎo)數(shù)仍是一個(gè)矢量，它的分量等于原矢量函數(shù)各分量對(duì)該坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。這一結(jié)論同樣矢用于矢量函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)。

矢量函數(shù)的積分包括不定積分和定積分兩種，它們和一般函數(shù)的積分在形式上類似，所以一般函數(shù)積分的基本法則對(duì)矢量函數(shù)積分也適用。

矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分矢量函數(shù)對(duì)空間的偏導(dǎo)數(shù)仍是一個(gè)矢13矢量場(chǎng)

矢量場(chǎng)的矢量線矢量場(chǎng)中任意一點(diǎn)P處的矢量可以用一個(gè)矢性函數(shù)A=A(P)來(lái)表示。當(dāng)選定了直角坐標(biāo)系后，它就可以寫成如下形式：

A=A(x,y,z)

設(shè)Ax,Ay,Az為矢性函數(shù)A在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量，且假定它們都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則A又可以表示為

A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z)

所謂矢量線是這樣一些曲線：在曲線上的每一點(diǎn)處，場(chǎng)的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上（如圖1-4所示），像靜電場(chǎng)的電力線、磁場(chǎng)的磁力線、流速場(chǎng)中的流線等，都是矢量線的例子。矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)的矢量線14圖1-4矢量線圖

設(shè)P為矢量線上任一點(diǎn)，其矢徑為r，則根據(jù)矢量線的定義，必有

A×dr=

0

在直角坐標(biāo)系中，矢徑r的表達(dá)式為

r=axx+ayy+azz

矢量場(chǎng)的矢量線滿足的微分方程為圖1-4矢量線圖15

第3、4學(xué)時(shí)

1.2矢量的通量和散度

1.2.1矢量場(chǎng)的通量在矢量場(chǎng)A中取一個(gè)面元dS及與該面元垂直的單位矢量n（外法向矢量，如圖所示），則面元矢量表示為：dS=ndS返回矢量場(chǎng)的通量及散度

第3、4學(xué)時(shí)

1.2矢量的通量和散度

1.2.116

由于所取的面元dS很小，因此可認(rèn)為在面元上各點(diǎn)矢量場(chǎng)A的值相同，A與面元dS的標(biāo)量積稱為矢量場(chǎng)A穿過(guò)dS的通量記作

A·dS=AcosθdS

因此矢量場(chǎng)A穿過(guò)整個(gè)曲面S的通量為

由于所取的面元dS很小，因此可認(rèn)為在面元上各點(diǎn)矢量場(chǎng)171.2.2.矢量場(chǎng)的散度

1）散度的定義設(shè)有矢量場(chǎng)A，在場(chǎng)中任一點(diǎn)P處作一個(gè)包含P點(diǎn)在內(nèi)的任一閉合曲面S，設(shè)S所限定的體積為ΔV，當(dāng)體積ΔV以任意方式縮向P點(diǎn)時(shí)，取下列極限:

如果上式的極限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng)A在點(diǎn)P處的散度，記作1.2.2.矢量場(chǎng)的散度18

顯然，其物理意義是從點(diǎn)P單位體積內(nèi)散發(fā)的通量。在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式為顯然，其物理意義是從點(diǎn)P單位體積內(nèi)散發(fā)的通量。在直角19

2）哈米爾頓（Hamilton）算子為了方便，引入一個(gè)矢性微分算子：

在直角坐標(biāo)系中稱之為哈米爾頓算子，是一個(gè)微分符號(hào)，同時(shí)又要當(dāng)作矢量看待。算子與矢性函數(shù)A的點(diǎn)積為一標(biāo)量函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式可以寫為2）哈米爾頓（Hamilton）算子20

矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式分別為矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式分別為211.2.3高斯散度定理（DivergenceTheorem）在矢量分析中，一個(gè)重要的定理為散度定理1.2.3高斯散度定理（DivergenceTheore221.3.1環(huán)量的定義設(shè)有矢量場(chǎng)A，l為場(chǎng)中的一條封閉的有向曲線，定義矢量場(chǎng)A環(huán)繞閉合路徑l的線

積分為該矢量的環(huán)量，記作

矢量的環(huán)量和矢量穿過(guò)閉合面的通量一樣，都是描繪矢量場(chǎng)A性質(zhì)的重要物理量，同樣都是積分量。為了知道場(chǎng)中每個(gè)點(diǎn)上旋渦源的性質(zhì)，引入矢量場(chǎng)旋度的概念。第5、6學(xué)時(shí)

1.3矢量的環(huán)度和旋度返回1.3.1環(huán)量的定義第5、6學(xué)時(shí)

1.3矢量的環(huán)度和23矢量場(chǎng)的環(huán)量

閉合曲線方向與面元的方向示意圖

矢量場(chǎng)的環(huán)量閉合曲線方向與面元的方向示意圖24

1.3.2.矢量場(chǎng)的旋度

1）旋度的定義設(shè)P為矢量場(chǎng)中的任一點(diǎn)，作一個(gè)包含P點(diǎn)的微小面元ΔS，其周界為l，它的正向與面元ΔS的法向矢量n成右手螺旋關(guān)系(如下圖所示)。當(dāng)曲面ΔS在P點(diǎn)處保持以n為法矢不變的條件下，以任意方式縮向P點(diǎn)，取極限1.3.2.矢量場(chǎng)的旋度25

稱固定矢量R為矢量A的旋度，記作rotA=R

上式為旋度矢量在n方向的投影，如圖所示，即旋度及其投影

稱固定矢量R為矢量A的旋度，記作旋度及其投影26矢量場(chǎng)的旋度仍為矢量。在直角坐標(biāo)系中，旋度的表達(dá)式為

為方便起見(jiàn)，也引入算子，則旋度在直角坐標(biāo)系中為：矢量場(chǎng)的旋度仍為矢量。在直角坐標(biāo)系中，旋度的表達(dá)式為為方便27

矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的旋度表達(dá)式分別為矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的旋度表達(dá)式分別為28

旋度的一個(gè)重要性質(zhì)就是任意矢量旋度的散度恒等于零，即

▽

·(▽

×A)≡0

即如果有一個(gè)矢量場(chǎng)B的散度等于零，則該矢量B就可以用另一個(gè)矢量A的旋度來(lái)表示，即當(dāng)

▽

·B=0則有

B=▽

×A

旋度的一個(gè)重要性質(zhì)就是任意矢量旋度的散度恒等于零，即29矢量分析中另一個(gè)重要定理是

稱之為斯托克斯定理，其中S是閉合路徑l所圍成的面積，它的方向與l的方向成右手螺旋關(guān)系。該式表明：矢量場(chǎng)A的旋度沿曲面S法向分量的面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分。

1.3.3斯托克斯定理（StokesTheorem）矢量分析中另一個(gè)重要定理是

稱之為斯托克斯定理，其中S是閉合30例：已知一矢量場(chǎng)F=axxy-ayzx,試求：（1）該矢量場(chǎng)的旋度;（2）該矢量沿半徑為3的四分之一圓盤的線積分，如圖所示，驗(yàn)證斯托克斯定理。四分之一圓盤例：已知一矢量場(chǎng)F=axxy-ayzx,試求：四分之一圓盤31

1.4.1標(biāo)量的方向?qū)?shù)和梯度一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)u可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)表示。在直角坐標(biāo)系中，可將u表示為

u=u(x,y,z)

令u(x,y,z)=C,C為任意常數(shù)。該式在幾何上一般表示一個(gè)曲面，在這個(gè)曲面上的各點(diǎn)，雖然坐標(biāo)(x,y,z)不同，但函數(shù)值相等，稱此曲面為標(biāo)量場(chǎng)u的等值面。隨著C的取值不同，得到一系列不同的等值面，如下圖所示。同理，對(duì)于由二維函數(shù)v=v(x,y)所給定的平面標(biāo)量場(chǎng)，可按v(x,y)=C得到一系列不同值的等值線。第7、8學(xué)時(shí)

1.4標(biāo)量的方向?qū)?shù)和梯度返回1.4.1標(biāo)量的方向?qū)?shù)和梯度第7、8學(xué)時(shí)

1.4標(biāo)32標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值面331.方向?qū)?shù)的定義設(shè)P0為標(biāo)量場(chǎng)u=u(P)中的一點(diǎn)，從點(diǎn)P0出發(fā)引出一條射線l，如下圖所示。在l上P0點(diǎn)鄰近取一點(diǎn)P，記線段P0P=Δl，如果當(dāng)P→P0時(shí)極限存在，則稱它為函數(shù)u(P)在點(diǎn)P0處沿l方向的方向?qū)?shù)(DirectionalDerivative)，記為：1.4.2.方向?qū)?shù)1.方向?qū)?shù)的定義1.4.2.方向?qū)?shù)34方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)35

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)u=u(x,y,z)在P0(x0,y0,z0)處可微，則有式中，當(dāng)Δl→0時(shí)δ→0。將上式兩邊同除以Δl并取極限得到方向?qū)?shù)的計(jì)算公式：

1.4.3.方向?qū)?shù)的計(jì)算公式

其中，cosα,cosβ,cosγ為l方向的方向余弦。

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)u=u(x,y,z)在P0(361.梯度的定義方向?qū)?shù)為我們解決了函數(shù)u(P)在給定點(diǎn)處沿某個(gè)方向的變化率問(wèn)題。然而從場(chǎng)中的給定點(diǎn)P出發(fā)，標(biāo)量場(chǎng)u在不同方向上的變化率一般說(shuō)來(lái)是不同的，那么，可以設(shè)想，必定在某個(gè)方向上變化率為最大。為此，定義一個(gè)矢量G，其方向?yàn)槭呛瘮?shù)u在點(diǎn)P處變化率為最大的方向，其大小就是這個(gè)最大變化率的值，這個(gè)矢量G稱為函數(shù)u在點(diǎn)P處的梯度（Gradient），記為1.4.4標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.梯度的定義1.4.4標(biāo)量場(chǎng)的梯度37

算子▽與標(biāo)量函數(shù)u相乘為一矢量函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，梯度又可以表示為另外，還經(jīng)常用到標(biāo)量拉普拉斯算子(LaplaceOperator)，即

▽2=▽·▽

在直角坐標(biāo)系中標(biāo)量函數(shù)的拉普拉斯表達(dá)式為算子▽與標(biāo)量函數(shù)u相乘為一矢量函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，梯38標(biāo)量函數(shù)u在圓柱坐標(biāo)系中的梯度和拉普拉斯表達(dá)式分別為標(biāo)量函數(shù)u在球坐標(biāo)系中的梯度和拉普拉斯表達(dá)式分別為標(biāo)量函數(shù)u在圓柱坐標(biāo)系中的梯度和拉普拉斯表達(dá)式分別為標(biāo)量函數(shù)39梯度有以下重要性質(zhì)：（1）方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，即（2）標(biāo)量場(chǎng)u中每一點(diǎn)P處的梯度，垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，且指向函數(shù)u(P)增大的方向。即梯度為該等值面的法向矢量。（3）▽×▽u≡

0，如果矢量場(chǎng)F滿足▽×F=

0，即F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，則矢量場(chǎng)F可以用標(biāo)量函數(shù)u的梯度來(lái)表示，即F=▽u，稱標(biāo)量函數(shù)為勢(shì)函數(shù)(PotentialFunction)，對(duì)應(yīng)的矢量場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)。如靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示。

2.梯度的性質(zhì)梯度有以下重要性質(zhì)：2.梯度的性質(zhì)40

設(shè)標(biāo)量場(chǎng)u，根據(jù)梯度的性質(zhì)：標(biāo)量場(chǎng)的梯度F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，則由斯托克斯定理知，無(wú)旋場(chǎng)沿閉合路徑的積分必然為零，即而3.梯度的積分設(shè)標(biāo)量場(chǎng)u，根據(jù)梯度的性質(zhì)：標(biāo)量場(chǎng)的梯度F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)41無(wú)旋場(chǎng)沿不同路徑的積分

如右圖所示，

說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān)，僅與始點(diǎn)P1和終點(diǎn)P2的位置有關(guān)。又無(wú)旋場(chǎng)沿不同路徑的積分如右圖所示，

說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān)，僅42精品課件！精品課件！43精品課件！精品課件！44

假如選定始點(diǎn)P1為不動(dòng)的固定點(diǎn)（參考點(diǎn)），P2點(diǎn)為任意動(dòng)點(diǎn)，則P2點(diǎn)的函數(shù)值可表示為該式表明：如果已知一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，選定一個(gè)參考點(diǎn)，就可由上式求得其標(biāo)量場(chǎng)u。如在靜電場(chǎng)中，已知電場(chǎng)強(qiáng)度，就可求得電位函數(shù)。

假如選定始點(diǎn)P1為不動(dòng)的固定點(diǎn)（參考點(diǎn)），P2點(diǎn)為任意45第1、2學(xué)時(shí)

1.1矢量的基本運(yùn)算1.1.1標(biāo)量和矢量

電磁場(chǎng)中遇到的絕大多數(shù)物理量，能夠容易地區(qū)分為標(biāo)量（Scalar）和矢量(Vector)。一個(gè)僅用大小就能夠完整描述的物理量稱為標(biāo)量，例如，電壓、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等。實(shí)際上，所有實(shí)數(shù)都是標(biāo)量。一個(gè)有大小和方向的物理量稱為矢量，電場(chǎng)、磁場(chǎng)、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量A可以表示成

A=aA其中，A是矢量A的大小;a代表矢量A的方向，a=A/A其大小等于1。返回第1、2學(xué)時(shí)

1.1矢量的基本運(yùn)算1.1.1標(biāo)量和矢量46

一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（NullVector）或零矢（ZeroVector），一個(gè)大小為1的矢量稱為單位矢量（UnitVector）。在直角坐標(biāo)系中，用單位矢量ax、ay、az表征矢量分別沿x、y、z軸分量的方向。空間的一點(diǎn)P(X,Y,Z)能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定，如圖1-1所示。從原點(diǎn)指向點(diǎn)P的矢量r稱為位置矢量(PositionVector)，它在直角坐標(biāo)系中表示為

r=axX+ayY+azZ

一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（NullVector）或47圖1-1直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影

圖1-1直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影48

X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上的投影。任一矢量A在三維正交坐標(biāo)系中都可以給出其三個(gè)分量。例如，在直角坐標(biāo)系中，矢量A的三個(gè)分量分別是Ax、Ay、Az，利用三個(gè)單位矢量ax、ay、

az可以將矢量A表示成：

A=axAx+ayAy+azAz

矢量A的大小為A：

A=(A2x+A2y+A2z)1/2

X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上491.1.2矢量的加法和減法矢量相加的平行四邊形法則，矢量的加法的坐標(biāo)分量是兩矢量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分量之和，矢量加法的結(jié)果仍是矢量

1.1.2矢量的加法和減法501.1.3矢量的乘積矢量的乘積包括標(biāo)量積和矢量積。

1）標(biāo)量積任意兩個(gè)矢量A與B的標(biāo)量積(ScalarProduct)是一個(gè)標(biāo)量，它等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積，如圖1-2所示，記為

A·B=ABcosθ

圖1-2標(biāo)量積1.1.3矢量的乘積圖1-2標(biāo)量積51例如，直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：

ax·ay=ay·az=

ax·az=0

ax·ax=ay·ay=az·az=1

任意兩矢量的標(biāo)量積，用矢量的三個(gè)分量表示為

A·B=AxBx+AyBy+AzBz

標(biāo)量積服從交換律和分配律，即

A·B=B·AA·(B+C)=A·B+A·C例如，直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：52

2）矢量積任意兩個(gè)矢量A與B的矢量積（VectorProduct）是一個(gè)矢量，矢量積的大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量A與B組成的平面，如圖1-3所示，記為

C=A×B=anABsinθ

an=aA×aB

（右手螺旋）

53

圖1-3矢量積的圖示及右手螺旋

(a)矢量積(b)右手螺旋圖1-3矢量積的圖示及右手螺旋54

矢量積又稱為叉積(CrossProduct)，如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互平行，或者說(shuō)，兩個(gè)相互平行矢量的叉積一定等于零。矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即

A×B=-B×A

A×(B+C)=A×B+A×C

矢量積又稱為叉積(CrossProduct)，如果兩55直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：

ax×ay=az,ay×az=ax,az×ax=ayax×ax=ay×ay=az×az=0

在直角坐標(biāo)系中，矢量的叉積還可以表示為

=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：56矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分

矢量函數(shù)一般是空間坐標(biāo)的函數(shù)，有時(shí)它也是時(shí)間的函數(shù)。在我們以后研究的有關(guān)內(nèi)容中必將涉及到矢量函數(shù)隨空間坐標(biāo)和時(shí)間的變化率問(wèn)題，既對(duì)上述變量的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分矢量函數(shù)一般是空間坐標(biāo)的函數(shù)，有57矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分

矢量函數(shù)對(duì)空間的偏導(dǎo)數(shù)仍是一個(gè)矢量，它的分量等于原矢量函數(shù)各分量對(duì)該坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。這一結(jié)論同樣矢用于矢量函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)。

矢量函數(shù)的積分包括不定積分和定積分兩種，它們和一般函數(shù)的積分在形式上類似，所以一般函數(shù)積分的基本法則對(duì)矢量函數(shù)積分也適用。

矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分矢量函數(shù)對(duì)空間的偏導(dǎo)數(shù)仍是一個(gè)矢58矢量場(chǎng)

矢量場(chǎng)的矢量線矢量場(chǎng)中任意一點(diǎn)P處的矢量可以用一個(gè)矢性函數(shù)A=A(P)來(lái)表示。當(dāng)選定了直角坐標(biāo)系后，它就可以寫成如下形式：

A=A(x,y,z)

設(shè)Ax,Ay,Az為矢性函數(shù)A在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量，且假定它們都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則A又可以表示為

A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z)

所謂矢量線是這樣一些曲線：在曲線上的每一點(diǎn)處，場(chǎng)的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上（如圖1-4所示），像靜電場(chǎng)的電力線、磁場(chǎng)的磁力線、流速場(chǎng)中的流線等，都是矢量線的例子。矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)的矢量線59圖1-4矢量線圖

設(shè)P為矢量線上任一點(diǎn)，其矢徑為r，則根據(jù)矢量線的定義，必有

A×dr=

0

在直角坐標(biāo)系中，矢徑r的表達(dá)式為

r=axx+ayy+azz

矢量場(chǎng)的矢量線滿足的微分方程為圖1-4矢量線圖60

第3、4學(xué)時(shí)

1.2矢量的通量和散度

1.2.1矢量場(chǎng)的通量在矢量場(chǎng)A中取一個(gè)面元dS及與該面元垂直的單位矢量n（外法向矢量，如圖所示），則面元矢量表示為：dS=ndS返回矢量場(chǎng)的通量及散度

第3、4學(xué)時(shí)

1.2矢量的通量和散度

1.2.161

由于所取的面元dS很小，因此可認(rèn)為在面元上各點(diǎn)矢量場(chǎng)A的值相同，A與面元dS的標(biāo)量積稱為矢量場(chǎng)A穿過(guò)dS的通量記作

A·dS=AcosθdS

因此矢量場(chǎng)A穿過(guò)整個(gè)曲面S的通量為

由于所取的面元dS很小，因此可認(rèn)為在面元上各點(diǎn)矢量場(chǎng)621.2.2.矢量場(chǎng)的散度

1）散度的定義設(shè)有矢量場(chǎng)A，在場(chǎng)中任一點(diǎn)P處作一個(gè)包含P點(diǎn)在內(nèi)的任一閉合曲面S，設(shè)S所限定的體積為ΔV，當(dāng)體積ΔV以任意方式縮向P點(diǎn)時(shí)，取下列極限:

如果上式的極限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng)A在點(diǎn)P處的散度，記作1.2.2.矢量場(chǎng)的散度63

顯然，其物理意義是從點(diǎn)P單位體積內(nèi)散發(fā)的通量。在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式為顯然，其物理意義是從點(diǎn)P單位體積內(nèi)散發(fā)的通量。在直角64

2）哈米爾頓（Hamilton）算子為了方便，引入一個(gè)矢性微分算子：

在直角坐標(biāo)系中稱之為哈米爾頓算子，是一個(gè)微分符號(hào)，同時(shí)又要當(dāng)作矢量看待。算子與矢性函數(shù)A的點(diǎn)積為一標(biāo)量函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式可以寫為2）哈米爾頓（Hamilton）算子65

矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式分別為矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式分別為661.2.3高斯散度定理（DivergenceTheorem）在矢量分析中，一個(gè)重要的定理為散度定理1.2.3高斯散度定理（DivergenceTheore671.3.1環(huán)量的定義設(shè)有矢量場(chǎng)A，l為場(chǎng)中的一條封閉的有向曲線，定義矢量場(chǎng)A環(huán)繞閉合路徑l的線

積分為該矢量的環(huán)量，記作

矢量的環(huán)量和矢量穿過(guò)閉合面的通量一樣，都是描繪矢量場(chǎng)A性質(zhì)的重要物理量，同樣都是積分量。為了知道場(chǎng)中每個(gè)點(diǎn)上旋渦源的性質(zhì)，引入矢量場(chǎng)旋度的概念。第5、6學(xué)時(shí)

1.3矢量的環(huán)度和旋度返回1.3.1環(huán)量的定義第5、6學(xué)時(shí)

1.3矢量的環(huán)度和68矢量場(chǎng)的環(huán)量

閉合曲線方向與面元的方向示意圖

矢量場(chǎng)的環(huán)量閉合曲線方向與面元的方向示意圖69

1.3.2.矢量場(chǎng)的旋度

1）旋度的定義設(shè)P為矢量場(chǎng)中的任一點(diǎn)，作一個(gè)包含P點(diǎn)的微小面元ΔS，其周界為l，它的正向與面元ΔS的法向矢量n成右手螺旋關(guān)系(如下圖所示)。當(dāng)曲面ΔS在P點(diǎn)處保持以n為法矢不變的條件下，以任意方式縮向P點(diǎn)，取極限1.3.2.矢量場(chǎng)的旋度70

稱固定矢量R為矢量A的旋度，記作rotA=R

上式為旋度矢量在n方向的投影，如圖所示，即旋度及其投影

稱固定矢量R為矢量A的旋度，記作旋度及其投影71矢量場(chǎng)的旋度仍為矢量。在直角坐標(biāo)系中，旋度的表達(dá)式為

為方便起見(jiàn)，也引入算子，則旋度在直角坐標(biāo)系中為：矢量場(chǎng)的旋度仍為矢量。在直角坐標(biāo)系中，旋度的表達(dá)式為為方便72

矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的旋度表達(dá)式分別為矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的旋度表達(dá)式分別為73

旋度的一個(gè)重要性質(zhì)就是任意矢量旋度的散度恒等于零，即

▽

·(▽

×A)≡0

即如果有一個(gè)矢量場(chǎng)B的散度等于零，則該矢量B就可以用另一個(gè)矢量A的旋度來(lái)表示，即當(dāng)

▽

·B=0則有

B=▽

×A

旋度的一個(gè)重要性質(zhì)就是任意矢量旋度的散度恒等于零，即74矢量分析中另一個(gè)重要定理是

稱之為斯托克斯定理，其中S是閉合路徑l所圍成的面積，它的方向與l的方向成右手螺旋關(guān)系。該式表明：矢量場(chǎng)A的旋度沿曲面S法向分量的面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分。

1.3.3斯托克斯定理（StokesTheorem）矢量分析中另一個(gè)重要定理是

稱之為斯托克斯定理，其中S是閉合75例：已知一矢量場(chǎng)F=axxy-ayzx,試求：（1）該矢量場(chǎng)的旋度;（2）該矢量沿半徑為3的四分之一圓盤的線積分，如圖所示，驗(yàn)證斯托克斯定理。四分之一圓盤例：已知一矢量場(chǎng)F=axxy-ayzx,試求：四分之一圓盤76

1.4.1標(biāo)量的方向?qū)?shù)和梯度一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)u可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)表示。在直角坐標(biāo)系中，可將u表示為

u=u(x,y,z)

令u(x,y,z)=C,C為任意常數(shù)。該式在幾何上一般表示一個(gè)曲面，在這個(gè)曲面上的各點(diǎn)，雖然坐標(biāo)(x,y,z)不同，但函數(shù)值相等，稱此曲面為標(biāo)量場(chǎng)u的等值面。隨著C的取值不同，得到一系列不同的等值面，如下圖所示。同理，對(duì)于由二維函數(shù)v=v(x,y)所給定的平面標(biāo)量場(chǎng)，可按v(x,y)=C得到一系列不同值的等值線。第7、8學(xué)時(shí)

1.4標(biāo)量的方向?qū)?shù)和梯度返回1.4.1標(biāo)量的方向?qū)?shù)和梯度第7、8學(xué)時(shí)

1.4標(biāo)77標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值面781.方向?qū)?shù)的定義設(shè)P0為標(biāo)量場(chǎng)u=u(P)中的一點(diǎn)，從點(diǎn)P0出發(fā)引出一條射線l，如