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文檔簡介

11、轉置伴隨陣逆矩陣公式2、克拉默法則應用舉例對任一n階矩陣

A=[aij]，用

adjA

記與之同階的

對任一

n階矩陣

A，可用其元之代數余子式構成一個被稱為

A的轉置伴隨陣

(adjugatematrix)的n階矩陣．轉置伴隨陣定義

轉置伴隨陣，有[Aij]TadjAdef其中Aij是元

aij在A中的代數余子式的值．1、轉置伴隨陣逆矩陣公式即定理

設A是n

階矩陣，

adjA

為其轉置伴隨矩陣，則有或記作證明

逆矩陣公式定理

n

階矩陣A為可逆陣的充分必要條件是|A|≠0

，此時有，或記為

證明必要性因

A可逆，故有

A-1使成立AA-1=I利用行列式乘法定理，得故必

detA≠0，且由此可知當|A|≠0時，可得充分性由逆矩陣的惟一性，即知結論成立.5例

求3階方陣的逆矩陣.解

|A|=1，則6例

設n階方陣A可逆,(1)證明其伴隨矩陣A*可逆,并求其逆;(2)求|A*|.證先討論二元線性方程組的解：用消元法解二元線性方程組2、克拉默法則8二元線性方程組若令(方程組的系數行列式)上述二元線性方程組的解可表示為如果線性方程組的系數行列式不等于零，即問題：以上規律對n階線性方程組是否成立？則其解是否可以表示為：10證再把n個方程依次相加,得11于是當D≠0時,方程組有唯一的一個解為12克拉默法則如果線性方程組的系數行列式不等于零，即

則線性方程組有解并且解是唯一的，解可以表示成13定理中包含著三個結論：方程組有解；（解的存在性）解是唯一的；（解的唯一性）解可以由公式給出.注

該定理討論的只是系數行列式不為零的方程組．線性方程組

常數項全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組.14

齊次線性方程組總是有解的，因為(0,0,…,0)就是一個解，稱為零解.因此，齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解．

齊次線性方程組

我們關心的問題是，齊次線性方程組除零解以外是否存在著非零解．15推論

如果齊次線性方程組的系數行列式，則齊次線性方程組只有零解(平凡解)，沒有非零解．推論

如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數行列式必為零．

注

這兩個結論說明系數行列式等于零是齊次線性方程組有非零解的必要條件．齊次線性方程組的相關定理例

解線性方程組16解1718練習題

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