優秀精品課件文檔資料優秀精品課件文檔資料第6章信號的矢量空間分析信號矢量空間的基本概念；信號的正交函數分解；相關；能量譜和功率譜；信號通過線性系統的自相關函數、能量譜和功率譜分析相關、正交概念的應用：匹配濾波器，CDMA第6章信號的矢量空間分析信號矢量空間的基本概念；§6.1

信號矢量空間的基本概念線性空間范數內積柯西－施瓦茨不等式§6.1信號矢量空間的基本概念線性空間一．線性空間現代信號分析理論要借助于泛函分析等數學工具；泛函分析中，一個重要概念是函數空間，即由函數構成的集合，并在集合上賦予各種代數、拓撲結構.線性空間：設X為一非空集合，若在X中規定了元素的加法和元素的數乘運算，并滿足相應的結合律及分配律，則稱X為一線性空間。一．線性空間現代信號分析理論要借助于泛函分析等數學工具；泛函(1)N維實數空間R

NRN空間的元素x由N個有序的實數組成x與元素y=(y1,y2,…,yN)T

相加及與a數乘定義為如果上述定義中實數改為復數，則構成復數空間CN(2)連續函數空間L

在區間[a,b]上全部連續函數的集合構成該空間。各函數的相加和倍乘定義為(x+y)(t)=x(t)+y(t),t∈R(ax)(t)=ax(t),t∈R(1)N維實數空間RNRN空間的元素x由二．范數、線性賦范空間范數是矢量長度概念的推廣，是矢量自身的重要的屬性.

設X為一線性空間，若對于任意x∈X，有一個確定的非負實數||x||與它對應，并滿足(1)x∈X，||x||≥0，當且僅當x=0，||x||=0(2)x∈X及a∈R

，||ax||=|a|·||x||(3)||x+y||≤||x||+||y||則稱||x||為X的范數，X為線性賦范空間。完備的線性賦范空間稱為Benach空間。二．范數、線性賦范空間范數是矢量長度概念的推廣，是矢量自身的1.RN與CN空間的范數令p為實數，1≤p＜∞，在RN或CN空間元素x=(x1,x2,…,xN)的p階范數定義為最常用的范數為||·||1，||·||2，||·||∞對于x∈C2，給定x=(1,j)，則其范數為例在R2或R3中，二階范數的物理意義是矢量的長度；||x||2也稱為歐氏范數或歐氏距。1.RN與CN空間的范數令p為實數，1≤p＜∞，在R2.連續/離散時間信號空間L/l空間中的范數(1)連續時間信號空間L中，元素x的p階范數||x||p的定義對于定義在閉區間內的信號，sup表示其幅度值。(2)離散時間信號空間l中，元素x的p階范數||x||p的定義x(t)的上確界2.連續/離散時間信號空間L/l空間中的范數(1)連1-范數表示信號作用的強度1-范數2-范數的平方表示信號的能量2-范數-范數定義在閉區間的x，||x||表示信號的峰值,即信號幅度U或I在單位電阻上消耗的能量1-范數表示1-范數2-范數的平方表示信號的能量2-范數-三．內積直角坐標平面內兩矢量相對位置關系

內積的概念反映了元素之間的關系，在時域信號中則反映了信號之間的相互關系，如正交、相關;

完備的內積空間稱為Hilbert空間。先由二維矢量空間引入內積的概念或三．內積直角坐標平面內兩矢量相對位置關系內積的概念反映了推廣之，多維上式表明：給定了的矢量長度，標量乘積式反映了兩矢量之間相對位置的“校準”情況。二維矢量空間的內積(點積)運算推廣之，多維上式表明：給定了的矢量長度，標量乘積式反映了二維實內積空間設RN為實線性空間，如果對于RN中的任意x,y∈RN，均有一實數x,y與之對應,滿足以下公理則x,y稱為x與y的內積，R稱為實內積空間(歐氏空間)(2)x,y=y,x，交換律(1)x,x≥0,當且僅當x=0時，x,x=0,自內積正定性(3)x,y=x,y，為任意實數齊性(4)x+y,z=x,z+y,z，zC(R)分配律N維實線性空間，定義為實內積空間設RN為實線性空間，如果對于RN中的任意x,y∈R復內積空間設CN

為復線性空間，如果對于CN中的任意x,y∈CN，均有一復數x,y與之對應,滿足以下公理則x,y稱為x與y的內積，C稱為復內積空間(酉空間)(2)x,y=y,x*，共軛交換律(1)x,x≥0,當且僅當x=0時，x,x=0,自內積正定性(3)x,y=x,y，為任意復數齊性(4)x+y,z=x,z+y,z，zC(R)分配律N維復線性空間，定義為復內積空間設CN為復線性空間，如果對于CN中的任意x,y∈信號空間L/l內的兩連續/離散信號的內積對于L/l空間，信號x與其自身的內積運算連續/離散函數空間的內積信號空間L/l內的兩連續/離散信號的內積對于L/l四、Cauchy-Schwarz不等式

Cauchy-Schwarz不等式即則有證明:對于二維矢量空間，已知有如下關系所以對于一般情況的證明見教材p323.四、Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Sch§6.2

信號的正交函數分解矢量的正交分解正交函數正交函數集復變函數的正交特性§6.2信號的正交函數分解矢量的正交分解怎樣分解，能得到最小的誤差分量？方式不是唯一的：一．矢量的正交分解考察二維矢量空間的矢量V1和V2,當=0，c12=1,V1、V2

完全重合；隨增大，c12減小；當=90°，c12=0，V1和V2垂直。c12表示V1

和V2互相接近的程度利用二維矢量空間較直觀的概念引出正交函數和正交函數族的定義怎樣分解，能得到最小的誤差分量？方式不是唯一的：一．矢量的正正交分解空間中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。平面中任一矢量可分解為x,y二方向矢量。一個三維空間矢量，必須用三個正交的矢量來表示，如果用二維矢量表示就會出現誤差：三維正交集二維正交集正交分解空間中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。平面中假設在區間(t1,t2)內用函數f2(t)近似表示f1(t)方均誤差為求得使最小的c12值，需使二、正交函數分解原則：方均誤差最小，即誤差信號功率(能量)最小交換微分與積分次序假設在區間(t1,t2)內用函數f2(t)近似表示此項為零解得若c12為零，則f1(t)不包含f2(t)的分量，稱f1(t)、f2(t)為正交。正交條件此項為零解得若c12為零，則f1(t)不包含f2(t)的分量試用sint

在區間

(0,2)近似表示

f(t)，使方均誤差最小。[例6-1]解：即f(t)試用sint在區間(0,2)近似表示f(t)，使試用正弦信號sint

在(0,2)區間內來表示余弦信號cost所以說明cost

中不包含sint

分量，因此cost

和sint

正交.顯然[例6-2][解]試用正弦信號sint在(0,2)區間內來表示余弦信號co[例6-3]用正弦波逼近三角函數,所以[解][例6-3]用正弦波逼近三角函數,所以[解]n個函數g1(t),g2(t),…gn(t)構成一函數集，如在區間(t1,t2)內滿足正交特性，即則此函數集稱為正交函數集。歸一化正交函數集：三、正交函數集(orthogonalfunctionset)orthonormalsetn個函數g1(t),g2(t),…gn(t)構成一函數集對于系數ci，要使最小，需滿足規格化正交函數集任意函數由正交函數集的線性組合近似方均誤差注意到gi(t)交叉項的積分為零,交換微積分次序,得到分解原則是誤差函數方均值最小對于系數ci，要使最小，需滿足規格化正交函數集或將ci代回表示式，得到最佳近似條件下的方均誤差或將ci代回表示式，得到最佳近似條件下的方均誤兩復變函數在區間(t1,t2)的正交的條件是使方均誤差最小，c12的最佳值應滿足復變函數集{gr(t)}(i=1,2,…,n)為正交函數集滿足四、復變函數的正交特性

(orthogonalityincomplexsignals)兩復變函數在區間(t1,t2)的正交的條件是使方均誤差兩周期信號在同一周期(區間)內正交的條件是c12=0，即：總結

兩個信號不正交，就有相關關系，必能分解出另一信號。對一般信號在給定區間正交，而在其他區間不一定滿足正交。兩周期信號在同一周期(區間)內正交的條件是c12=0，即：§6.3

完備正交函數集、

帕塞瓦爾定理完備正交函數集帕塞瓦爾定理§6.3完備正交函數集、

帕塞瓦爾定理完備正交函數集如果用正交函數集{gi(t)}(i=1,2,…,n)在區間(t1,t2)近似表示f(t)方均誤差若，此函數集稱為完備(complete)正交函數集.稱為廣義傅立葉級數展開一．完備正交函數集(generalizedFourierseries）如果用正交函數集{gi(t)}(i=1,2,…,n)在區間在正交集{gi(t)}(i=1,2,…,n)之外，不存在函數x(t)滿足i為任意正整數。則稱{gi(t)}為完備的正交函數集。完備的正交函數集的另一種定義在正交集{gi(t)}(i=1,2,…,n)之外，不存在函數二．帕塞瓦爾定理(Parseval’stheorem)物理意義：一個信號所含有的能量(功率)恒等于此信號在完備正交函數集中各分量能量(功率)之和。信號的能量基底信號的能量各信號分量的能量數學本質：矢量空間信號正交變換的范數不變性。當Kr=1時，二．帕塞瓦爾定理(Parseval’stheorem)物理三角函數集虛指數函數集勒讓德多項式{Pn(x)}(n=0,1,2,…)在(-1,1)內構成完備的正交函數集。Walsh函數完備的正交函數集二值函數常用的正交函數集三角函數集虛指數函數集勒讓德多項式{Pn(x)}(n=0,1信號與系統討論課講稿ssnd課件優秀精品課件文檔資料優秀精品課件文檔資料第6章信號的矢量空間分析信號矢量空間的基本概念；信號的正交函數分解；相關；能量譜和功率譜；信號通過線性系統的自相關函數、能量譜和功率譜分析相關、正交概念的應用：匹配濾波器，CDMA第6章信號的矢量空間分析信號矢量空間的基本概念；§6.1

信號矢量空間的基本概念線性空間范數內積柯西－施瓦茨不等式§6.1信號矢量空間的基本概念線性空間一．線性空間現代信號分析理論要借助于泛函分析等數學工具；泛函分析中，一個重要概念是函數空間，即由函數構成的集合，并在集合上賦予各種代數、拓撲結構.線性空間：設X為一非空集合，若在X中規定了元素的加法和元素的數乘運算，并滿足相應的結合律及分配律，則稱X為一線性空間。一．線性空間現代信號分析理論要借助于泛函分析等數學工具；泛函(1)N維實數空間R

NRN空間的元素x由N個有序的實數組成x與元素y=(y1,y2,…,yN)T

相加及與a數乘定義為如果上述定義中實數改為復數，則構成復數空間CN(2)連續函數空間L

在區間[a,b]上全部連續函數的集合構成該空間。各函數的相加和倍乘定義為(x+y)(t)=x(t)+y(t),t∈R(ax)(t)=ax(t),t∈R(1)N維實數空間RNRN空間的元素x由二．范數、線性賦范空間范數是矢量長度概念的推廣，是矢量自身的重要的屬性.

設X為一線性空間，若對于任意x∈X，有一個確定的非負實數||x||與它對應，并滿足(1)x∈X，||x||≥0，當且僅當x=0，||x||=0(2)x∈X及a∈R

，||ax||=|a|·||x||(3)||x+y||≤||x||+||y||則稱||x||為X的范數，X為線性賦范空間。完備的線性賦范空間稱為Benach空間。二．范數、線性賦范空間范數是矢量長度概念的推廣，是矢量自身的1.RN與CN空間的范數令p為實數，1≤p＜∞，在RN或CN空間元素x=(x1,x2,…,xN)的p階范數定義為最常用的范數為||·||1，||·||2，||·||∞對于x∈C2，給定x=(1,j)，則其范數為例在R2或R3中，二階范數的物理意義是矢量的長度；||x||2也稱為歐氏范數或歐氏距。1.RN與CN空間的范數令p為實數，1≤p＜∞，在R2.連續/離散時間信號空間L/l空間中的范數(1)連續時間信號空間L中，元素x的p階范數||x||p的定義對于定義在閉區間內的信號，sup表示其幅度值。(2)離散時間信號空間l中，元素x的p階范數||x||p的定義x(t)的上確界2.連續/離散時間信號空間L/l空間中的范數(1)連1-范數表示信號作用的強度1-范數2-范數的平方表示信號的能量2-范數-范數定義在閉區間的x，||x||表示信號的峰值,即信號幅度U或I在單位電阻上消耗的能量1-范數表示1-范數2-范數的平方表示信號的能量2-范數-三．內積直角坐標平面內兩矢量相對位置關系

內積的概念反映了元素之間的關系，在時域信號中則反映了信號之間的相互關系，如正交、相關;

完備的內積空間稱為Hilbert空間。先由二維矢量空間引入內積的概念或三．內積直角坐標平面內兩矢量相對位置關系內積的概念反映了推廣之，多維上式表明：給定了的矢量長度，標量乘積式反映了兩矢量之間相對位置的“校準”情況。二維矢量空間的內積(點積)運算推廣之，多維上式表明：給定了的矢量長度，標量乘積式反映了二維實內積空間設RN為實線性空間，如果對于RN中的任意x,y∈RN，均有一實數x,y與之對應,滿足以下公理則x,y稱為x與y的內積，R稱為實內積空間(歐氏空間)(2)x,y=y,x，交換律(1)x,x≥0,當且僅當x=0時，x,x=0,自內積正定性(3)x,y=x,y，為任意實數齊性(4)x+y,z=x,z+y,z，zC(R)分配律N維實線性空間，定義為實內積空間設RN為實線性空間，如果對于RN中的任意x,y∈R復內積空間設CN

為復線性空間，如果對于CN中的任意x,y∈CN，均有一復數x,y與之對應,滿足以下公理則x,y稱為x與y的內積，C稱為復內積空間(酉空間)(2)x,y=y,x*，共軛交換律(1)x,x≥0,當且僅當x=0時，x,x=0,自內積正定性(3)x,y=x,y，為任意復數齊性(4)x+y,z=x,z+y,z，zC(R)分配律N維復線性空間，定義為復內積空間設CN為復線性空間，如果對于CN中的任意x,y∈信號空間L/l內的兩連續/離散信號的內積對于L/l空間，信號x與其自身的內積運算連續/離散函數空間的內積信號空間L/l內的兩連續/離散信號的內積對于L/l四、Cauchy-Schwarz不等式

Cauchy-Schwarz不等式即則有證明:對于二維矢量空間，已知有如下關系所以對于一般情況的證明見教材p323.四、Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Sch§6.2

信號的正交函數分解矢量的正交分解正交函數正交函數集復變函數的正交特性§6.2信號的正交函數分解矢量的正交分解怎樣分解，能得到最小的誤差分量？方式不是唯一的：一．矢量的正交分解考察二維矢量空間的矢量V1和V2,當=0，c12=1,V1、V2

完全重合；隨增大，c12減小；當=90°，c12=0，V1和V2垂直。c12表示V1

和V2互相接近的程度利用二維矢量空間較直觀的概念引出正交函數和正交函數族的定義怎樣分解，能得到最小的誤差分量？方式不是唯一的：一．矢量的正正交分解空間中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。平面中任一矢量可分解為x,y二方向矢量。一個三維空間矢量，必須用三個正交的矢量來表示，如果用二維矢量表示就會出現誤差：三維正交集二維正交集正交分解空間中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。平面中假設在區間(t1,t2)內用函數f2(t)近似表示f1(t)方均誤差為求得使最小的c12值，需使二、正交函數分解原則：方均誤差最小，即誤差信號功率(能量)最小交換微分與積分次序假設在區間(t1,t2)內用函數f2(t)近似表示此項為零解得若c12為零，則f1(t)不包含f2(t)的分量，稱f1(t)、f2(t)為正交。正交條件此項為零解得若c12為零，則f1(t)不包含f2(t)的分量試用sint

在區間

(0,2)近似表示

f(t)，使方均誤差最小。[例6-1]解：即f(t)試用sint在區間(0,2)近似表示f(t)，使試用正弦信號sint

在(0,2)區間內來表示余弦信號cost所以說明cost

中不包含sint

分量，因此cost

和sint

正交.顯然[例6-2][解]試用正弦信號sint在(0,2)區間內來表示余弦信號co[例6-3]用正弦波逼近三角函數,所以[解][例6-3]用正弦波逼近三角函數,所以[解]n個函數g1(t),g2(t),…gn(t)構成一函數集，如在區間(t1,t2)內滿足正交特性，即則此函數集稱為正交函數集。歸一化正交函數集：三、正交函數集(orthogonalfunctionset)orthonormalsetn個函數g1(t),g2(t),…gn(t)構成一函數集對于系數ci，要使最小，需滿足規格化正交函數集任意函數由正交函數集的線性組合近似方均誤差注意到gi(t)交叉項的積分為零,交換微積分次序,得到分解原則是誤差函數方均值最小對于系數ci，要使最小，需滿足規格化正交函數集或將ci代回表示式，得到最佳近似條件下的方均誤差或