因次分析與π定理因次分析與π定理1第一節物理量的因次、量度單位和因次式

研究任一物理現象，都不可避免地要研究這一種物理現象中變化著的各個物理量以及這些物理量之間的量值關系。表征一物理量，除了有量的數值外，還有量的種類（或類別），如長度、時間、質量、力等，人們把表征物理量的種類通稱為“因次”（Dimension）或稱為“量綱”。度量各物理量數值大小的標準，稱為單位。這些單位系人為確定。目前世界上大多數國家（包括我國）已統一采用國際單位制。

第一節物理量的因次、量度單位和因次式研究任一物理現2第一節物理量的因次、量度單位和因次式

物理量可分為兩大類：一類是有因次的，如長度、時間、速度、加速度、質量、力等，這類物理量要以人為的單位來表示，其數值大小隨著單位的更換而改變；另一類是無因次的，如坡度、佛汝德數、雷諾數等，這些量是一個純數或比值，其數值大小不受量度單位更換的影響。

物理量的因次也可分為兩大類：一類是基本因次，它們彼此是相互獨立的，即它們中的任何一個因次不能從其它基本因次推導出來。

力學上通常選擇長度（以[L]表示）、時間（以[T]表示）和質量（以[M]表示）作為基本因次，顯然它們是相互獨立的。它們中任一個不能從另外二個推導出來（例如[L]不可能由[M]、[T]來組成）。第一節物理量的因次、量度單位和因次式物理量可分為兩大3第一節物理量的因次、量度單位和因次式

另一類因次稱為導出因次，這類因次可由基本因次推導出來，例如速度因次[V]就可由所選定的基本因次推導出來，因為速度是表示單位時間內質點的位移，即:若選擇[M、L、T]為基本因次，則速度因次可表示為：

[V]=[L]/[T]=[LT-1]加速度的因次為：[a]=[V]/[T]=[LT-2]力的因次為：[F]=[M][a]=[MLT-2]

可見某一物理量的因次總可以由基本因次推導出來，而且是基本因次冪指數的乘積，即：(2-1)

該式稱為因式關系式。

第一節物理量的因次、量度單位和因次式另一類因次稱為4第一節物理量的因次、量度單位和因次式證明式：

令ｘ1，ｘ2，ｘ3為具有因次的基本物理量，ｙ代表任一物理量，它是基本物理量ｘ1，ｘ2，ｘ3的函數，即：ｙ＝ｆ（ｘ1，ｘ2，ｘ3

）如有兩個同名物理量，它們可表示為：ｙ1＝ｆ（ｘ11，ｘ21，ｘ31

）ｙ2＝ｆ（ｘ12，ｘ22，ｘ32

）……..

（過程略）其結果是：ｆ＝k1ｘα1，同理：第一節物理量的因次、量度單位和因次式證明式：5第一節物理量的因次、量度單位和因次式ｙ＝ｆ（ｘ1，ｘ2，ｘ3

）＝kｘα1ｘβ2ｘγ3

（2－12）式中：k，α，β，γ都是常數。這樣可以寫出該物理量的因次關系式：

[ｙ]＝[ｘ1]α[ｘ2]β[ｘ3]γ（2－13）若基本量ｘ1取為質量,其因次為[M]；ｘ2取為長度，因次為[L]；ｘ3取為時間，因次為[T]。則某一物理量的導出因次：

[ｙ]＝[M]α[L]β[T]γ（2－14）第一節物理量的因次、量度單位和因次式ｙ＝ｆ（ｘ1，ｘ2，ｘ6第一節物理量的因次、量度單位和因次式

物理量ｙ的性質可由指數αβγ來反映，如均為0，則y為一次無因次純數，指數αβγ中有一個不等于0，就可以說ｙ是一個有因次的物理量。1如為一幾何學量

2如為一運動學量

3如為一動力學量

如面積是由兩個長度的乘積組成的，則它們的因次為長度因次的平方,[A]=[L2]或寫成[A]=[M0L2T0]。流速因次為[V]=[LT-1]=[M0LT-1]；力的因次為：[F]=[M][a]=[MLT-2]。第一節物理量的因次、量度單位和因次式物理量ｙ的性質可由7第一節物理量的因次、量度單位和因次式

如動力粘滯系數μ，由牛頓內摩擦定律知

物理量

無因次量

有因次量

基本量導出量

詳見表2－1第一節物理量的因次、量度單位和因次式如動力粘滯系數μ，8第二節因次和諧原理和因次分析方法

凡是正確反映某一物理現象變化規律的完整的物理方程，其各項因次都必須是一致的，這稱為因次和諧原理。

利用方程因次和諧特征，可以探求物理方程的結構形式，檢驗復雜方程式的正確性，還可以用來導出模型試驗中必須遵循的相似準則。因此，這一原理是因次分析的重要依據。

因次和諧原理的重要性是：一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法凡是正確反映某一物理9第二節因次和諧原理和因次分析方法

1.一個物理方程式在因次上是和諧的，則方程的文字結構形式不隨量度單位的更換而變化。因此因次和諧原理可以用以檢驗新建方程式或經驗公式的正確性和完整性。

2.用因次和諧原理確定物理方程中各物理量的指數。

一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法1.一個物10第二節因次和諧原理和因次分析方法

用因次和諧原理可以證明即質量為M,沿半徑為R的圓周運動關系式的正確性：左側

[F]=[MLT-2]右側顯然左側與右側的因次相同，即可證得：一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法用因次和諧原理可11第二節因次和諧原理和因次分析方法

由因次和諧原理來確定指數n。選擇基本因次[M，L，T]，由表2－1：代入上式得：整理后由因次和諧原理，n-1=3,求得n=4，又如管流中層流流量公式：一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法由因次和諧原理來確定12第二節因次和諧原理和因次分析方法

3.用因次和諧原理建立某些物理方程。

實際工程中有許多自然現象，直至目前仍尚未找出具體形式的物理方程。通過觀察和試驗等只知道有哪些物理量參與作用，那幺，利用因次和諧原理往往可以確定方程式的結構模式。

仍從上例，水平圓管中層流流量，通過試驗知道它與圓管半徑、單位管長的壓差以及流體的動力粘制系數等因素有關，即。

假設：一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法3.用因次和諧原理建立某13第二節因次和諧原理和因次分析方法其因次式為：根據因次和諧原理，方程兩側同類因次的指數必須相同，即：

聯解上列3式得：

從而有

寫成函數關系式為

一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法其因次式為：根據因次和諧原14第二節因次和諧原理和因次分析方法

所得結果與前例完全相同。其中，k為無因次系數，由試驗結果分析得：這與理論分析結果一致。

于是圓管中層流流量公式為：

一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法所得結果與前例完全相同15第二節因次和諧原理和因次分析方法

由因次和用因次和諧原理，可以得到：

1、自然界中某一物理現象的變化規律，可以用一個完整的物理方程來描述；

2、一個完整的物理方程式必須符合因次和諧原理；

3、一個完整的物理方程式其文字結構不隨人為確定的量度單位的更換而改變；

4、因次和諧的條件是方程式中各個變量的基本因次的指數在方程式兩側彼此相等。

二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法由因次和用因次和16第二節因次和諧原理和因次分析方法

因次分析方法就是建立在上述結論基礎上，是用于探求物理現象的函數關系式的一種數學分析方法。

因次分析方法有二種：

瑞利（Rayleigh）法——適用于解決較簡單問題

π定理——應用普遍

瑞利方法的實質是應用因次和諧原理來建立物理現象的函數關系。二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法因次分析方法就是建立17第二節因次和諧原理和因次分析方法

例：一弦長為L的單擺,擺端有質量為的擺球，要求用瑞利法求單擺的擺動周期t的表達式。

根據單擺現象觀測，周期t與弦長l、擺球質量m為及重力加速度g有關，即：用冪指數乘積來表示這一函數關系，即：

式中：為待定常數。將上式寫成因次式得：

二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法例：一弦長為L的單18第二節因次和諧原理和因次分析方法

選擇為基本因次，根據因次和諧原理，則上式可寫成：聯立求得上列3式求解得：

根據因次和諧：二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法選擇19第二節因次和諧原理和因次分析方法

由單擺試驗得到常數等于2π，則單擺周期的表達式為：

這與理論分析結果完全相同（建議多看例子）。

二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法由單擺試驗得到20第二節因次和諧原理和因次分析方法

由上述例子可總結出應用瑞利因次分析法探求物理方程式的步驟如下：

1、找出物理過程的參變量，建立函數關系式（一般采用冪指數乘積形式）；

2、寫出函數的因次關系式；

3、選定3個基本因次（一般為：M,L,T），按選定的基本因次整理、歸并得出函數的因次關系式；二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法由上述例子可總結21第二節因次和諧原理和因次分析方法

4、根據因次和諧原理列出因次和諧方程，聯立求解出各參變量指數值；

5、將解得的指數值回代到原假定的函數關系式，并加以整理、化簡；

6、通過模型試驗或現場觀測，驗證所得的函數表達式的完整性和正確性，并確定表達式中的待定系數或指數，最后獲得描述該物理現象的完整的表達式。

二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法4、根據因次和諧原理列22第二節因次和諧原理和因次分析方法

用瑞利因次分析法建立物理現象的函數表達式，最大的優點就是簡單易行，但有一定局限性：

1、只能假定物理方程式的模式是參變量冪指數的乘積；

2、所建立的方程式正確與否，很大程度取決于參變量的選擇是否正確、完整；

3、方程式中的待定系數或某些指數，一般需由模型試驗或理論分析（比較簡單的物理過程）求得；

4、只有當參變量不大于3個時，方能求解由3個基本因次構成的因次和諧方程組，求得不大于3個的待定指數，從而建立方程序的具體形式。二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法用瑞利因次分析法建23第二節因次和諧原理和因次分析方法

換言之，當待求的物理方程中包含的參變量大于3個時，瑞利法就無能為力了。這時需采用因次分析的普遍方法——π定理（又稱Backingham定理），找出復合無因次項，方能建立完整的物理方程式。

二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法換言之，24第三節π定理及其應用一、π定理的基本概念π定理的全部含意：

某一物理進程，若有ｎ個物理量參與作用，基本有ｍ個具有因次獨立的基本物理量，則經過處理，這一物理過程可由包含ｎ-ｍ個由物理量組成的無因次準數π的函數關系式來表示。例如用質量ｍ，長度l，時間t三個基本物理量，不管怎樣組合均不可能組成一個無因次量。

證明過程見書P40。x1,x2,x3——是基本量，則它們是因次獨立的，故上列因次中的指數行列式不等于零。第三節π定理及其應用一、π定理的基本概念π定理的全部含意：25第三節π定理及其應用二、π定理在因次分析中的應用例1利用π定理建立圓球的粘滯力公式

設影響圓球在流體中運動(或流體繞圓球運動)時引起的粘滯阻力FD與流體的密度ρ，動力粘滯系數μ，球體與流體的相對速度以及表征球體的特征面積A有關。于是粘滯阻力的函數關系式可寫成：上式可改寫成：第三節π定理及其應用二、π定理在因次分析中的應用例1利26第三節π定理及其應用二、π定理在因次分析中的應用

上式共5個變量，選擇d、V、ρ作為基本變量：

基本因次的指數行列式為

故所選的基本量是因次獨立的，根據π定理可得：第三節π定理及其應用二、π定理在因次分析中的應用上式共27第三節π定理及其應用二、π定理在因次分析中的應用第三節π定理及其應用二、π定理在因次分析中的應用28第三節π定理及其應用二、π定理在因次分析中的應用第三節π定理及其應用二、π定理在因次分析中的應用29第三節π定理及其應用

例2利用π定理確定粘性流體在光滑圓管中均勻流動的阻力損失公式。設流體在圓管中流進l距離的壓降為，它的大小與管長l，管徑d，平均流速v，流體的密度及動力粘滯系數有關，即：

上式共6個變量，選擇作為基本變量,根據π定理，可得：二、π定理在因次分析中的應用（2-49）（2-50）第三節π定理及其應用例2利用π定理確定粘性流體在光滑30第三節π定理及其應用二、π定理在因次分析中的應用（2-51）（2-52）（2-53）第三節π定理及其應用二、π定理在因次分析中的應用（2-5131第三節π定理及其應用第三節π定理及其應用32第三節π定理及其應用由以上推導可知π定理的涵義：

1、π定理的主要理論依據是一個完整的物理方程式必須遵循因次和諧原理。

2、包含有n個變量參與作用的某一物理現象，可用一個由(n-m)個無因次項組成的函數關系式來表達，其中m為n個參變量中具有因次獨立的基本參變量()；

3、基本參變量可任意從全部參變量中選擇，它們必須是因次獨立的(因次中的指數行列式不等于零)，而且它們包含的基本因次應能包括n個參變量中所有基本因次。第三節π定理及其應用由以上推導可知π定理的涵義：1、33第三節π定理及其應用

4、每一個無因次π項均可由m個基本量指數乘積與某一個變量的商或積組合而成，組合的要求是各個基本量的指數得到合理的確定，最終使所得的各個π項均為無因次量。

5、某些無因次物理量，本身也可作為π項。

6、各個π項的自乘及它們之間相互乘除其物理意義不變。因而在組合π項時，用于和基本量指數乘積或相除的某一個變量，其指數可以任意選擇。第三節π定理及其應用4、每一個無因次π項均可由m個34因次分析與π定理因次分析與π定理35第一節物理量的因次、量度單位和因次式

研究任一物理現象，都不可避免地要研究這一種物理現象中變化著的各個物理量以及這些物理量之間的量值關系。表征一物理量，除了有量的數值外，還有量的種類（或類別），如長度、時間、質量、力等，人們把表征物理量的種類通稱為“因次”（Dimension）或稱為“量綱”。度量各物理量數值大小的標準，稱為單位。這些單位系人為確定。目前世界上大多數國家（包括我國）已統一采用國際單位制。

第一節物理量的因次、量度單位和因次式研究任一物理現36第一節物理量的因次、量度單位和因次式

物理量可分為兩大類：一類是有因次的，如長度、時間、速度、加速度、質量、力等，這類物理量要以人為的單位來表示，其數值大小隨著單位的更換而改變；另一類是無因次的，如坡度、佛汝德數、雷諾數等，這些量是一個純數或比值，其數值大小不受量度單位更換的影響。

物理量的因次也可分為兩大類：一類是基本因次，它們彼此是相互獨立的，即它們中的任何一個因次不能從其它基本因次推導出來。

力學上通常選擇長度（以[L]表示）、時間（以[T]表示）和質量（以[M]表示）作為基本因次，顯然它們是相互獨立的。它們中任一個不能從另外二個推導出來（例如[L]不可能由[M]、[T]來組成）。第一節物理量的因次、量度單位和因次式物理量可分為兩大37第一節物理量的因次、量度單位和因次式

另一類因次稱為導出因次，這類因次可由基本因次推導出來，例如速度因次[V]就可由所選定的基本因次推導出來，因為速度是表示單位時間內質點的位移，即:若選擇[M、L、T]為基本因次，則速度因次可表示為：

[V]=[L]/[T]=[LT-1]加速度的因次為：[a]=[V]/[T]=[LT-2]力的因次為：[F]=[M][a]=[MLT-2]

可見某一物理量的因次總可以由基本因次推導出來，而且是基本因次冪指數的乘積，即：(2-1)

該式稱為因式關系式。

第一節物理量的因次、量度單位和因次式另一類因次稱為38第一節物理量的因次、量度單位和因次式證明式：

令ｘ1，ｘ2，ｘ3為具有因次的基本物理量，ｙ代表任一物理量，它是基本物理量ｘ1，ｘ2，ｘ3的函數，即：ｙ＝ｆ（ｘ1，ｘ2，ｘ3

）如有兩個同名物理量，它們可表示為：ｙ1＝ｆ（ｘ11，ｘ21，ｘ31

）ｙ2＝ｆ（ｘ12，ｘ22，ｘ32

）……..

（過程略）其結果是：ｆ＝k1ｘα1，同理：第一節物理量的因次、量度單位和因次式證明式：39第一節物理量的因次、量度單位和因次式ｙ＝ｆ（ｘ1，ｘ2，ｘ3

）＝kｘα1ｘβ2ｘγ3

（2－12）式中：k，α，β，γ都是常數。這樣可以寫出該物理量的因次關系式：

[ｙ]＝[ｘ1]α[ｘ2]β[ｘ3]γ（2－13）若基本量ｘ1取為質量,其因次為[M]；ｘ2取為長度，因次為[L]；ｘ3取為時間，因次為[T]。則某一物理量的導出因次：

[ｙ]＝[M]α[L]β[T]γ（2－14）第一節物理量的因次、量度單位和因次式ｙ＝ｆ（ｘ1，ｘ2，ｘ40第一節物理量的因次、量度單位和因次式

物理量ｙ的性質可由指數αβγ來反映，如均為0，則y為一次無因次純數，指數αβγ中有一個不等于0，就可以說ｙ是一個有因次的物理量。1如為一幾何學量

2如為一運動學量

3如為一動力學量

如面積是由兩個長度的乘積組成的，則它們的因次為長度因次的平方,[A]=[L2]或寫成[A]=[M0L2T0]。流速因次為[V]=[LT-1]=[M0LT-1]；力的因次為：[F]=[M][a]=[MLT-2]。第一節物理量的因次、量度單位和因次式物理量ｙ的性質可由41第一節物理量的因次、量度單位和因次式

如動力粘滯系數μ，由牛頓內摩擦定律知

物理量

無因次量

有因次量

基本量導出量

詳見表2－1第一節物理量的因次、量度單位和因次式如動力粘滯系數μ，42第二節因次和諧原理和因次分析方法

凡是正確反映某一物理現象變化規律的完整的物理方程，其各項因次都必須是一致的，這稱為因次和諧原理。

利用方程因次和諧特征，可以探求物理方程的結構形式，檢驗復雜方程式的正確性，還可以用來導出模型試驗中必須遵循的相似準則。因此，這一原理是因次分析的重要依據。

因次和諧原理的重要性是：一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法凡是正確反映某一物理43第二節因次和諧原理和因次分析方法

1.一個物理方程式在因次上是和諧的，則方程的文字結構形式不隨量度單位的更換而變化。因此因次和諧原理可以用以檢驗新建方程式或經驗公式的正確性和完整性。

2.用因次和諧原理確定物理方程中各物理量的指數。

一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法1.一個物44第二節因次和諧原理和因次分析方法

用因次和諧原理可以證明即質量為M,沿半徑為R的圓周運動關系式的正確性：左側

[F]=[MLT-2]右側顯然左側與右側的因次相同，即可證得：一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法用因次和諧原理可45第二節因次和諧原理和因次分析方法

由因次和諧原理來確定指數n。選擇基本因次[M，L，T]，由表2－1：代入上式得：整理后由因次和諧原理，n-1=3,求得n=4，又如管流中層流流量公式：一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法由因次和諧原理來確定46第二節因次和諧原理和因次分析方法

3.用因次和諧原理建立某些物理方程。

實際工程中有許多自然現象，直至目前仍尚未找出具體形式的物理方程。通過觀察和試驗等只知道有哪些物理量參與作用，那幺，利用因次和諧原理往往可以確定方程式的結構模式。

仍從上例，水平圓管中層流流量，通過試驗知道它與圓管半徑、單位管長的壓差以及流體的動力粘制系數等因素有關，即。

假設：一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法3.用因次和諧原理建立某47第二節因次和諧原理和因次分析方法其因次式為：根據因次和諧原理，方程兩側同類因次的指數必須相同，即：

聯解上列3式得：

從而有

寫成函數關系式為

一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法其因次式為：根據因次和諧原48第二節因次和諧原理和因次分析方法

所得結果與前例完全相同。其中，k為無因次系數，由試驗結果分析得：這與理論分析結果一致。

于是圓管中層流流量公式為：

一、因次和諧原理第二節因次和諧原理和因次分析方法所得結果與前例完全相同49第二節因次和諧原理和因次分析方法

由因次和用因次和諧原理，可以得到：

1、自然界中某一物理現象的變化規律，可以用一個完整的物理方程來描述；

2、一個完整的物理方程式必須符合因次和諧原理；

3、一個完整的物理方程式其文字結構不隨人為確定的量度單位的更換而改變；

4、因次和諧的條件是方程式中各個變量的基本因次的指數在方程式兩側彼此相等。

二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法由因次和用因次和50第二節因次和諧原理和因次分析方法

因次分析方法就是建立在上述結論基礎上，是用于探求物理現象的函數關系式的一種數學分析方法。

因次分析方法有二種：

瑞利（Rayleigh）法——適用于解決較簡單問題

π定理——應用普遍

瑞利方法的實質是應用因次和諧原理來建立物理現象的函數關系。二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法因次分析方法就是建立51第二節因次和諧原理和因次分析方法

例：一弦長為L的單擺,擺端有質量為的擺球，要求用瑞利法求單擺的擺動周期t的表達式。

根據單擺現象觀測，周期t與弦長l、擺球質量m為及重力加速度g有關，即：用冪指數乘積來表示這一函數關系，即：

式中：為待定常數。將上式寫成因次式得：

二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法例：一弦長為L的單52第二節因次和諧原理和因次分析方法

選擇為基本因次，根據因次和諧原理，則上式可寫成：聯立求得上列3式求解得：

根據因次和諧：二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法選擇53第二節因次和諧原理和因次分析方法

由單擺試驗得到常數等于2π，則單擺周期的表達式為：

這與理論分析結果完全相同（建議多看例子）。

二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法由單擺試驗得到54第二節因次和諧原理和因次分析方法

由上述例子可總結出應用瑞利因次分析法探求物理方程式的步驟如下：

1、找出物理過程的參變量，建立函數關系式（一般采用冪指數乘積形式）；

2、寫出函數的因次關系式；

3、選定3個基本因次（一般為：M,L,T），按選定的基本因次整理、歸并得出函數的因次關系式；二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法由上述例子可總結55第二節因次和諧原理和因次分析方法

4、根據因次和諧原理列出因次和諧方程，聯立求解出各參變量指數值；

5、將解得的指數值回代到原假定的函數關系式，并加以整理、化簡；

6、通過模型試驗或現場觀測，驗證所得的函數表達式的完整性和正確性，并確定表達式中的待定系數或指數，最后獲得描述該物理現象的完整的表達式。

二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法4、根據因次和諧原理列56第二節因次和諧原理和因次分析方法

用瑞利因次分析法建立物理現象的函數表達式，最大的優點就是簡單易行，但有一定局限性：

1、只能假定物理方程式的模式是參變量冪指數的乘積；

2、所建立的方程式正確與否，很大程度取決于參變量的選擇是否正確、完整；

3、方程式中的待定系數或某些指數，一般需由模型試驗或理論分析（比較簡單的物理過程）求得；

4、只有當參變量不大于3個時，方能求解由3個基本因次構成的因次和諧方程組，求得不大于3個的待定指數，從而建立方程序的具體形式。二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法用瑞利因次分析法建57第二節因次和諧原理和因次分析方法

換言之，當待求的物理方程中包含的參變量大于3個時，瑞利法就無能為力了。這時需采用因次分析的普遍方法——π定理（又稱Backingham定理），找出復合無因次項，方能建立完整的物理方程式。

二、因次分析方法第二節因次和諧原理和因次分析方法換言之，58第三節π定理及其應用一、π定理的基本概念π定理的全部含意：

某一物理進程，若有ｎ個物理量參與作用，基本有ｍ個具有因次獨立的基本物理量，則經過處理，這一物理過程可由包含ｎ-ｍ個由物理量組成的無因次準數π的函數關系式來表示。例如用質量ｍ，長度l，時間t三個基本物理量，不管怎樣組合均不可能組成一個無因次量。

證明過程見書P40。x1,x2,x3——是基本量，則它們是因次獨立的，故上列因次中的指數行列式不等于零。第三節π定理及其應用一、π定理的基本概念π定理的全