1.2.2復合函數的導數1.2.2復合函數的導數復習：復習：導數的運算法則[cf(x)]’=Cf‘(x)(c為常數)復習：導數的運算法則[cf(x)]’=Cf‘(x)(c為常數)復1).求函數y=(3x-2)2的導數.2).如何求函數y=ln(x+2)的導數呢？把平方式展開,利用導數的四則運算法則求導.是否還有用其它的辦法求導呢?想一想???探究：1).求函數y=(3x-2)2的導數.2).如何求二、新課——復合函數的導數：1.復合函數的概念:對于函數y=f(u)和u=g(x),如果通過變量u,y可以示成x的函數,那么稱這個函數為函數y=f(u)和u=g(x)的復合函數.記作y=f(g(x))

函數內層函數

外層函數

復合函數定義域值域u=g(x)y=f(u)y=f(g(x))x∈AU∈DU∈Dy∈Bx∈Ay∈B二、新課——復合函數的導數：1.復合函數的概念:對于函數y=問題1:指出下列函數的復合關系：解:問題1:指出下列函數的復合關系：解:2.求復合函數的導數如:求函數y=(3x-2)2的導數,注:1)y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間關系為2)法則可以推廣到兩個以上的中間變量.3)在書寫時不要把寫成,兩者是不完全一樣的,前者表示對自變量x的求導,而后者是對中間變量的求導.或令y=u2,u=3x-2,則從而2.求復合函數的導數如:求函數y=(3x-2)2的導數,注:3.復合函數的求導法則3.復合函數的求導法則應用舉例例1：求下列函數的導數：（1）y=(5x-6)2;（2）y=e-0.05x+1;（4）y=sin(πx+φ);(π,φ為常數)(3)y=ln(x+2)復合函數求導的基本步驟：

分解——求導——相乘——回代應用舉例例1：求下列函數的導數：（1）y=(5x-6)函數的導數是()A練習：函數的導題型一復合函數的求導方法題型一復合函數的求導方法

(2)令u=x2,則y=cosu,∴y′x=y′u·u′x=-sinu·2x=-2xsinx2.(2)令u=x2,則y=cosu,《復合函數的導數》課件規律技巧:求復合函數的導數,要分清函數的復合關系,對于分式型的可化為冪的形式求導,關鍵選好中間變量.最后將中間變量代回到原自變量的函數.規律技巧:求復合函數的導數,要分清函數的復合關系,對于分式型《復合函數的導數》課件《復合函數的導數》課件例2:求下列函數的導數.(1)y=(x2-4)2;解:(1)(方法1)y=(x2-4)2=x4-8x2+16∴y′=(x4-8x2+16)′=4x3-16x.(方法2)y′=2(x2-4)(x2-4)′=2(x2-4)·2x=4x3-16x.例2:求下列函數的導數.解:(1)(方法1)y=(x2-4)(2)y=log2(2x2+3x+1);(3)y=esin(ax+b)

(3)y′=[esin(ax+b)]′=esin(ax+b)[sin(ax+b)]′=esin(ax+b)·cos(ax+b)·(ax+b)′=acos(ax+b)·esin(ax+b).(2)y=log2(2x2+3x+1);(3)y=esin變式訓練2:求下列函數的導數.(2)y′=(sin3x+sinx3)′=3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′=3sin2x·cosx+3x2cosx3.變式訓練2:求下列函數的導數.(2)y′=(sin3x+1、求下列函數的導數：課堂練習：2、求曲線y=sin2x在點P(π，0）處的切線方程。1、求下列函數的導數：課堂練習：2、求曲線y=sin2x在點題型二求導法則的綜合應用例3:已知函數f(x)是關于x的二次函數,其導函數為f′(x),且x∈R,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1恒成立,求函數f(x)的解析式.解:設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f′(x)=2ax+b.又x2f′(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=(a-b)x2+(b-2c)x+c=1恒成立,題型二求導法則的綜合應用解:設f(x)=ax2+bx+c變式訓練3:已知函數f(x)是關于x的三次函數,且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0,求f(x)的解析式.解:設f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則f′(x)=3ax2+2bx+c.由f(0)=3,得d=3,由f′(0)=0,得c=0,變式訓練3:已知函數f(x)是關于x的三次函數,且f(0)=小結：⑴復合函數的求導，要注意分析復合函數的結構，引入中間變量，將復合函數分解成為較簡單的函數，然后再用復合函數的求導法則求導；⑵復合函數求導的基本步驟是：

分解——求導——相乘——回代小結：求下列函數的導數:解:(2)解:求下列函數的導數:解:(2)解:

“可導的偶函數的導函數為奇函數;可導的奇函數的導函數為偶函數”.現在利用復合函數的導數加以證明:證:當f(x)為可導的偶函數時,則f(-x)=f(x).兩邊同時對x求導得:得:故為奇函數.同理可證另一個命題.

我們還可以證明類似的一個結論:可導的周期函數的導函數也是周期函數.證:設f(x)為可導的周期函數,T為其一個周期,則對定義域內的每一個x,都有f(x+T)=f(x).

兩邊同時對x求導得:

也是以T為周期的周期函數.“可導的偶函數的導函數為奇函數;可導的奇函數的導函數例5:設f(x)可導,求下列函數的導數:(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)解:說明:對于抽象函數的求導,一方面要從其形式是把握其結構特征,另一方面要充分運用復合關系的求導法則.例5:設f(x)可導,求下列函數的導數:解:說明:對于抽象求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓C2:4x2+9y2=72在交點處的切線互相垂直.證:由于曲線的圖形關于坐標軸對稱,故只需證明其中一個交點處的切線互相垂直即可.聯立兩曲線方程解得第一象限的交點為P(3,2),不妨證明過P點的兩條切線互相垂直.由于點P在第一象限,故由x2-y2=5得同理由4x2+9y2=72得因為k1k2=-1,所以兩條切線互相垂直.從而命題成立.求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓C2:4x2+9y2=71.2.2復合函數的導數1.2.2復合函數的導數復習：復習：導數的運算法則[cf(x)]’=Cf‘(x)(c為常數)復習：導數的運算法則[cf(x)]’=Cf‘(x)(c為常數)復1).求函數y=(3x-2)2的導數.2).如何求函數y=ln(x+2)的導數呢？把平方式展開,利用導數的四則運算法則求導.是否還有用其它的辦法求導呢?想一想???探究：1).求函數y=(3x-2)2的導數.2).如何求二、新課——復合函數的導數：1.復合函數的概念:對于函數y=f(u)和u=g(x),如果通過變量u,y可以示成x的函數,那么稱這個函數為函數y=f(u)和u=g(x)的復合函數.記作y=f(g(x))

函數內層函數

外層函數

復合函數定義域值域u=g(x)y=f(u)y=f(g(x))x∈AU∈DU∈Dy∈Bx∈Ay∈B二、新課——復合函數的導數：1.復合函數的概念:對于函數y=問題1:指出下列函數的復合關系：解:問題1:指出下列函數的復合關系：解:2.求復合函數的導數如:求函數y=(3x-2)2的導數,注:1)y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間關系為2)法則可以推廣到兩個以上的中間變量.3)在書寫時不要把寫成,兩者是不完全一樣的,前者表示對自變量x的求導,而后者是對中間變量的求導.或令y=u2,u=3x-2,則從而2.求復合函數的導數如:求函數y=(3x-2)2的導數,注:3.復合函數的求導法則3.復合函數的求導法則應用舉例例1：求下列函數的導數：（1）y=(5x-6)2;（2）y=e-0.05x+1;（4）y=sin(πx+φ);(π,φ為常數)(3)y=ln(x+2)復合函數求導的基本步驟：

分解——求導——相乘——回代應用舉例例1：求下列函數的導數：（1）y=(5x-6)函數的導數是()A練習：函數的導題型一復合函數的求導方法題型一復合函數的求導方法

(2)令u=x2,則y=cosu,∴y′x=y′u·u′x=-sinu·2x=-2xsinx2.(2)令u=x2,則y=cosu,《復合函數的導數》課件規律技巧:求復合函數的導數,要分清函數的復合關系,對于分式型的可化為冪的形式求導,關鍵選好中間變量.最后將中間變量代回到原自變量的函數.規律技巧:求復合函數的導數,要分清函數的復合關系,對于分式型《復合函數的導數》課件《復合函數的導數》課件例2:求下列函數的導數.(1)y=(x2-4)2;解:(1)(方法1)y=(x2-4)2=x4-8x2+16∴y′=(x4-8x2+16)′=4x3-16x.(方法2)y′=2(x2-4)(x2-4)′=2(x2-4)·2x=4x3-16x.例2:求下列函數的導數.解:(1)(方法1)y=(x2-4)(2)y=log2(2x2+3x+1);(3)y=esin(ax+b)

(3)y′=[esin(ax+b)]′=esin(ax+b)[sin(ax+b)]′=esin(ax+b)·cos(ax+b)·(ax+b)′=acos(ax+b)·esin(ax+b).(2)y=log2(2x2+3x+1);(3)y=esin變式訓練2:求下列函數的導數.(2)y′=(sin3x+sinx3)′=3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′=3sin2x·cosx+3x2cosx3.變式訓練2:求下列函數的導數.(2)y′=(sin3x+1、求下列函數的導數：課堂練習：2、求曲線y=sin2x在點P(π，0）處的切線方程。1、求下列函數的導數：課堂練習：2、求曲線y=sin2x在點題型二求導法則的綜合應用例3:已知函數f(x)是關于x的二次函數,其導函數為f′(x),且x∈R,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1恒成立,求函數f(x)的解析式.解:設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f′(x)=2ax+b.又x2f′(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=(a-b)x2+(b-2c)x+c=1恒成立,題型二求導法則的綜合應用解:設f(x)=ax2+bx+c變式訓練3:已知函數f(x)是關于x的三次函數,且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0,求f(x)的解析式.解:設f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則f′(x)=3ax2+2bx+c.由f(0)=3,得d=3,由f′(0)=0,得c=0,變式訓練3:已知函數f(x)是關于x的三次函數,且f(0)=小結：⑴復合函數的求導，要注意分析復合函數的結構，引入中間變量，將復合函數分解成為較簡單的函數，然后再用復合函數的求導法則求導；⑵復合函數求導的基本步驟是：

分解——求導——相乘——回代小結：求下列函數的導數:解:(2)解:求下列函數的導數:解:(2)解:

“可導的偶函數的導函數為奇函數;可導的奇函數的導函數為偶函數”.現在利用復合函數的導數加以證明:證:當f(x)為可導的偶函數時,則f(-x)=f(x).兩邊同時對x求導得:得:故為