第三章消費者的選擇1.已知一件襯衫的價格為80元，一份肯德基快餐的價格為20元，在某消費者關于這兩種商品的效用最大化的均衡點上，一份肯德基快餐對襯衫的邊際替代率MRS是多少解答：用X表示肯德基快餐的份數；Y表示襯衫的件數；MRSXY表示在維持效用水平不變的前提下，消費者增加一份肯德基快餐消費時所需要放棄的襯衫的消費數量。在該消費者實現關于這兩種商品的效用最大化時，在均衡點上有邊際替代率等于價格比，則有：AYP 201MRS————x————XYAXP 804它表明，在效用最大化的均衡點上，該消費者關于一份肯德基快餐對襯衫的邊際替代率MRS為。2.假設某消費者的均衡如圖教材中第96頁的圖3—22所示。其中，橫軸。々和縱軸0X2分別表示商品1和商品2的數量，線段AB為消費者的預算線，曲線U為消費者的無差異曲線，E點為效用最大化的均衡點。已知商品1的價格匕=2元。(1)求消費者的收入;⑵求商品2的價格P2；⑶寫出預算線方程;⑷求預算線的斜率;(5)求E點的MRS12的值。解答：(1)橫軸截距表示消費者的收入全部購買商品1的數量為30單位，且已知匕=2元，所以，消費者的收入M=2元x30=60元。⑵圖中縱軸截距表示消費者的收入全部購買商品2的數量為20單位，且由(1)已知收入M=60元，所以，商品2的價格P2=20=60=3(元)。⑶由于預算線方程的一般形式為P1X1+P2X2=M所以本題預算線方程具體寫為：2X1+3X2=60。22⑷將(3)中的預算線方程進一步整理為X2=-3X1+20。很清楚，預算線的斜率為一§。TOC\o"1-5"\h\z AX P⑸在消費者效用最大化的均衡點E上，有MRS、--玄=p,即無差異曲線斜率的\o"CurrentDocument" P P2絕對值即MRS等于預算線斜率的絕對值。因此，MRS12=P=2。P2 P233.請畫出以下各位消費者對兩種商品(咖啡和熱茶)的無差異曲線，同時請對(2)和⑶分別寫出消費者B和消費者C的效用函數。(1)消費者A喜歡喝咖啡，但對喝熱茶無所謂。他總是喜歡有更多杯的咖啡，而從不在意有多少杯熱茶。⑵消費者B喜歡一杯咖啡和一杯熱茶一起喝，他從來不喜歡單獨喝咖啡，或者單獨喝熱茶。⑶消費者C認為，在任何情況下，1杯咖啡和2杯熱茶是無差異的。⑷消費者D喜歡喝熱茶，但不喜歡喝咖啡。解答：（1）根據題意，對消費者A而言，熱茶是中性商品，因此，熱茶的消費數量不會影響消費者A的效用水平。消費者A的無差異曲線見圖（a），箭頭均表示效用水平增加的方向。⑵根據題意，對消費者B而言，咖啡和熱茶是完全互補品，其效用函數是U=min{%、x}。消費者B的無差異曲線見圖（b）。1 2（3）根據題意，對消費者c而言，咖啡和熱茶是完全替代品，其效用函數是U=2%1+%2。消費者C的無差異曲線見圖（c）。（4）根據題意，對消費者D而言，咖啡是厭惡品。消費者D的無差異曲線圖（d）。關于咖啡和熱茶的不同消費者的無差異曲線.對消費者實行補助有兩種方法：一種是發給消費者一定數量的實物補助，另一種是發給消費者一筆現金補助，這筆現金額等于按實物補助折算的貨幣量。試用無差異曲線分析法，說明哪一種補助方法能給消費者帶來更大的效用。解答：一般說來，發給消費者現金補助會使消費者獲得更大的效用。其原因在于:在現金補助的情況下，消費者可以按照自己的偏好來購買商品，以獲得盡可能大的效用。如圖所示。在圖中，直線AB是按實物補助折算的貨幣量等于現金補助情況下的預算線。在現金補助的預算線AB上，消費者根據自己的偏好選擇商品1和商品2的購買量分別為x1和x2，從而實現了最大的效用水平U2,即在圖3—3中表現為預算線AB和無差異曲線U2相切的均衡點E。在實物補助的情況下，則通常不會達到最大的效用水平U2。因為，譬如，當實物補助兩商品數量分別為x11.x21的F點，或者為兩商品數量分別為x12和x22的G點時，則消費者獲得無差異曲線U1所表示的效用水平，顯然，u1<u2o.已知某消費者每年用于商品1和商品2的收入為540元，兩商品的價格分別為P『20元和P=30元，該消費者的效用函數為U=3XX2,該消費者每年購買這兩種商品的數量各應2 12是多少每年從中獲得總效用是多少解答：auMU=——=3X2iax 2au/MU=——=6XXax i22|出二"把已知條件和MU,MU值帶入下面均衡條件《PP1212PX+PX=M11 220X2_6XX得方程組：1~20'=302I20X+30X=54012解方程得，X『9,X2=12,U=3X1X=38886.假設某商品市場上只有A、B兩個消費者，他們的需求函數各自為QA=20—4P和QB=30—5P。(1)列出這兩個消費者的需求表和市場需求表。(2)根據(1),畫出這兩個消費者的需求曲線和市場需求曲線。解答：(1)由消費者A和B的需求函數可編制消費A和B的需求表。至于市場的需求表的編制可以使用兩種方法，一種方法是利用已得到消費者A、B的需求表，將每一價格水平上兩個消費者的需求數量加總來編制市場需求表；另一種方法是先將消費者A和B的需求函數加總來求得市場需求函數，即市場需求函數Qd=QA+Qd=(20—4P)+(30—5P)=50—9P,然后運用所得到的市場需求函數Qd=50—9P來編制市場需求表。按以上方法編制的需求表如下所示。PA的需求量QdA的需求量Qd市場需求量Qd+QB0203050116254121220323815234410145055600(2)由(1)中的3張需求表，所畫出的消費者A和B各自的需求曲線以及市場的需求曲線如圖3—4所示。

在此，需要特別指出的是，市場需求曲線有一個折點，該點發生在價格P=5和需求量Qd=5的坐標點位置。關于市場需求曲線的這一特征，可以從兩個角度來解釋：一個角度是從圖形來理解，市場需求曲線是市場上單個消費者需求曲線的水平加總，即在P<5的范圍，市場需求曲線由兩個消費者需求曲線水平加總得到；而當P>5時，只有消費者B的需求曲線發生作用，所以，P>5時，B的需求曲線就是市場需求曲線。另一個角度是從需求函數看，在P<5的范圍，市場需求函數Qd=Qa+Qb=(20—4P)+(30-5P)=5Q-9P成立；而當P>5時，只有消費者B的需求函數才構成市場需求函數，即Qd=30-5P。市場需求函數是：=0P>6Q=j30-5P 5<P<6L50-9P 0<P<5市場需求曲線為折線，在折點左，只有B消費者的需求量；在折點右邊，是AB兩個消費者的需求量。3 57.3 57.假定某消費者的效用函數為U-X1X2,兩商品的價格分別為PjP2,消費者的收入為M。分別求該消費者關于商品1和商品2的需求函數。解：根據消費者效用最大化的均衡條件:MUiMU2=%其中

2由已知的效用函數3 5U=X8X8可得：解：根據消費者效用最大化的均衡條件:MUiMU2=%其中

2由已知的效用函數3 5U=X8X8可得：MU=dTU3v5 =—X8X8dX8i21MUdTUdX8i

23X于是，整理得：—25XiPj,即有XP225PX——i_i3P2(1)以⑴式代入約束條件PiXJP2X2PX155PX_+P——i~i=Mi23p2解得：X=1M，代入（1）式得XTOC\o"1-5"\h\z18P 2i5M 3 M5M所以，該消費者關于兩商品的需求函數為X=-1 8P18.令某消費者的收入為M，兩商品的價格為、、P2。假定該消費者的無差異曲線是線性的，且斜率為-a。求：該消費者的最優商品組合。解：預算線方程為PX+PX=M，其斜率為-P，2 2 P2由消費者的無差異曲線是線性的，且斜率為-a可知：MRS=MU1=-aMU2該消費者的最優商品組合有以下三種情況，其中第一、二種情況屬于邊角解。P（1）如果a>節，如圖1，這時，效用最大化的均衡點位于橫軸，它表示此時的最優2TOC\o"1-5"\h\z解是一個邊角解，預算線和無差異曲線的交點。最優的商品組合X=0,X=M，全部支2 1P1出都購買橫軸代表的商品。該效用水平在圖中用以實線表示的無差異曲線標出。顯然，該效用水平高于在既定的預算線上的其他任何一個商品組合所能達到的效用水平。， P，E、、 ，J —（2）如果a<,，如圖2,這時，效用最大化的均衡點位于縱軸，它表示此時的最優解2是一個邊角解，預算線和無差異曲線的交點。最優的商品組合X=0,X= ，全部\o"CurrentDocument"1 2P2支出都購買縱軸代表的商品。該效用水平在圖中用以實線表示的無差異曲線標出。顯然，該效用水平高于在既定的預算線上的其他任何一個商品組合所能達到的效用水平。（3）如果a=*，無差異曲線與預算線重疊，效用最大化的均衡點可以是預算線上任2何一點的商品組合。此時所達到的最大效用水平在圖中用以實線表示的無差異曲線標出。

9.假定某消費者的效用函數為U=q0,5+3M,其中，q為某商品的消費量，M為收入。求：（1）該消費者的需求函數；（2）該消費者的反需求函數；1 ，…… …（3）當p=—,q=4時的消費者剩余。解：（解：（1）商品的邊際效用為MU=孚=0.5q-0.5，dq貨幣的邊際效用為「巖二3MU 0.5q-0.5° 1為實現消費者均衡，下“十二3’則，q=套，即消費者的需求函數1（2）根據需求函數q二際1可得反需求函數p=丁=6%:q（3）消費者剩余CS=』4」,06q'qdq--x4=1q2412 3 010.設某消費者的效用函數為柯布一道格拉斯類型的，即U=xayB，商品x和商品y的價格分別為Px和Py，消費者的收入為M，a和p為常數，且a+0=1。（1）求該消費者關于商品x和商品y的需求函數。（2）證明當商品x和商品y的價格以及消費者的收入同時變動一個比例時，消費者對兩商品的需求量維持不變。（3）證明消費者效用函數中的參數a和P分別為商品x和商品y的消費支出占消費者收入的份額。解：（1）由消費者的效用函數U=解：（1）由消費者的效用函數U=xayp，算得:MUxMUy=吆=pxayp-1

aMUy=吆=pxayp-1

ay消費者的預算約束方程為PXx+Py=M[MU Px-——X—根據消費者效用最大化的均衡條件jMUyPy ，代入已知條件，解方程組得：IPx+Py—Mxya=Px/M，P—Py/M，即分別為消費者關于商品x和商品y的需求函數。（2）商品x和商品y的價格以及消費者的收入同時變動一個比例，相當于消費者的預算

線變為九Px十九Py八M，其中九為一非零常數。fMUPx-——X—此時消費者效用最大化的均衡條件為jMUyPy ，由于"0，故該方程組化為IlPx十九Py=九MxyMUP x-——X-MUP，顯然，當商品x和商品y的價格以及消費者的收入同時變動一個比例時，yPx+Py=Mxy消費者對兩商品的需求關系維持不變。(3)由消費者的需求函數可得：a-Px/M，P=Py/M，式中參數a為商品x的消費支出占消費者收入的份額和參數P為商品y的消費支出占消費者收入的份額。11.假定肉腸和面包是完全互補品。人們通常以一根肉腸和一個面包卷為比率做一個熱狗，并且已知一根肉腸的價格等于一個面包卷的價格。(1)求肉腸的需求的價格彈性。(2)求面包卷對肉腸的需求的交叉彈性。(3)如果肉腸的價格是面包卷的價格的兩倍，那么肉腸的需求的價格彈性和面包卷對肉腸的需求的交叉彈性各是多少(1)令肉腸的需求為X,面包卷的需求為Y,相應的價格為Px、PY，且有Px=PY該題目的效用論最大化問題可以寫為：maxU(X,Y)=min(X,Y)解上述方程有：X=Y=PX+PY2PX 2P-1解上述方程有：X=Y=PX+PY2PX 2P-1X由此可得肉腸的需求的價格彈性為:aXP/Mne=- x-=-(-Pdxapx2xX-2?PX-)=1Mp-i2x⑵面包對肉腸的需求交叉彈性為：ey.xydYP ,—Xd.XY_〈MpP——( P-2?、.X—2 x Mp-12x(3)maxU(X,Y)=min(X,Y)M如果Px=2PY,X=Y,解上述萬程有：X=Y=P+P2M 2M= P-1\o"CurrentDocument"3P 3xXYX可得肉腸的需求價格彈性為：edx可得肉腸的需求價格彈性為：edx(2MpP、_1=-( P-2,X)=13x2Mp-13x面包對肉腸的需求交叉彈性為：e,aY面包對肉腸的需求交叉彈性為：e,aYp ?——yxap Y2 2MD P、1=—( P-2?——X——)=13X也尸-13x12.已知某消費者的效用函數為U=X1X2,兩商品的價格分別為匕=4,P2=2,消費者的收入是M=80。現在假定商品1的價格下降為匕=2。求：(1)由商品1的價格P1下降所導致的總效應，使得該消費者對商品1的購買量發生多少變化(2)由商品1的價格P1下降所導致的替代效應，使得該消費者對商品1的購買量發生多少變化(3)由商品1的價格P1下降所導致的收入效應，使得該消費者對商品1的購買量發生多少變化解答：利用圖解答此題。在圖中，當P1=4,P2=2時，消費者的預算線為AB,效用最大化的均衡點為a。當P1=2,P2=2時，消費者的預算線為AB，，效用最大化的均衡點為b。圖3-7|叱二竺TOC\o"1-5"\h\z(1)先考慮均衡點a。根據效用最大化的均衡條件＜P P2PX+PX=M22\七X—2=-1得：〈4 2 解得:X.=20,X=10214X+2X=80最優效用水平為 U1=X1X2=10X20=200再考慮均衡點b。當商品1的價格下降為P1=2時，與上面同理，根據效用最大化fXX2= 1的均衡條件得：＜2 2 解得:X=X1=20212X+2X=80從a點到b點商品1的數量變化為4%=20—10=10,這就是P1變化引起的商品1消費量變化的總效應。⑵為了分析替代效應，作一條平行于預算線AB'且相切于無差異曲線U1的補償預算線FG,切點為c點。在均衡點c,總效用保持不變，同時滿足邊際效用均等法則，X1,X2滿足TOC\o"1-5"\h\zf嗎=" 兇=31Pp 即12 212TU=XX=200 TU=XX=200\o"CurrentDocument"1 1 2 1 2有X1=X2o＞X1=X2代入效用約束等式3=*/2=200,解得X1=X2=1014,從a點到c點的商品1的數量變化為4%=10—104,這就是P1變化引起的商品1消費量變化的替代效應。⑶至此可得，從c點到b點的商品1的數量變化為4%=20—106,這就是P1變化引起的商品1消費量變化的收入效應。.某消費者是一個風險回避者，他面臨是否參與一場賭博的選擇：如果他參與這場賭博，他將以5%的概率獲得10000元，以95%的概率獲得10元；如果他不參與這場賭博，他將擁有元。那么，他會參與這場賭博嗎為什么解答：該風險回避的消費者不會參與這場賭博。因為如果該消費者不參與這場賭博，那么，在無風險條件下，他可擁有一筆確定的貨幣財富量元，其數額剛好等于風險條件下的財富量的期望值10000x5%+10x95%=元。由于他是一個風險回避者，所以在他看來，作為無風險條件下的一筆確定收入元的效用水平，一定大于風險條件下這場賭博所帶來的期望效用。.基數效用論者是如何推導需求曲線的答：基數效用論通過邊際效用遞減規律及消費者效用最大化的均衡條件來推導需求曲線。基數效用論認為，消費者對某種商品愿意支付的需求價格取決于其邊際效用。商品的邊際效用越大，消費者為購買一單位該商品所愿意支付的價格就越高，反之就越低。由于邊際效應遞減規律的作用，隨著消費者對同一件商品消費量的連續增加，該商品的邊際效用是遞減的，相應地，消費者愿意支付的價格也隨之降低，因此，商品價格和其需求量之間呈反方向變動關系，即需求曲線是向右下方傾斜的。根據消費者均衡條件分析。消費者均衡條件為：MU/P=入。它表示消費者最優購買選擇應使最后一元貨幣購買商品所帶來的邊際效用應和一元貨幣的邊際效用相等。該等式表明，隨著同一種商品購買量的增加，由于其邊際效用MU是遞減的，在貨幣的邊際效用人不變的前提下，商品需求價格P同比例于MU的遞減而下降，MU遞減對應Q增加。.用圖說明序數效用論者對消費者均衡條件的分析，以及在此基礎上對需求曲線的推導。解答：要點如下：(1)序數效用論用無差異曲線和預算線分析消費者均衡。無差異曲線是用來表示消費者偏好相同的兩種商品的全部組合點的軌跡，其斜率的絕對值可以用商品的邊際替代率MRS來表示。如圖，若用橫軸表示七，縱軸表示為,MRS=3，預算線表示在消費者收入和1 2 AX1商品價格給定的條件下，消費者全部收入所能購買到的兩種商品的全部組合，其斜率為P――^。P2消費者效用最大化的均衡點發生在一條給定的預算線與無數條無差異曲線中的一條相切的切點上，于是，消費者效用最大化的均衡條件為：均衡點在預算線上，商品數量組合滿足預算線方程、無差異曲線和預算線斜率相等，即：序數效用論消費者均衡條件是：TOC\o"1-5"\h\zAX PMRS=2=―tAX P12PX+PX=M111 22⑵序數效用論使用價格一消費曲線()推導需求曲線，價格一消費曲線是在其他條件不變的前提下，與某一種商品的不同價格水平相聯系的消費者效用最大化的均衡點的軌跡。令一種商品的價格發生變化，預算線發生變化，形成一系列新的消費者消費的均衡點，把這些均衡的鏈接成線，便可以得到該商品的價格一消費曲線。

「射消切出V需求曲葭在得到價格一消費曲線的基礎上，將一種商品的不同價格水平和相應的最優需求量之間的一一對應關系描繪在同一坐標平面上，就可以得到需求曲線。顯然，需求曲線一般斜率為負，向右下方傾斜,表示商品的價格和需求量成反方向變化；而且，在需求曲線上與每一價格水平相對應的需求量都是在該價格水平上給消費者帶來最大效用的最優消費數量。「射消切出V需求曲葭16.分別用圖分析正常物品、低檔物品和吉芬物品的替代效應和收入效應，并進一步說明這三類物品的需求曲線的特征。解答：要點如下：（1）當一種商品的價格發生變化時所引起的該商品需求量的變化可以分解為兩個部分，它們分別是替代效應和收入效應。替代效應是指僅考慮商品相對價格變化所導致的該商品需求量的變化，而不考慮實際收入水平（即效用水平不變）變化對需求量的影響。收入效應則相反，它僅考慮實際收入水平（即效用水平）變化導致的該商品需求量的變化，而不考慮相對價格變化對需求量的影響。無論是分析正常物品還是低檔物品，甚至吉芬物品的替代效應和收入效應，都需要運用的一個重要分析工具即補償預算線。g（正幫構足I短效@替代效&; ’枕人M向（2）正常物品的替代效應和收入效應。圖中，初始的消費者效用最大化的均衡點為。點，相應的正常物品的需求為x虱。價格P1下降以后的效用最大化的均衡點為b點，相應的需求量為x12。即Pg（正幫構足I短效@替代效&; ’枕