2022年全國碩士研究生招生考試

數學（二）預測卷（三）

（科目代碼：302）考生注意事項.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生編號和考生姓名；在答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考生編號信息點。.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應題號的選項上，非選擇題的答案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區域內。超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題冊上答題無效。.填（書）寫部分必須使用黑色字跡簽字筆書寫，字跡工整、筆跡清楚；涂寫部分必須使用2B鉛筆填涂。.考試結束，將答題卡和試題冊按規定交回。（以下信息考生必須認真填寫）考生編號考生姓名一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是最符合題目要求的..對任意的工€(一8,+8),有/(工+1)=尸(工),且/(0)=e,/(0)=eln2?則/(D=A.2eln2.B.eln2. C.2e2ln2. D.e2ln2..若函數/(.r)=Jz工在(一8,十8)內處處連續.則常數〃的取值范圍為A.a<0. B.a>e-1.a?<e1. D.0VaVe1..圓域D={(x,y)|(了一")2+(y—〃)zWk}(6>R>0)繞直線y=-1旋轉一周所形成的旋轉體的體積為A.4k2(6+1)R2. B.2/S+DR2.C.4jr2(6-1)R2. D.2/(6—DR，..設/(工)=(工一2)1(1一工)一配,則在(0,1)內函數fGr)A.單調增加且其圖形是凹的.B.單調增加且其圖形是凸的.C.單調減少且其圖形是凹的.D.單調減少且其圖形是凸的..設函數/(2x+3)=xe，，則/<*>(2x+3)=A.(―l)"(n—x)e-x. B.(- -n)eJ.C.(—I")(n—x)e-x. D.(—當)(x—n)e~x..設函數/(x)在閉區間［a,幻上非零且可導，且/(外與/(h)同號，則當I6(a")時，有A.f(a-)>/(a). B.f(x)>/(〃).C.|/(x)|>|/(a)|. D.|/(x)|>|/(6)|..設函數z=zCr,y)由方程F?專)=0確定，其中F具有一階連續偏導數.若ar案.+的富一2=0,則A.a=1=-1. B.a=—1,。=1.C.a=1,6=1. D.a=-1=-1..設4=::為可逆矩陣，若A有特征值箱,%.則*+*=A.+/+2加. B.a2+d2-2/x.C.17+c2+2ad. D.b2+c2-2ad..設ai=(1,4,3,—l)T,a2=(2,z,-1,-l)T.a(=(-2,3,1"+Dl則A.當，=0時.a?.a,線性相關.B.當t=-3時,a1，處,a,線性相關.C.只有當，#0且，W—3時,aaa才線性無關.D.對任意的實數/.a.4.小均線性無關..實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A.二次型x'Ar的負慣性指數為零.B,存在可逆矩陣P,使得PA/>=E.C.存在n階矩陣P,使得A=PP.A的逆矩陣與單位矩陣合同.二、填空題：11?16小題，每小題5分，共30分..要使函數八力=一弋石淅工在閉區間[一],口上連續.則應補充定義/(0)=..已知函數3=/(x)具有二階導數,且物叢產^=2,則需=..設函數y=小=ez=e"—e，+1-是某二階常系數非齊次線性微分方程的三個特解，則該微分方程滿足初始條件y(0)=3.y'(0)=4的特解為..1x(sin6x+cos6x)dr=.15,設D={(1，、)|X2+2y2(?,則lim:4drdy=.1a—1(AB)T'.設A.B都是3階可逆矩陣.若|A|=2,I川=32,C=°人,則l(2C)[-三、解答題：17?22小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟..(本題滿分10分)設丁1>0，工1rH=arctan,求lim(三 -)..（本題滿分10分）求二元函數f（x,y）=x3+>3— -3>的極值.19.（本題滿分11分）設常數a>O，L=爐齊出，比較A與h的大小?20.（本題滿分12分）計算二重積劃（才+皿&曲,其中I）21.（本題滿分15分）設函數/（上）在［0,1］上連續，且單調減少,證明：（1）對任意的7e（o.1）.有「/（，）出＞工廠/（1）”；J0 J0（2）對任意的rG（0,11,有「（工一/）/（/）&＞〈Jo ZJo（3）fz/（Z）drV《f/（j'）da-.Jo ZJo22.(本題滿分12分)設向量a=(1.1.1).^=(1.2,3)'.A=afi'-Hpa.(1)證明矩陣A與B相似；(2)求一個可逆矩陣P,使PAP=B.參考答案與分析卷（三）一、選擇題L【答案】【分析】C由已知條件不難得到=ej且/(外在上=0處連續,所以/(I)=lim 一/⑴=lim.小)TAz a一口 Ar—lim上~- ■[/(D+e]^r-*0 Zxr=limZ(4rl-/(0).E/(Ar)+e]Ar*OAl*=2e/，(0)=2ezIn2.應選C..【答案】B【分析】令g(x)=xe'—a,則函數/(z)=歡」二口在(一8,十8)內處處連續等價于函數g(x)在(-8.+8)內沒有零點./(工)=e-x(1—x).令/(/)=0,得.r=L因為當zV1時,&(%)單調增加?當工>1時如①)單調減少，所以maxg(j-)=g(l)=e-1—a.故當maxg(x)=e~l—aV。時?即當。>多時.函數g(“)沒有零點.此時，函數/(x)在(一8,十8)內處處連續.應選B..【答案】B【分析】V=K[，S+1+/咫一(工一"]2一[6+1一/彥一(7一0)2了｝山=4n(6+1)JrJR”—(a:—a-dx=4芯(6+1)?-ynR2=2/S+DR2應選R【注】這里定積分J.,JR?-Cr-a)'<k的計算運用了定積分的幾何意義..【答案】A【分析】 /Cr)=ln(l——+產一/(工)=八彳、？,I-jt (1—xr由于當0VhV1時,/Cr)>0,因此函數/(J-)的圖形在(0,1)內是凹的,且函數/(工)在[0.1)上單調增加,從而當0c工<1H-t./(j-)>/(0)=0.于是.函數人外在(0,1)內單調增加.應選A..【答案】D【分析】因為[f(2_r+3)]<*=2'/(">(2x+3),(xe^)("1=WaH'"(er)<i>=](一1尸/‘=(-1尸(工一”)/，.A=O所以/",(2j+3)=(--1-)*(x-n)e-\應選D..【答案】C【分析】因為函數/(外在閉區間[a.瓦)上可導.且，(工)與人力同號,所以在[a,句上，[/(工)]'=2/(j)/(工)>0.從而函數產(])在上單謝增加.于是?當x€(a，6)時，有/(/)>/(a).即I/(J)I>1/(?)|.應選C.

.【答案】C【分析】令G(h,"z)=則U=-/E,G；=勺1一$刊,比=乎匕于是,匹=_4=__干.=匹=_今=_."二二2=:上凡+產?a，gT±f/7凡'力比±F；赤?y2 y2由于org+??—z=0,而Ar,dy<?z.,（）z y2K?.—它耳+zzFZ （a-6）它兄+（b-DzzF；dx（）y jrFi xyr2 j-F2因此a=6=1.應選C..【答案】A【分析】由特征值的性質知A+入2=tr(A)=。+乩入也=\A\=ad-be.于是.A?+Az=(Ai+22產-2AiAz=(a+d￥—2(ad—〃c)=a[+J2+2bc.應選A..【答案】D【分析】對矩陣(a.&，/)作初等行變換：由于對任意的實數i，i與，+3不可能同時為零.故廠(Qi.5.a,)=3.從而向量組a.a.柒線性無關.應選D..【答案】I)【分析】因為A正定QA1正定CA」與E合同，所以實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的逆矩陣與單位矩陣合同.應選D.二、填空題.【答案】【分析】【分析】故要使函數八/)=照號」在閉區間[-5上連續,則應補充定義八。)=1..【答案】【分析】因為函數y=/("具有二階導數.且1淅小==2.所以r^OX

f(0)=lim，(jr)= —2H+2=0+2=2,l。 j-*0從而f(0)=lim位二a=lim—從而f(0)=limh-0loz dyf(x)d2.r/'(7)drf(n)d爐 匚[(工)于dyr/(x)]3㈣一_dy2lx=o-E/(0)J3-13.【答案】【分析】y=2e"+e-x13.【答案】【分析】+工爐+工€<,則由線性微分方程解的記V(1)=e2r+靖，了2(工)=e+工爐+工€<,則由線性微分方程解的性質知,M(x)—>a(x)=e］，與2M(工)一［於(力+?(Z力=/都是與原微分方程相應的齊次方程的解,且“(力一》行)+北(］)是原微分方程的一個特解,故原方程的通解為y=G/+Cte-4r+ ,上式對z求導，得y=2Cie"—G。一’+(1+1*.將初始條件3(0)=3,y(0)=4代入上面兩式，得G=2,C2=1.于是?所求特解為y=2e2r+e-J14.【答案】【分析】令/=1■一九則J"x(sin6j-Fcos6^)^=[(寵—/)(cos6Z4-sin6/)d/=春[(cos"f+sin〃)df—[/(cos6/+sin6/)d/ZJo Jo=北("1"乂"4"X、Xg)—[x(cos6.r+sin“工)dr'6 4ZlfJo=扇—-Jx<cos6j-4-sin6j'JcLr*故]"N(sir?z+cos%)"=2/.【答案】7【分析】由二裁積分中值定理知?存在(￡.6D,即F+2爐42,使得TOC\o"1-5"\h\zIId(Lrdy=￥"沖?冗?〃? 2膏.口 /2工于是,lim—|Pe,Z4-2,2drd^=lim- =lim2戶謂=卑兀一+,閘 / (&巾-3.0)北 L.【答案】1【分析】由于|C|=「(：「卜1。舊|=品可=擊=另因此I(20,|=|2d5=(26|c|)5=2311|C|;=2MX(-)=1.

三、解答題.【解】已知4>0,對任意iE整數K若A>0,則=arctan4>0,從而由tH納法原理知，對任意正整數”.均有x.>0,因此數列〈了”}有下界.令/（力=H-arctanhG>0）.則/（工）=：>0（工>0）,故/'（外在［0,+8）上單調增加，從而當工>0時?/（1）>/（0）=0,即上>arctan7.于是,zm=arctan〈工》,.因此,數列（/}唯調減少.由單調有界準則知存在.設limz”=。，令8,對等式11rH=arclan/J兩邊取極限，得a=arctana.由函數/（x）=］一ir-?ooarctanx的單調性知，方程a=arctana有唯一實根a=0.從而,limz”=0.于是則?一土則?一土）=!螞受三..(arctan )2一后令工”=lim-yr ~Sx*(arctanxn)..(arctanfy一產二?/2(arctant)2=limCretan?=limCretan?…+ I4re^'dr一lim吟步二!?limf-M>*I o+' 1lim與「?lim(短臀+1)r-*o+ & -+=2,勺忘%=一,.【解】 —(jr,y)=3/一3,/^(z.y)=3,一3,/：(/，3)=61,八(1，W=0，乙(/~)=6y/(?r,y)=0, (x2—1=0,由, ‘即 解得/的駐點(1,1),(一1,一1),(1,一1),(一1.1).145丁)=0， -1=0,對于駐點（1,1）,A=6,B=0.C=6,由于&'一曰=36>0,且A>0,故f（l,D=-4是極小值.對于駐點（一1.-1）力=-6,3=0.。=-6,由于40—8!=36>0,且4<0,故/（-1,-1）=4是極大值.對于駐點=6.3=09=—6.由于4—82=-36V0,故/（I,一D不是極值.對于駐點（一LD，A=-6,3=0,C=6,由于AC-lf=-36V0,故/（一1,1）不是極值..【解】因為a>0,且當OVzV1?時,0VzV}-x*sin cosz,從而UV(1■-z),e**nj<Ce0°*所以Il卜_（手一工）"］（曹’即h>h.20.【解】積分區域D如圖中陰影部分所示,記D在v軸右側的部分為Di即h>h.20.【解】積分區域D如圖中陰影部分所示,記D在v軸右側的部分為Di?則由對稱性，有JJ(i+y)cLrd.y=21[I)ydjdy=1J；［8csd夕一看臉歷1m十(sin0+cos8)—^-(cos0-sin6)(sin0+cos0)3 曲 -d^+4-§評（。十農）d《sin夕+cos6)(sin6+cos夕A史+_1co&+工)產_J___1 3 6 ' 4'|’ 6(sin8+cos6)"|,16 1 1 613 6 12-12,2】,【證］⑴令奴工）=十。⑴位.則由于函數/S在［0,1］上連續.故函數儀外在（0,11上可導.且由積分中值定理知.存在￡€（0.1），使得，（、_八工）工一］/（，）山 f⑺工一八加 ”工）一“￡）r r JC￡ X由于函數/（工）在［0.1］上單調減少.故/（.r）V0（0V_r&D,從而飆，）在（0,口上單調減少.于是,對任意的工610,1）.總有奴工）＞中（1）.即［］/（，）&＞，/（，）&.也即令奴工）=J；（工一，）/（/）出一.「/Cr）dr,則歐'（工）=Jf（，）d，一1j/（r）dr{04N41）.由（1）知.對任意的上6（0」）,3'（外＞0,故次外在［0,1］