關于可測函數的收斂性第一頁，共十七頁，2022年，8月28日⒈函數列的幾種收斂定義⑵一致收斂:注：近似地說一致收斂是函數列收斂慢的程度能有個控制近似地說一致連續是函數圖象陡的程度能有個控制fn(x)=xn⑴點點收斂:記作第二頁，共十七頁，2022年，8月28日1-δ例：函數列fn(x)=xn,n=1,2,…在(0,1)上處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂，但去掉一小測度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收斂fn(x)=xn第三頁，共十七頁，2022年，8月28日⑶幾乎處處收斂:記作(almosteverywhere）即：去掉某個零測度集，在留下的集合上處處收斂即：去掉某個小（任意小）測度集，在留下的集合上一致收斂⑷幾乎一致收斂:記作(almostuniformly)第四頁，共十七頁，2022年，8月28日⑸依測度收斂:記作注：從定義可看出，幾乎處處收斂強調的是在點上函數值的收斂（除一零測度集外）依測度收斂并不指出函數列在哪個點上的收斂，其要點在于誤差超過σ的點所成的集的測度應隨n趨于無窮而趨于零，而不論點集的位置狀態如何第五頁，共十七頁，2022年，8月28日不依測度收斂依測度收斂第六頁，共十七頁，2022年，8月28日⒉幾種收斂的區別

說明：當n越大，取1的點越多，故{fn(x)}在R+上處處收斂于1（1）處處收斂但不依測度收斂n在R+上處處收斂于f(x)=1,所以{fn(x)}在R+上不依測度收斂于1，另外{fn}不幾乎一致收斂于1第七頁，共十七頁，2022年，8月28日fn不幾乎一致收斂于f幾乎一致收斂:記作(almostuniformly)即：去掉某個小（任意小）測度集，在留下的集合上一致收斂即：去掉測度集，在留下的集合上仍不一致收斂任意（）適當小小第八頁，共十七頁，2022年，8月28日fn不幾乎一致收斂于f即：去掉任意小（適當小）測度集，在留下的集合上仍不一致收斂不幾乎一致收斂于f(x)=1n第九頁，共十七頁，2022年，8月28日（2）依測度收斂但處處不收斂01f1f601/4?3/4101/4?3/4101/4?3/4101/4?3/41f7f5f40?1f30?1f201/81/4?1f8第十頁，共十七頁，2022年，8月28日依測度收斂但處處不收斂⑵取E=(0,1],n=2k+i,0≤i<2k,k=0,1,2,3,…說明：對任何x∈(0,1],{fn(x)}有兩個子列，一個恒為1，一個恒為0，所以{fn(x)}在(0,1]上處處不收斂；第十一頁，共十七頁，2022年，8月28日例：函數列fn(x)=xn在(0,1)上處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂，但去掉一小測度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收斂收斂的聯系（葉果洛夫定理的引入）1-δfn(x)=xn第十二頁，共十七頁，2022年，8月28日⒊三種收斂的聯系即：去掉某個小（任意小）測度集，在留下的集合上一致收斂⑴幾乎處處收斂與幾乎一致收斂（葉果洛夫定理）設mE<+∞，fn

，f在E上幾乎處處有限且可測，（即：可測函數列的收斂“基本上”是一致收斂）即：去掉某個零測度集，在留下的集合上處處收斂第十三頁，共十七頁，2022年，8月28日第十四頁，共十七頁，2022年，8月28日引理：設mE<+∞，fn

，f在E上幾乎處處有限且可測，證明：由于為零測度集，故不妨令fn

，f在E上處處有限，從而有：關于N單調減小第十五頁，共十七頁，2022年，8月28日幾乎處處收斂與依測度收斂