202L2022學年江蘇省南京第五高級中學高二（上）月考數學試卷（10月份）.若復數z滿足z-i=3-2i,其中，為虛數單位，則z的共規復數的虛部為（）A.3 B.-3 C.3i D.-3i.在平面直角坐標系中，經過點P（2夜，-夜），漸近線方程為y= 的雙曲線的標準方程為（）v2r2D.匕一二=114 7.已知sin。+cos。=當，則cos（26+3的值為（）.已知點4（2,-3）,8（-3,-2）,若直線/：y= -1）+1與線段AB相交，則直線/的斜率的范圍是（）A.k>:或k<-4 B.-4<k<74 4C.k<-- D.--<fc<45 4.已知"?，〃是兩條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，給出下列命題：①若m_La,n//a,則m1n；②若m〃n,nua,則m〃a；③若m〃a,n//p,a〃0,則m〃n；④若zn_L0,mlla,則a_L夕.其中所有正確命題的序號是（）A.①② B.?? C,?? D.①④.若三棱錐P-ABC的四個面都為直角三角形，且PAJ■平面ABC,P4=AB=1,AC=2,則其外接球的表面積為（）A.67r B. C.4rt D.37r.已知直線/：x+2=0與x軸交于點P,過點P作拋物線C：y2=4x的切線，切點為A,點A到直線/的距離為d,尸為C的焦點，則蜉=（）A.- B.- C.- D.-5 3 4 5.古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個命題：平面內與兩定點的距離的比為常數k（k>0且kw1）的點的軌跡為圓.后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知0（0,0）,4（3,0）,圓C：（x-2/+y2=〃（r>0）上有且只有一個點P滿足|PA|=2|P。1則r的取值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4.在△ABC中，根據下列條件解三角形，其中有一解的是（）A.b=7,c=3,C=30° B.b=5,c=4,B=45"C.a=6,b=3V3,B=60° D.a=20,b=30,A=30°.已知橢圓^■+A=l(m>0)的離心率e=半，則機的值為()A.3 B.- C.V5 D.—3 3.下面是關于復數z=W(i為虛數單位)的四個命題：①|z|=2；②z?=2i：③z的共規復數為1+i：④若%—z|=l,則|z()|的最大值為迎+1.其中正確的命題有()A.① B.② C.③ D.@.已知曲線C：9+3=1,Fi，尸2分別為曲線C的左、右焦點，則下列說法正確的是()A.若m=-3,則曲線C的兩條漸近線所成的銳角為gB.若曲線C的離心率e=2,則巾=一27C.若m=3,則曲線C上不存在點P,使得N&PF2=]D.若m=3,P為C上一個動點，則△P&F2面積的最大值為3夜.若圓錐的底面積為9萬，體積為12乃，則該圓錐的側面積為..已知平面向量窗3滿足Zi=2.|1|=1.||一29|=2.則|五|=..已知橢圓捻+，=l(a>b>0)的焦距為6,短軸為長軸的？，直線/與橢圓交于A,B兩點,弦AB的中點為M(2,l),則直線/的方程為..直線/：y=kx+3(k>0)與圓O：/+y2=4相交于A,B,若S4aob=則k=..如圖，在直三棱柱ABC-&BiCi中，A/與相交于點M,N為B1cl的中息.(1)求證：MN〃平面A41GC：(2)若4cl.BC,AC=44],求證：MN平面&BC.8.在①B=f,②AABC周長為5+2百，③c=2,這三個條件中任選一個，補充到4下面的問題中，并加以解答.已知ZMBC中，a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,a=273,,求4ABC的面積S..某海域有A、B兩個島嶼，8島在4島正東4海里處.經多年觀察研究發現，某種魚群澗游的路線是曲線C,曾有漁船在距A島、8島距離和為8海里處發現過魚群.以4、8所在直線為x軸，A8的垂直平分線為)'軸建立平面直角坐標系.(1)求曲線C的標準方程：(2)某日，研究人員在A、8兩島同時用聲納探測儀發出不同頻率的探測信號(傳播速度相同)，A、B兩島收到魚群在P處反射信號的時間比為5：3,問你能否確定P處的位置(即點尸的坐標)？.已知圓O：x2+y2=4.(1)過點P(l,2)向圓。引切線，求切線/的方程；(2)過點M(l,0)任作一條直線交圓。于A、B兩點，問在x軸上是否存在點N,使得乙4NM=NBNM?若存在，求出N的坐標，若不存在，請說明理由..中心在原點的雙曲線C的右焦點為尸(巧,0),漸近線方程為y=±夜x.(回)求雙曲線C的方程；(團)直線/：y=依-1與雙曲線C交于P,。兩點，試探究，是否存在以線段PQ為直徑的圓過原點.若存在，求出左的值，若不存在，請說明理由..已知橢圓C：2+'=l(a>b>0)的離心率e=T，為橢圓上一點.(1)求橢圓C的方程；(2)己知產為橢圓C的右焦點，過點尸的直線/交橢圓(異于橢圓頂點)于A、8兩點，試判斷三+六是否為定值？若是，求出該定值：若不是，說明理由?答案和解析.【答案】A【解析】解：???復數z滿足z-i=3—2i,其中i為虛數單位，3-2i (3-2i)i 3i-2i2 ?o.---z=—=-^=-=-2-31'z=-2+3i,???z的共加復數的虛部為3.故選：A.求出2=±3=空咨=一2-3八從而W=—2+3i,由此能求出z的共施復數的虛部.I I2本題考查復數的代數形式的乘除運算法則、共規復數的概念等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題..【答案】B【解析】解:根據題意，雙曲線的漸近線方程為y=土近x,設雙曲線方程為：?-9=a,雙曲線經過點P(2a,-0)，則有8-1=a,解可得a=7,則此時雙曲線的方程為：—春=1,故選：B.設出雙曲線的方程，經過點P(2夜，-&)，求出。的值，即可得雙曲線的方程.本題考查雙曲線的幾何性質，涉及雙曲線的標準方程的求法，注意雙曲線離心率公式的應用..【答案】A【解析】解：sin。+cosd=乎，???兩邊平方得:1+sin20=7???sin20=--957r 7:.cos(20+—)=-sin20=故選：A.利用誘導公式可知，cos(20+y)=-sin20,再由sin。4-cosd=?求得sin2。即可.本題考查誘導公式與二倍角的正弦，求得sin28的值是關鍵，屬于中檔題..【答案】A

【解析】解：由題意可知點與直線的位置關系如圖:直線/：y=k(x-l)+l恒過P(l,l)點，直線/：y=k(x-1)+1與線段AB相交，則直線/的斜率的范圍是kNkps或k-kpA，kpB=7_7=t?k$kpA=i+oq1+3 ，—=-4.1-2直線/的斜率的范圍是：上2：或44一4.故選：A.畫出圖象，判斷直線恒過的定點，判斷直線的斜率的范圍得到結果即可.本題考查直線系方程的應用，直線的斜率，考查數形結合以及計算能力..【答案】D【解析】解：由機，〃是兩條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，知：對于①，若mla,n//a,則由線面垂直的性質和線面平行的性質得rn_Ln,故①正確；對于②，若?n〃n,nua,則m〃a或mua,故②錯誤；對于③，若小〃訪n//p,a〃夕，則小與〃相交、平行或異面，故③錯誤；對于④，若巾1夕，m//a,則由面面垂直的性質定理得a1/?,故④正確.故選：D.對于①，由線面垂直的性質和線面平行的性質得m?1"n；對于②，m〃a或mua；對于③，，"與"相交、平行或異面；對于④，由面面垂直的性質定理得aJ.￡.本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，是中檔題..【答案】B【解析】【分析】構造如圖所示的長方體，設其外接球的半徑為R.可得2R=PC=VP42+4司2,利用球的表面積計算公式即可得出.本題考查了長方體的性質、三棱錐的外接球，考查了空間想象能力與計算能力，屬于基礎題.【解答】解：構造如圖所示的長方體，設其外接球的半徑為R.則2R=PC-\lPA2+AC2—Vlz+22=V5.其外接球的表面積=4nR2=57r.故選:B..【答案】C【解析】解：根據題意，作出如下的圖形,由題可知P(-2,0),設切點4(而/0)，切線方程為y=k(x+2),又y2=4x,則y2-2y+8=0,有唯一根y(),由韋達定理知，y(),yo=8即韜=8,而九=4xo，所以X。=2,\AF\2+13

"~d~=2+2=4'故選：C.由題可知P(-2,0),設切點A(Xo，yo)，切線方程為y=fc(x+2),與拋物線方程聯立得y2一》+8=0,由韋達定理知，yl=8=4%0,解得&=2,然后結合拋物線的定義即可得解.本題考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題..【答案】A【解析】解：設P(x,y),由|P4|=2|P0|,得(x-3>+y2=4/+4y2,整理得(x+ +y2=%又點P是圓C：(X-27+y2=r2(r>0)上有且僅有的一點，所以兩圓相切，圓(x+I)2+y2=4的圓心坐標為(—1,0),半徑為2,圓C：(》一2)2+丫2=廠2(「>0)的圓心坐標為(2,0),半徑為r,兩圓的圓心距為3,當兩圓外切時，r+2=3,得r=l,當兩圓內切時，|r-2|=3,得r=5.故選：A.設出動點P的坐標，利用已知條件列出方程，化簡可得點P的軌跡方程，由點P是圓C：。一2)2+丫2=「23>0)上有且僅有的一點，可得兩圓相切，進而可求得r的值.本題考查阿波羅尼奧斯圓，這是有著深厚數學背景的問題，也是高考以及模擬考經常命題的素材，本題把圓的位置融入其中，考查學生的數形結合思想和邏輯推理能力，屬于中檔偏難題..【答案】BC【解析】解：對于A,???/?=7,c=3,C=30°,??由正弦定理可得：sinB=—=^=^>1,無解；C3 6對于&b=5,c=4,8=45。，??由正弦定理可得sinC=三普==平V1,且cvb,有一解；b5 5對于C,Va=6,b=3V3,B=60°,??由正弦定理可得：sin4=竺普=>"=1,A=90°,此時C=30°,有一解;b3V3對于O,va=20,b=30,A=30°,??由正弦定理可得：sinB=竺吆=色合=4V1,且b>Q,a20 4有兩個可能值，本選項符合題意.故選：BC.利用正弦定理，結合三角形個數的判斷，判斷選項的正誤.本題考查三角形的解法，正弦定理的應用，是基本知識的考查..【答案】AB【解析】解：當橢圓的焦點在x軸上時：a2=5,b2=m,則e2=Q/=la2 5 5解得m=3.當橢圓的焦點在y軸上時：a2=m,b2=5,則e?=1-，=1-*=：,解得巾=g.故選：AB.分焦點在x、y軸上討論，分別求出m的值.本題考查了橢圓的方程、離心率，考查了分類討論思想，屬于基礎題.【答案】BD【解析】解：①|z|=|七|= =魚H2；所以①不正確；②z?=尸三4=三=2i；所以②正確；(-1+1)2 -21③復數Z= ==-1-I.-l+l(-l+l)(-l-l)Z的共軌復數為-l+i；所以③不正確；④若|z()-z|=l,BP|z0-(l+i)|=1,表示復平面內的點與(1,1)距離為1的點的軌跡，則|z()|的最大值為我+1.正確：正確命題為：②?.故選：BD.求出復數的模，結合復數的乘法，共挽復數，以及復數模的幾何意義，判斷選項的正誤即可.

本題考查命題的真假，復數的基本運算以及復數的幾何意義，是基本知識的考查..【答案】ABD【解析】【分析】本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質，考查運算求解能力，屬于中檔題.當租=-3時，求出雙曲線的漸近線的傾斜角判斷4；由雙曲線的離心率為2,求解機值判斷以當m=3時，求出橢圓的焦點坐標，設尸的坐標，利用數量積可以等于0判斷C；直接求出焦點三角形面積的最大值判斷D【解答】解：對于A,當m=-3時，雙曲線方程為9一?=1,所以a=3,b=V3,所以雙曲線的漸近線方程為y=土生，漸近線y=fx的傾斜角為g則曲線C的兩條漸近線所成的銳角為或故4正確；對于8,若曲線C的離心率e=2>1,可知曲線一定是雙曲線，貝暇=2,m<0,Q此時a2=9,b2=—m,則"Jl+,=Jl=2,解得m=—27.故B正確；對于C,當m=3時，曲線方程為?+?=l,表示焦點在x軸上的橢圓，此時。2=9,b2=3,c=Va2-b2=V6,則尸式一歷,。)，F2(V6,0),設P(x,y),則9+?=1,PF；-PF；=(―V6—x,—y)-(V6—x,—y)=x2+y2-6=x24-3--——6=-x2—3,3 3???-3<x<3,.-.|x2-3G[-3,3],且當x=±苧時，而?而=0,滿足N&PF2=p故C錯誤：對于D,當m=3時，曲線方程為9+?=1,表示焦點在x軸上的橢圓，此時小=%h2=3,c=y/a2—b2=V6,則&(一歷,0),F2(V6,0),△PF/2面積的最大值為12c-b=be=3\/2,故。正確.故選：ABD..【答案】157r【解析】解：圓錐底面積為9江，…(1分)，?,.圓錐底面r=3,設圓錐高為由體積V=1?9〃?九，…(5分)由^=127r得九=4； ???（8分）???母線長2=V32+42=5,…（9分）設底面周長為c,則該圓錐的側面積…（12分）所以該圓錐的側面積=157r…（14分）.故答案為：157r.通過圓錐的體積公式直接求出圓錐的高，再通過圓錐的母線，圓錐的高求出圓錐的底面半徑，求出底面周長，求出側面積即可.本題是基礎題，考查圓錐的底面半徑圓錐的高與圓錐的側面積的求法，體積的應用，考查計算能力..【答案】2V2【解析】【分析】通過向量的模以及向量的數量積轉化求解即可.本題考查向量的數量積的應用，向量的模的求法，考查計算能力.【解答】解:平面向量五,另滿足口不=2.|石|=1.團一2至|=2.可得五2—4「?b+4b=4,化簡得：a2=8,所以畫=2誼.故答案為：2vz.【答案】7x+8y-22=0【解析】解：由已知可得橢圓1+［=1的半焦距c=3,又短軸為長軸的巨，az 4故2b=fx2a,故Q=4,b=V7,故橢圓方程為三+—=1,4 16 7設弦的兩端點為4（%1，%）,8（刀2，力），（五+或=1則有7 ,兩式相減得（4-"）（如+n）+（yL*）（yi+yz）=0,整理得皿=一乙,|應+或=1 16 7 力一38116 7一所以弦所在的直線的斜率為一］其方程為y-1=-］（x-2）,O O整理得7x+8y-22=0.故答案為：7x+8y-22=0.先求出橢圓方程，再利用點差法可求直線方程.本題考查了橢圓的性質，屬于中檔題.【解析】解：因為圓O：/+y2=4的圓心為0(0,0),半徑為2,所以△40B的面積為S-0b=1x22xsin乙108=6，解得sin乙40B=y；因為乙4OB€(0,兀)，所以乙4OB=；或爭當乙108=孕寸，圓心到直線的距離d=B，即及鼻=俗解得4=夜(4>0)；當乙10B=爭寸，圓心到直線的距離d=1,即赤/=1.解得k=2V2(k>0)；綜上知，%的值為e或2企.故答案為：魚或2VI由A4。8的面積求出乙4。8的值，再利用圓心到宜線的距離求出A的值.本題考查了直線與圓的方程應用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題.17.【答案】證明：(1)連接AC1，為AB1與的交點，4w -j-C/M是AB】的中點，又N是々Ci的中點，MN//ACX,而AC】u平面A&CiC,MNC平面A&GC, \???MN〃平面44CiC； [X'l''、(2)vAC=A4,???四邊形44C1C為正方形,貝何的J_4C,A ----y~)c又???三棱柱ABC-&BiG是直三棱柱，CCi1平面ABC,又BCu平面ABC,得CCi1BC,AC1BC,CC^AC=C,CCi，ACu平面AACC,BC_L平面AA￡C,又4Gu平面441GC,則BC1AG，-MN//ACX,.-.MNIBC,MN14C,又BCn&C=C,BC,AXCu平面&BC.MN1平面&BC.【解析】(1)連接4G，則M是AB1的中點，又N是/Ci的中點，得MN〃AG，從而得到MN〃平面44C1C；(2)由題意可得四邊形44GC為正方形，則再由已知可得CGJ■平面ABC,得CG1BC,結合AC1BC,得BC平面A41GC,貝ijBC1ACr,進一步得到MN1BC,MN1AXC,從而可得MN1平面&BC.本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，考查推理論證能力，是中檔題.18.【答案】解：因為2asinA=(2b-c)sinB+(2c—b)sinC,由正弦定理可得b?+c?-a2=be,由余弦定理可得cost!="珍;。=I，故A=p若選①：由正弦定理；；=-々，可得b=竺蜉=%舁=2&，sin/lsinB sin4iz2將q=2a/3,b=2企,代入垓4-c2—a2=be,得c?—2y[2c—4=0,解得c=V6+V2,則S=：bcsinA=3+g：若選②：因為周長為5+2百且a=2H，可得b+c=5,由產+c?-a?=尻，得(b+c)2—a2=3bc,所以bc=g,則S=gbesinA=—/；若選③：因為c=2,a=2v5,代入/j2+c2—a2=be,得b=4,則S=[besinA=2V3.【解析】利用正弦定理整理條件可得爐+c2—a2=bc；若選①：利用正弦定理可求得b,將a,b代入〃+c2-a2=be即可解出c,進而求得面積；若選②：利用周長得到b+c=5,將〃+c2-a2=bc轉化為(b+c)2-a2=3兒，代入即可求得be,進而求出面積：若選③：將a，c代入/^+c2-a2=be,解出％,進而可求得面積.本題考查解三角形，主要涉及正弦定理的應用，考查三角形面積公式，屬于中檔題.19.【答案】解：(1)由題意知曲線C是以A、8為焦點且長軸長為8的橢圓，設橢圓方程為[+1=1,焦距為c.a2b2依題意有2c=4,2a=8,則c=2,a=4,故b=7a2—c2=2V5,所以曲線C的方程是2+《=1.(2)由于A、8兩島收到魚群發射信號的時間比為5：3,因此設此時魚群距A、8兩島的距離比為5：3,即魚群分別距4、8兩島的距離為5海里和3海里.設P(x,y),8(2,0),由|PB|=3,((X—2)2+y2=9??>J(x-2)2+y2=3,l]蘭+^=i,1—4<x<4**x=2,y=±3.??點P的坐標為(2,3)或(2,-3).【解析】本題考查橢圓問題在生產實際中的具體應用，涉及到橢圓方程的求法，橢圓的簡單性質，屬于中檔題.(1)根據橢圓的定義，由題意知曲線C是以4、8為焦點且長軸長為8的橢圓，又2c=4,從而得出a,6的值即可得到曲線C的方程：(2)由于4、B兩島收到魚群發射信號的時間比為5：3,因此設此時魚群距4、8兩島的距離比為5：3,即魚群分別距4、B兩島的距離為5海里和3海里.再設P(x,y),B(2,0),由|PB|=3,及橢圓的方程列出方程組即可解出點P的坐標.20.【答案】解：(1)易知/斜率存在，故設切線/的方程為y=k(x—1)+2,/與圓O相切，.?.4=%第=2,Vi+fc2解得k=0或1=一2.?」的方程為y=2或y=—gx+?；(2)假設存在N(a,0),①當直線A8與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k(x-l),力值,yj,B(x2,y2)代入/4-y2=4,得(1+k2)x2-2k2x4-k2-4=0,2k2 k2-4Xi+Xj~TT,XiXo= 2-7>1 /l+H1/l+k2...力+-2=k[(XLl)(&-。)+(乃-1)(必一。)],Xj-ax2-a (x1-a)(x2-a)而(占—1)(%2—a)+(無2-l)(xi-a)=2x1x2—(a+l)(x2+xj+2aqH-4 .2k2.n2a-8=2—77-(Q+1)—―+2q=——,1+k2 ' 71+fc2 1+k2???Z.ANM=乙BNM,...*_+*_=(),即等=0,Xi-ax2-a 1+〃/解得a=4,②當直線AB與x軸垂直時，也成立,故存在點N(4,0),使得乙4NM=/BNM.【解析】本題考查了圓的切線方程，點到直線的距離公式以及直線與圓的位置關系.(1)根據點到直線的距離公式，列出方程，即可求解:(2)分直線AB與x軸不垂直和垂直兩種情況討論，即可求解.21.【答案】解：(回)設雙曲線的方程為捺一3=1,(a>0,b>0),則有c=①，-=V2,c2=a2+b2,2a得a= 6=1,所以雙曲線方程為2--y2=1\~2^y21i得(2-1)/+2kx-2=0,依題意有2-k2*0依題意有,A=(2k)2-4(2-k2)x(-2)>0