關于半導體器件模擬第一頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬器件模擬有兩種方法：一種是器件等效電路模擬法；另一種是器件物理模擬法。

(1)器件等效電路模擬法是依據半導體器件的輸入、輸出特性建立模型分析它們在電路中的作用，而不關心器件內部的微觀機理，在電路模擬中常用這種方法。

(2)器件物理模擬法則從器件內部載流子的狀態及運動出發，依據器件的幾何結構及雜質分布，建立嚴格的物理模型及數學模型，運算得到器件的性能參數，這種方法能深刻理解器件內部的工作原理、能定量分析器件性能參數與設計參數之間的關系.

第二頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬器件物理模擬技術是70年代以后發展起來的，多年來相繼出現了多種具體方法，主要有三種：①有限差分法②有限元法③MonteCarlo法前二種是離散數值模擬法，是目前模擬常規半導體器件的主要方法，其中有限差分法是最早發展起來的，方法比較簡單，容易掌握，但是幾何邊界復雜的半導體器件，用多維有限差分法碰到較大的困難;有限元法與有限差分法相比，對區間的離散方法比較自由，容易適應復雜的器件邊界。第三頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬第三種MonteCarlo法是統計模擬法，它以載流子在器件中運動時的散射過程為基礎，逐個跟蹤每一載流子的運動。MonteCarb法的優點是能對器件的物理過程作深入了解，同時不受器件維數的限制，是目前模擬小尺寸半導體器件的最有力工具。它的缺點是計算冗繁，需要很多機時。

半徑典方法:由于器件尺寸的小型化，出現了一些效應，這些效應用經典的方法處理已不可能，需要對傳統的經典理論作一些修正，所以稱半徑典方法。

量子理論模擬法:當半導體器件的尺寸進一步縮小到小于0.1μm時，需要考慮量子效應，相應的模擬方法稱為量子理論模擬法。

第四頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬在離散數值模擬中，已經給出了一個數學模型，它可以精確分析一個任意的半導體，構成這個數學模型的方程稱為基本半導體方程，可以從Max-well方程組和半導體物理知識推出，它們是

（3.1-1）

（3.1-2）（3.1-3）

（3.1-4）（3.1-5）

第五頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬其中（3.1-1）（3.1-2）為半導體連續性方程；（3.1-3）（3.1-4）為半導體電流傳輸方程；（3.1-5）為泊松方程。在一維情況上方程組可寫為：

（3.1-6）

（3.1-7）

（3.1-8）（3.1-9）

（3.1-10）

第六頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬如果是一維模擬軟件，只需解上方程組即可，如方程中不含t，即為零，則為穩態分析，含時間t的方程求解為瞬態分析。當然也能相應地求解二、三維方程組。

MEDICI就是二維器件模擬軟件.隨著器件尺寸的不斷縮小，三維效應也愈來愈突出，所以三維模擬軟件也應運而生。本章涉及的器件模擬定義為

由工藝模擬得到或自定義的雜質濃度分布輸入到器件模擬程序，從電子和空穴的輸運方程、連續性方程、泊松方程出發，解出器件中的電勢分布和載流子分布，從而得到器件I～V等電特性。第七頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬為了設計分析功率器件，除了求解半導體基本方程組外，通常還要模擬熱電現象的相互作用，因為在器件內溫度及其分布的變化會顯著地影響器件的電特性為此還需解熱流方程。其中，ρ和c分別為材料的質量密度和比熱，在考慮實際器件應用時，可假定ρ和c對溫度的依賴關系小到可以忽略；K（T）和H表示熱導和局部產生的熱，這些參量需要通過物理模型確定。如果對熱的瞬態不感興趣，可以假定溫度對時間的偏微分為零。

第八頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬基本半導體方程組（包括連續性、泊松等方程）的理論基礎是漂移擴散理論模型，這是目前器件物理的主流，已在常規器件的模擬或CAD設計中達到實用化，本模型的基本假設有：

①多次碰撞假設：載流子在外電場的漂移用漂移遷移率表示，載流子運動平均行為偏離用擴散系數表示。它們都是電場E的函數。這里的含義是：無論電場變化多快，載流子都能在新的電場值上達到新的平衡態，從而具有新的平均漂移速度和擴散系數，這就只有通過載流子經受多次碰撞才能實現。第九頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬多次碰撞假設要求載流子在器件特征尺寸之內（如MOS柵長，PN結耗盡層寬度等）經受多次隨機的碰撞。目前的超大規模IC、超高速IC和微波技術發展，已把器件的特征尺寸推到深亞微米乃至納米級，電子渡越MOSFET柵下溝道的時間可與電子平均自由時間比擬，這時電子經多次碰撞達到動態平衡的條件就不成立。

②低場條件：在漂移擴散模型中，Jn、Jp的表達式和愛因斯坦關系實際上是玻爾茲曼方程在低場假設條件下采用微擾法所得的近似解。如果器件有很強的不均勻電場、時間上快速的場強變化，就使之與低場假設不相容。

第十頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬③單能谷假設：在漂移擴散模型中，使用平均漂移和擴散的概念描述電荷輸運，沒有涉及多能谷半導體的考慮。對于象GaAs之類器件，多能谷輸運現象往往對器件的工作特性起決定性作用，以此模型就很難處理。鑒于上述的局限性，目前發展了更高級理論及相應的模型，例如玻爾茲曼輸運理論，基于此理論的器件模型已構成迄今所有較精確的器件模擬研究的概念性框架，并派生出器件的蒙特卡羅模擬，動量能量守恒，動量能量平衡模型等。更嚴格地處理超小器件的量子輸運理論，仍是當前器件物理工作者探索研究的課題。第十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬二、與基本半導體方程組相關物理參數

為了模擬器件內部性能，我們必須求解上述的半導體基本方程組，為此首先要考慮與基本方程組聯系的幾個附加參數，例如遷移率μp、μn，由于電流同遷移率有正比的依賴關系，為了進行模擬，需要通過建立物理參數模型，定量確定適用的、精確的遷移率值。實際上，半導體器件任何定量的，甚至定性的模擬，都取決于這些參數可適用的模型。為此本節將討論最重要的物理參數模型問題。第十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬1、載流子遷移率模型我們知道，載流子的遷移率涉及到晶格的熱振動，離化雜質、中性雜質、定位、填隙原子、位錯，表面以及電子和空穴自身引起的散射等微觀機理。由于它們的相互作用是極其復雜的，因而給出精確的模型是困難的。從另一方面講，為了模擬的目的也不必基于更復雜理論模型的更精確的公式，這樣可能導致計算機時的大幅度膨脹，失去模擬的經濟價值。所以目前已發表的用唯象表示式作為各種各樣實驗上觀察到的遷移率現象的模型可以使用。

第十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬當然應根據不同的器件結構和工作環境有選擇性的使用。甚至還可以在一定條件下進行進一步簡化，這樣可以在能基本反映器件性能的前提下節省運算時間。下面我們介紹一些常用的遷移率模型公式。（1）在純晶體中，載流子散射的最基本過程是載流子同晶體中原子熱振動之間的相互作用。這些晶格振動是溫度的函數，由所謂“聲畸變勢晶格散射”引起的遷移率的理論結果為：第十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬（3.2-1)

(3.2-2)其中：C1是半導體的平均縱向彈性常數；它的數值為105VAScm-3量級；Eac和Eav分別是導帶和價帶的畸變勢常數，它們的數值是幾個ev。因為硅和鍺有多谷帶結構，所以在晶格散射中有光學聲子參加（在砷化鎵中這個效應甚至起支配作用），遷移率的性能不能由（3.2-1）（3.2-2）式正確地描寫能帶結構和光學聲子引起附加的散射結構。這些效應的詳細討論已超出本講義范圍。

第十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬為了模擬目的，人們通常用一個簡單乘方律，它的系數由擬合實驗遷移率值得到：

(3.2-3)(3.2-4)已發表的（3.2-3）、（3.2-4）式中的常數數值、、αn、αp顯示出若干分散，這些不同來源的系數匯編在S.賽爾勃赫〔奧〕編的《AnalysisandSimulationofSemiconductorDevices》的表4.1-1晶格遷移率常數中，使用時可查找，這些數據的評價和推薦是相當困難的。第十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬Sah等人已經發表了一個不同的模型，據稱該模型能可靠地估計在4.2到600K溫度范圍內Si的遷移率值：

(3.2-5)

(3.2-6)這個模型用簡單的Mathiessen規則，將由聲學聲子引起的理論上晶格遷移率同由光學以及谷間聲子引起的遷移率分量結合起來。第十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬(2)作為遷移率模型，我們將考慮的下一個散射機構是離化雜質散射。為此也提出了許多不同的模型公式，值得一提的是Caughey和Thomas提出的描述結合晶格和離化雜質遷移率的一個更實用的方法，他們用一個類費米函數或雙曲正切去擬合實驗數據：

(3.2-7)其中、、Nrefn,p為遷移率參數，數值可在上提到的S.賽爾勃赫書中表4.1-2，表4.1-3中查到，在不同資料中，這些數據依然存在著若干分散性。由（3.2-7）式可以看出，這時的遷移率與離化雜質濃度N有關。第十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬Arora等已發表了一個同Canghey和Thomas表達式（3.2-5）、（3.2-6）具有十分相似結構的公式。作為硅，這個公式具有同溫度有關的系數。

(3.2-8)

(3.2-9)這些公式在〔250，500〕K溫度范圍內以及在〔1013，1020〕cm-3離化雜質濃度范圍內，最大誤差不超過13%。

第十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬(3)在器件模型中，我們應該考慮的另一種散射機構是載流子一載流子散射。特別是開態的功率器件中。這個效應變得很顯著，由于此時自由載流子濃度可增加到遠大于摻雜濃度。

Adler提出了一個簡單的方法，他在Canghey和Thomas公式，即（3.2-7）分母上加一個附加項：

(3.2-10)第二十頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬在Adler另一篇文章中又提出一個更為精確的處理方法，這里，由載流子一載流子散射引起的遷移率分量采用以下模型公式：

(3.2-11)這個分量同（3.2-7）式用簡單的Mathiessen規則相結合，即:

(3.2-12)第二十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬如果考慮溫度的因素，與（3.2-11）等效的表達式為：

(3.2-13)(3.2-13)可與上述的由Mathiessen規則合成。第二十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬(4)作為遷移率模型，下一個效應將考慮高電場下漂移速度的飽和。由載流子加熱對漂移速度因而對遷移率影響廣泛使用的表示式為：

(3.2-14)其中硅在300K時的臨界電場

以及指數βn,p可在有關文獻中找到。詳見S.塞爾勃赫書中表4.1-4。第二十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬更精確的公式為

(3.2-15)其中：表示電子和空穴的飽和速度值。對于電子βn=2，對于空穴βp=1，由下式可求得

(3.2-16)(3.2-17)

第二十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬2、載流子產生一復合模型在基本方程組中的連續性方程里，我們看到了電子和空穴的產生率Gn和Gp以及電子和空穴的復合率Un和Up這四個物理參數，這樣的參數需要用一定的模型公式來確定。半導體電子和空穴的復合，大致分為直接復合和間接復合。直接復合是電子在導帶和價帶間的直接躍遷。一般地說，帶寬度小的材料直接復合起主要作用。間接復合是非平衡載流子通過復合中心的復合，稱為SRH（Shockley-Read-Hall）復合。實驗表明，硅、鍺等半導體材料間接復合起主要作用。

第二十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬當材料中只有一種復合中心能級時，其凈復合率為：

(3.2-18)其中：rn、rp分別為雜質能級的電子俘獲系數和空穴俘獲系數，反映它們俘獲電子、空穴的能力。Nt是復合中心濃度，n1及p1為：n1=niexp〔Et-Ei/KT〕p1=niexp〔Ei-Et/KT〕其中Et是雜質能級。第二十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬在小注入情況，n型材料少子壽命τp及p型材料中少子壽命τn可分別近似為：分別代入（3.2-18）式可得小注入SRH復合率：

(3.2-19)一般來說,復合中心濃度Nt與摻雜無關，所以τ與摻雜濃度無關。

第二十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬在高摻雜情況下，重摻雜會通過增生晶格產生新的復合中心。這時τ與摻雜濃度有關。模擬時可采用以下公式：

(3.2-20)其中參數、、NnrefNpref通過實驗確定，也可在有關資料中查到。第二十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬在重摻雜半導體材料中，還有一種重要的復合形式，稱為俄歇（Auger）復合。它對大功率器件特性有重要的影響。這種復合是電子和空穴的直接復合。在其復合過程中，將多余的能量釋放給另一載流子。俄歇復合率為：式中，ΔE是因為摻雜引起有效禁帶寬度的窄縮量；nie是考慮了禁帶變窄效應后的本征載流子濃度；Cn和Cp稱為俄歇俘獲系數。它們的數值在不同的文獻中存在著明顯的分散性.第二十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬通常用在模擬程序中的是Dziewior以及Schmid的數據，這些數據綜合在下表中溫度〔K〕Cn〔cm6S-1〕CP〔cm6S-1〕772.8×10-317.8×10-323002.8×10-319.9×10-324002.8×10-311.2×10-31第三十頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬影響連續性方程中載流子產生率的因素有多種。例如，高能光子注入產生的光激發，或強電場下產生的碰撞電離等外界因素。當強電場產生碰撞電離而引起雪崩倍增效應時，產生率的公式可表示為：其中αn和αp是電子和空穴的電離率，可表示為第三十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬式中的A、b、m是電離率參數，對于Si，它們的數值可由下表給出：

A（cm-1）b（v/cm）m電子3.8×1061.75×1061.0空穴2.25×1073.26×1061.0第三十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬三、半導體基本方程組的求解問題

為了定量描述器件的物理過程，建立起適用于一定區間，并有一定邊界條件及初始條件的基本半導體方程組。它們的形式實際是常微分或偏微分方程。微分方程的建立僅僅確定了數學模型，實際應用中還需得到微分方程的解，從而才能反映器件的電特性。解的理想形式是解析式，但求微分方程的解析解通常是很困難的。第三十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬為了克服這一困難，數學上發展了數值形式解的方法,求出區間上某點函數的近似值或相鄰點之間的近似解。如果區間上的點取得很密，近似程度好，則其數值解同樣能描述實際過程。因這種方法是對函數所在區間分離成小區間后求值。故稱離散值解法。離散數值解法的計算工作量很大，尤其當函數在區間中變化急劇時，離散點必須取得很密，其計算工作量往往非人力所能，借助于計算機，上述困難能夠克服。這是數十年來，數值分析解法隨著計算機的發展而迅速發展的原因。第三十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬在討論基本半導體方程組的數值解法前，首先考慮方程求解的穩定性和收劍速度問題.那么在模擬中首先會遇到變量選取問題。也就是說，變量選取適當與否對方程求解的穩定性、收劍速度等都有很大的影響。(一)、基本方程組因變量的選取幾個常見的因變量選取的方法：1、選用（u、v、）的方法：

其中：Ut=KT/q,然后將上兩式代入基本方程組進行變量代換。第三十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬這種變量選取的好處可將電流連續性方程轉變為u、v的線性偏微分方程，而數學上這種方程的解法較成熟。也就是說從解析研究的角度來看很多情況下選（u、v、）優于其它變量。這種選法的弱點可從上兩式看出，當溫度為300K時，Ut≈0.026v，這時兩式的指數項，當〔-1，1〕V變化時，將變化劇烈約為32個數量級以上，所以采用（u、v、）進行計算只限于低壓情況，如果在高壓的功率器件的模擬中容易引起計算的上溢，很不實用。第三十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬2、選用（

、

、）的方法：這里、是半導體的準費米勢，它們與n、p的關系為：這種變量選取方法的優點：使變量、、具有相同的數量級，從而緩和了變量數值動態變化范圍太大的矛盾。這種方法的缺點是變量代換后使電流的關系式，連續性方程與

n、p呈指數非線性形式，方程的形式變復雜了。第三十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬3、選用（、n、p）的方法：這時基本方程組沒有什么變形，但是變量、n、p各自數值的數量級有較大的懸殊，在半導體結附近的層區和中性的緩區。它們會表現出極大的行為差別。第三十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬

(二)、基本方程的歸一化

由于基本方程中因變量（、n、p）的數量級差別很大，而且在小的和大的空間電荷區，其特性也不相同，對于基本方程結構分析的第一步應適當的定標（即歸一化），從計算的觀點看，歸一化后的方程是很有吸引力的。也就是在求值中不涉及常數運算。可有效地降低運算量。若未歸一化的方程組寫為以下形式：第三十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬其中：C=Nd–NA為凈雜質濃度；R=G-U為凈產生/復合率

第四十頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬DeMari給出了定標的標準方法，定標因子綜合在下表中：

量符號值

x0

KT/qn,p,cc0niDn,DpD01cm2s-1μn,μpD0/0RD0·C0/x02tx02/D0

表中x表示獨立空間變量。

第四十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬定標（歸一化）后的基本方程就寫為：

(1)

(2)(3)(4)

(5)第四十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬這時方程中所用的微分算子是關于定標后的獨立變量的，為了簡明起見，一個明確的指標（即下標）已被省去。還應注意方程中已倍乘了定標因子的組合。即：對于方程（1）乘了

對于方程（2）和（3）乘了

對于方程（4）和（5）乘了第四十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬定標或者說歸一化因子也不是唯一的，下面介紹一種從數學觀點看更為嚴格的定標，定標因子如下表：量符號值

x0max(x-y),x、y€DKT/qn、p、cc0

Dn、DpD0

μn、μpD0/RD0C0/x02tx02/D0第四十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬用這種定標，基本方程變為：

(6)

(7)(8)(9)定標后的電流方程形式與（4）、（5）式相同，類似地，定標后的連續性方程形式也與（2）、（3）式一樣，然而有些定標因子的數量級不一樣。第四十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬方程（6）至（8）以及電流關系式也已倍乘定標因子的組合，即：對于（6）乘了對于（7）和(8)乘了對于電流表達式乘了第四十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬（三）基本方程的定義域及邊界條件半導體基本方程適用于表征器件幾何圖形的一個受限制的定義域D∈Rn(n=1,2,3)內。原則上，所有半導體器件均為三維結構。然而在許多情況下，被考慮的器件本質坐標是二維甚至是一維的，于是可以假設參數的偏導數以及基本方程中垂直于平面(線)的因變量之偏導數為零。由此，問題就變為一(二)維空間的，從而大大地簡化了數值解。第四十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬對于二維或三維問題，D的邊界?D是分段光滑的;對于一維問題，常以兩點來表示。原則上，邊界可以分離為兩部分：?DP表示對應于真實的“物理”邊界的部分，就象Ω接觸以及與絕緣材料的界面。?DA由必須引入的人為邊界組成，例如在集成電路中為分離相鄰器件而引入的邊界。因此，第二類邊界并不對應于物理意義的邊界。

第四十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬為了描述這種分類可參考圖5.1-1，該圖表示了平面MOS晶體管理想化二維模擬幾何圖形。總的模擬定義域以多邊形A-B-C-D-E-F-G-H-A為界。要注意的是，基本方程(6)～(8)僅僅在子域人A-B-C-D-E-F-G-H-A上形成。對于絕緣層(由B-C-D-E-B為界的子域)，通常用靜電勢的Laplace

方程表示特性，此處忽略了任何可動載流子的存在。應該明白，用(5.1-2)及(5.1-3)

式不能計算柵極電流，而且還忽略了氧化層電容的影響。物理的考慮已超出我們討論的范圍。第四十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬邊界A-B,E-F,C-D以及B-E可以分別看作表示三個理想接觸以及半導體與絕緣層之間界面的物理邊界。這些邊界形成ａDP。A-H，B-C，D-E，F-G以及G-H可以認為是人為邊界。這些邊界在實際器件中并不存在，只是為了模擬而引入。顯然，這些邊界的引入并非完全是任意的。人為邊界引入法則：1）根據器件功能的信息，定義某些自然邊界，這些邊界可將結構完整的器件從其周圍分離出來。2）人為邊界的引入有時也是為了簡化基本方程的數值解。

第五十頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬邊界G-H就代表了這種邊界段。當考慮班MOS晶體管的實際尺寸時，我們知道界面B-E的長度為lμm的量級，而晶片的厚度，即界面與基體之間的距離約為500μm。于是，實際的幾何圖形是一個長的小條形，對于基本方程的許多經典數值解方法；這會帶來災難性的影響。根據對于班MOS晶體管工作的理解，我們可以推論，從距離界面G-H較遠處切割后的模擬幾何圖形，在M0S晶體管的大多數工作條件下僅引入很小的誤差，特別是G-H與基體接觸之間的電壓降以及沿G-H的勢能分布確使人為邊界G-H是一個可接受的簡化。第五十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬?DO由物理意義形成的邊界可以大致分為三類：

?DO表示對應于歐姆接觸的邊界部分；?DS是表征Sckotty接觸的邊界部分；而?DI是與絕緣材料的界面。第五十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬歐姆接觸對于靜電勢的邊界條件:通常有一個靜電勢與總電流密度之間的函數關系。此關系式包括靜電勢的一階時間偏導數，垂直于邊界的單位矢量以及它對于時間與歐姆接觸面積的積分。以下面的隱式關系式來表示：對于由純電壓或電流控制的接觸，可得到最簡單的邊界條件。第五十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬對于電壓控制的接觸?Do，(5.1-5)簡化為靜電勢的顯式邊界條件表示外部所加的偏壓，表示內建勢。(5.1-7)式是靜電勢的Dirichlet邊界條件。對于理想的電流控制的接觸?Do，(5.1-5)式為ID（t）是流經該接觸的總電流。把電流關系式(4)及(5)代入邊界條件(5.1-8)式，我們就得到靜電勢的積分邊界條件。

第五十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬然而，為了避免混淆，還需要一個附加條件。通常，人們假設歐姆接觸是理想導電的，即意味著在此邊界上電壓降為零。對于電容或電感負載，靜電勢的時間導數以及總電流將出現在邊界條件中。已知外部負載電路時，只要具備少量的電路理論知識，就能導出其邊界條件，在此我們略過這些內容。從數學意義上，靜電勢有很復雜的時間相關的邊界條件。

第五十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬我們尚需要載流子濃度的條件。從物理觀點看，上述條件仍可從熱平衡(對應于無限的表面復合速度)以及歐姆接觸的空問電荷為零來確定。兩個條件可重新整理為電子和空穴的Dirichlet條件。

第五十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬綜合上述，在一定的條件下(純電壓驅動)，對于歐姆接觸?D0，我們有靜電勢的Dirichlet邊界條件以及載流子濃度的Dirichlet條件。對于更一般的應用(電流驅動或外部負載電路)，靜電勢的邊界條件是積分形式。Schottky接觸邊界?Ds:Schottky接觸的物理學很復雜很困難。為了模擬目的，一般用相當簡化的模型。在電壓驅動的情況下，我們假設靜電勢的Dirichlet邊界條件：

仍表示外加偏置；表示Schottky勢壘高度，這是構成金屬與半導體Schottky接觸的特征量,數值通常是0.5V到1V的量級。仍是內建勢.第五十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬對于連續性方程，要想得到物理合理且模型仍很簡單的邊界條件更加困難。Schottky接觸的載流子濃度一般與流過該接觸的電流密度有關。有文獻提出了有關熱離子發射與擴散的相互作用的理論研究，并導出下述邊界條件：

n表示?D上的單位法向矢量;

vn，vp

表示在接觸處電子、空穴的熱電子復合速度。注意，對于無限的熱電子復合速度，(5.1-15)、(5.1-16)式簡化為(5.1-12)、(5.1-13)式。

第五十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬為了FET的模擬，已假設vn及vp為零，這等效于沒有電流通過Schottky接觸。上述假設乍一看似乎是合理的，因為在大多數實際工作情況下，schottky接觸是反偏的，其中流過的電流相當小。然而，在接觸的鄰近區域，載流子濃度會有不切實際的減小，這將引起數值問題。顯然，(5.1-17)和(5.1-18)式僅適用于反偏接觸。

第五十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬半導體與絕緣體之間的界面?DI:在此界面上需遵守微分形式的Gauβ定律。

εsem及εint分別表示半導體及絕緣體的介電常數;Qint表示界面電荷。當與厚絕緣體，例如場氧化交界時，人們經常假設絕緣層中垂直于界面的電場成分為零，故(5.1-21)式簡化為一般也忽略界面電荷的存在。于是(5.1-22)式簡化為靜電勢的Neumann邊界條件：(如圖5.1-1中，B-E表示一個界面。

第六十頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬在幾個M0S模擬程序中，絕緣體中的Laplace方程不用顯式解。若只有垂直于界面的一維勢能降，則導致界面上靜電勢的混合邊界條件：UG表示柵接觸C-D上的靜電勢；tins是絕緣層C-B的厚度。顯然，編寫混合邊界條件(5.1-24)的程序比解絕緣層中的Laplace方程更為容易。然而，假如與絕緣層厚度相比，界面B-E的長度不是足夠大的話，就我們的經驗而論，由此引起的誤差大到不可容忍的程度。第六十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬對于連續性方程，垂直于界面的電流成分應等于表面復合率RSURF.通常總是假設無限大的表面復合速度，從而忽略表面復合的存在，這就導致邊界條件(5.1-17)、(5.1-18)。在某些特定器件與工作條件時，這種假設是合理的。第六十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬根據前面的概述，我們還需處理人為邊界條件。此處，或者假設為自然邊界條件，它決定所考慮的域，即所模擬的器件面積，是有完整結構的(5.1-27)至(5.1-29)式,或者指定靜電勢的Dirichlet值與載流子濃度，這是預先估計的(例如圖5.1-1中的G-H)。第六十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬必須驗證應用這些邊界條件的物理與數學的合理性。例如在圖5.1-1中，距離A-B以及E-F應足夠大，從而使在A-H及F-G處由于人為邊界條件引進的誤差相當小。應用邊界條件(5.1-27)～(5.1-29)的一個限制是要求參量C,Dn,Dp以及μp,n對于邊界的單位法向矢量的導數沿整個人為邊界為零。要注意，若靜電勢的邊界條件是時間相關，則基本半導體方程僅構成一個時間相關問題。若靜電勢的邊界條件是不隨時間變的，半導體方程就簡化為由三個聯立橢圓方程組成的系統。第六十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬(四)、基本方程的離散化離散數值解法，無論對任何一個系統，都包括以下兩個步驟：①將模擬的幾何定義域分割成有限數的子區域，而子區域內易得所需的精確解。②每一個子域內的微分方程得用代數方程來近似，本節將具體地討論方程的離散化過程。第六十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬在分割定義域（即離散化）和選擇子區域內自變量的近似函數方面已經提出了許多可行的方法。特別是對于半導體方程已經開發了許多技術。這些技術從數學分析的觀點來看并不是很重要的。但它們有高的計算效率。因而從工程的目的來看確實是重要的。目前常見的離散方法，具體地說就是網格的劃分大致有三種:

有限差分法----特點是簡單易行。有限盒法----實際上是一種更一般的有限差分法，這兩種方法大多對一些規則的邊界使用起來比較便利；

有限元法---它與有限差分法相比有其顯著特點。

第六十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬有限元法可以用不同形狀的網格分割區域。根據定義域中函數的要求自如地布置節點，因而對不同區域邊界，尤其是不規則的邊界適應性較強。而有限差分法對定義區域的離散方法是直交網格，因此很難適應復雜的區域邊界。網格劃分的好壞，直接對方程求解的穩定性。求解結果的準確性、收劍性以及收劍速度都有影響.常用的網格劃分標準是：在整個模擬區域內平均各網點離散時的局部截斷誤差，并且使其滿足給定的精度要求。

第六十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬網格的劃分可分為自動剖分和人為地經驗剖分。上述的網格劃分標準已由一些作者用到了網格自動剖分上。在自動剖分中還用到這兩個劃分規則：（1）如果兩個相鄰節點之間電勢差＞u（例如取u=10），則繼續細分這兩點的網格。（2）在兩次迭代之間差值最大的點周圍繼續細分.至于經驗剖分，一般原則是在變量變化比較陡的區域網格劃分的細一些。第六十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬1、有限差分法在經典的有限差分法中，微分方程的求解區域有一組平行于坐標軸的網格線分割成子區域。圖4-1為一個橫向雙極型晶體管的有限差分網格實例:

圖4-1第六十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日半導體器件模擬其中NX線置成平行于y軸，NY線置成平行于x軸。本例中NX=41、NY=22。(點總數902,邊界有122點)在NX，