第6章一階動態電路分析第6章一階動態電路分析1學習要點掌握用三要素法分析一階動態電路的方法理解電路的暫態和穩態以及時間常數的物理意義了解用經典法分析一階動態電路的方法了解一階電路的零輸入響應、零狀態響應和全響應的概念了解微分電路和積分電路的構成及其必須具備的條件第6章一階動態電路分析學習要點掌握用三要素法分析一階動態電路的方法第6章一階2第6章一階動態電路分析6.1換路定理6.2一階動態電路分析方法6.3零輸入響應和零狀態響應6.4微分電路和積分電路第6章一階動態電路分析6.1換路定理36.1換路定理過渡過程：電路從一個穩定狀態過渡到另一個穩定狀態，電壓、電流等物理量經歷一個隨時間變化的過程。含有動態元件電容C和電感L的電路稱為動態電路。動態電路的伏安關系是用微分或積分方程表示的。通常用微分形式。一階電路：用一階微分方程來描述的電路。一階電路中只含有一個動態元件。本章著重于無源和直流一階電路。產生過渡過程的條件：電路結構或參數的突然改變。產生過渡過程的原因：能量不能躍變，電感及電容能量的存儲和釋放需要時間，從而引起過渡過程。6.1.1電路產生過渡過程的原因6.1換路定理過渡過程：電路從一個穩定狀態過渡到另一個4換路：電路工作條件發生變化，如電源的接通或切斷，電路連接方法或參數值的突然變化等稱為換路。換路定理：電容上的電壓uC及電感中的電流iL在換路前后瞬間的值是相等的，即：必須注意：只有uC、

iL受換路定理的約束而保持不變，電路中其他電壓、電流都可能發生躍變。6.1.2換路定理換路：電路工作條件發生變化，如電源的接通或切斷，電路連接方法5例：圖示電路原處于穩態，t=0時開關S閉合，US=10V，R1=10Ω，R2=5Ω，求初始值uC(0+)、i1(0+)、i2(0+)、iC(0+)。解：由于在直流穩態電路中，電容C相當于開路，因此t=0-時電容兩端電壓分別為：在開關S閉合后瞬間，根據換路定理有：由此可畫出開關S閉合后瞬間即時的等效電路，如圖所示。由圖得：例：圖示電路原處于穩態，t=0時開關S閉合，US=10V，R6例：圖示電路原處于穩態，t=0時開關S閉合，求初始值uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。解：由于在直流穩態電路中，電感L相當于短路、電容C相當于開路，因此t=0-時電感支路電流和電容兩端電壓分別為：在開關S閉合后瞬間，根據換路定理有：例：圖示電路原處于穩態，t=0時開關S閉合，求初始值uC(07由此可畫出開關S閉合后瞬間即時的等效電路，如圖所示。由圖得：u(0+)可用節點電壓法由t=0+時的電路求出，為：由此可畫出開關S閉合后瞬間即時的等效電路，如圖所示。由圖得：86.2一階動態電路的分析方法任何一個復雜的一階電路，總可以用戴微南定理或諾頓定理將其等效為一個簡單的RC電路或RL電路。因此，對一階電路的分析，實際上可歸結為對簡單的RC電路和RL電路的求解。一階動態電路的分析方法有經典法和三要素法兩種。6.2一階動態電路的分析方法任何一個復雜的一階電路，總91．RC電路分析圖示電路，t=0時開關S閉合。根據KVL，得回路電壓方程為：從而得微分方程：而:6.2.1經典分析法1．RC電路分析圖示電路，t=0時開關S閉合。根據KVL，得10解微分方程，得：只存在于暫態過程中，t→∞時uC''→0，稱為暫態分量。其中uC'=US為t→∞時uC的值，稱為穩態分量。τ=RC稱為時間常數，決定過渡過程的快慢。波形圖：解微分方程，得：只存在于暫態過程中，t→∞時uC''→0，11電路中的電流為：電阻上的電壓為：iC與uR的波形電路中的電流為：電阻上的電壓為：iC與uR的波形122．RL電路分析圖示電路，t=0時開關S閉合。根據KVL，得回路電壓方程為：因為：從而得微分方程：解之得：穩態分量暫態分量式中τ=L/R為時間常數2．RL電路分析圖示電路，t=0時開關S閉合。根據KVL，得13經典法求解一階電路的步驟：（1）利用基爾霍夫定律和元件的伏安關系，根據換路后的電路列出微分方程；（2）求微分方程的特解，即穩態分量；（3）求微分方程的補函數，即暫態分量；（4）將穩態分量與暫態分量相加，即得微分方程的全解；（5）按照換路定理求出暫態過程的初始值，從而定出積分常數。經典法求解一階電路的步驟：14例：圖(a)所示電路原處于穩態，t=0時開關S閉合，求開關閉合后的電容電壓uC和通過3Ω電阻的電流i。解：用戴微南定理將圖(a)所示開關閉合后的電路等效為圖(b)，圖中：對圖(b)列微分方程：解微分方程：例：圖(a)所示電路原處于穩態，t=0時開關S閉合，求開關閉15由圖(a)求uC的初始值為：積分常數為：所以，電容電壓為：通過3Ω電阻的電流為：由圖(a)求uC的初始值為：積分常數為：所以，電容電壓為：通166.2.2三要素分析法求解一階電路任一支路電流或電壓的三要素公式為：式中，f(0+)為待求電流或電壓的初始值，f(∞)為待求電流或電壓的穩態值，τ為電路的時間常數。對于RC電路，時間常數為：對于RL電路，時間常數為：6.2.2三要素分析法求解一階電路任一支路電流或電壓的17例：圖示電路，IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，C=100μF。開關S閉合之前電路已處于穩態，在t=0時開關S閉合。試用三要素法求開關閉合后的uC。解：（1）求初始值。因為開關S閉合之前電路已處于穩態，故在瞬間電容C可看作開路，因此：（2）求穩態值。當t=∞時，電容C同樣可看作開路，因此：例：圖示電路，IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，18（3）求時間常數τ。將電容支路斷開，恒流源開路，得：時間常數為：（4）求uC。利用三要素公式，得：（3）求時間常數τ。將電容支路斷開，恒流源開路，得：時間常數19例：圖示電路，US1=9V，US2=6V，R1=6Ω，R2=3Ω，L=1H。開關S閉合之前電路已處于穩態，在t=0時開關S閉合。試用三要素法求開關閉合后的iL和u2。解：（1）求初始值。因為開關S閉合之前電路已處于穩態，故在瞬間電感L可看作短路，因此：（2）求穩態值。當t=∞時，電感L同樣可看作短路，因此：例：圖示電路，US1=9V，US2=6V，R1=6Ω，R220（3）求時間常數τ。將電感支路斷開，恒壓源短路，得：時間常數為：（4）求iL和u2。利用三要素公式，得：（3）求時間常數τ。將電感支路斷開，恒壓源短路，得：時間常數216.3零輸入響應和零狀態響應6.3.1一階電路響應的分解根據電路的工作狀態，全響應可分解為穩態分量和暫態分量，即：全響應=穩態分量+暫態分量根據激勵與響應的因果關系，全響應可分解為零輸入響應和零狀態響應，即：全響應=零輸入響應+零狀態響應零輸入響應是輸入為零時，由初始狀態產生的響應，僅與初始狀態有關，而與激勵無關。零狀態響應是初始狀態為零時，由激勵產生的響應，僅與激勵有關，而與初始狀態無關。6.3零輸入響應和零狀態響應6.3.1一階電路響22將一階RC電路中電容電壓uC隨時間變化的規律改寫為：零輸入響應零狀態響應將一階RL電路中電感電流iL隨時間變化的規律改寫為：零輸入響應零狀態響應將一階RC電路中電容電壓uC隨時間變化的規律改寫為：零輸入響23例：圖示電路有兩個開關S1和S2，t<0時S1閉合，S2打開，電路處于穩態。t=0時S1打開，S2閉合。已知IS=2.5A，US=12V，R1=2Ω，R2=3Ω，R3=6Ω，C=1F。求換路后的電容電壓uC，并指出其穩態分量、暫態分量、零輸入響應、零狀態響應，畫出波形圖。解：（1）全響應=穩態分量+暫態分量穩態分量初始值例：圖示電路有兩個開關S1和S2，t<0時S1閉合，S2打開24時間常數暫態分量全響應（2）全響應=零輸入響應+零狀態響應零輸入響應零狀態響應全響應時間常數暫態分量全響應（2）全響應=零輸入響應+零狀態響應零256.3.2一階電路的零輸入響應1．RC電路的零輸入響應圖示電路，換路前開關S置于位置1，電容上已充有電壓。t=0時開關S從位置1撥到位置2，使RC電路脫離電源。根據換路定理，電容電壓不能突變。于是，電容電壓由初始值開始，通過電阻R放電，在電路中產生放電電流iC。隨著時間增長，電容電壓uC和放電電流iC將逐漸減小，最后趨近于零。這樣，電容存儲的能量全部被電阻所消耗。可見電路換路后的響應僅由電容的初始狀態所引起，故為零輸入響應。由初始值uC(0+)=U0，穩態值uC(∞)=0，時間常數τ=RC，運用三要素法得電容電壓：6.3.2一階電路的零輸入響應1．RC電路的零輸入響應26放電電流放電過程的快慢是由時間常數τ決定。τ越大，在電容電壓的初始值U0一定的情況下，C越大，電容存儲的電荷越多，放電所需的時間越長；而R越大，則放電電流就越小，放電所需的時間也就越長。相反，τ越小，電容放電越快，放電過程所需的時間就越短。從理論上講，需要經歷無限長的時間，電容電壓uC才衰減到零，電路到達穩態。但實際上，uC開始時衰減得較快，隨著時間的增加，衰減得越來越慢。經過t=(3~5)τ的時間，uC已經衰減到可以忽略不計的程度。這時，可以認為暫態過程已經基本結束，電路到達穩定狀態。放電電流放電過程的快慢是由時間常數τ決定。τ越大，在電容電272．RL電路的零輸入響應圖示電路，換路前開關S置于位置1，電路已處于穩態，電感中已有電流。在t=0時，開關S從位置1撥到位置2，使RL電路脫離電源。根據換路定理，電感電流不能突變。于是，電感由初始儲能開始，通過電阻R釋放能量。隨著時間的增長，電感電流iL將逐漸減小，最后趨近于零。這樣，電感存儲的能量全部被電阻所消耗。可見電路換路后的響應僅由電感的初始狀態所引起，故為零輸入響應。由初始值iL(0+)=I0，穩態值iL(∞)=0，時間常數τ=L/R，運用三要素法得電感電流：2．RL電路的零輸入響應圖示電路，換路前開關S置于位置1，電28電感兩端的電壓RL電路暫態過程的快慢也是由時間常數τ來決定的。τ越大，暫態過程所需的時間越長。相反，τ越小，暫態過程所需的時間就越短。且經過t=(3~5)τ的時間，iL已經衰減到可以忽略不計的程度。這時，可以認為暫態過程已經基本結束，電路到達穩定狀態。電感兩端的電壓RL電路暫態過程的快慢也是由時間常數τ來決定的296.3.3一階電路的零狀態響應1．RC電路的零狀態響應圖示電路，換路前開關S置于位置1，電路已處于穩態，電容沒有初始儲能。t=0時開關S從位置1撥到位置2，RC電路接通電壓源US。根據換路定理，電容電壓不能突變。于是US通過R對C充電，產生充電電流iC。隨著時間增長，電容電壓uC逐漸升高，充電電流iC逐漸減小。最后電路到達穩態時，電容電壓等于US，充電電流等于零。可見電路換路后的初始儲能為零，響應僅由外加電源所引起，故為零狀態響應。由初始值uC(0+)=0，穩態值uC(∞)=US，時間常數τ=RC，運用三要素法得電容電壓：6.3.3一階電路的零狀態響應1．RC電路的零狀態響應30充電電流RC電路充電過程的快慢也是由時間常數τ來決定的，τ越大，電容充電越慢，過渡過程所需的時間越長；相反，τ越小，電容充電越快，過渡過程所需的時間越短。同樣，可以根據實際需要來調整電路中的元件參數或電路結構，以改變時間常數的大小。充電電流RC電路充電過程的快慢也是由時間常數τ來決定的，τ越312．RL電路的零狀態響應圖示電路，換路前開關S置于位置1，電路已處于穩態，電感沒有初始儲能。t=0時開關S從位置1撥到位置2，RL電路接通電壓源US。根據換路定理，電感電流不能突變。于是US通過R對L供電，產生電流iL。隨著時間增長，電感電流iL逐漸增大，最后電路到達穩態時，電感電流等于US/R。可見電路換路后的初始儲能為零，響應僅由外加電源所引起，故為零狀態響應。由初始值iL(0+)=0，穩態值iL(∞)=US/R，時間常數τ=L/R，運用三要素法得電感電流：2．RL電路的零狀態響應圖示電路，換路前開關S置于位置1，電32電感兩端的電壓RL電路暫態過程的快慢也是由時間常數τ來決定的。τ越大，暫態過程所需的時間越長。相反，τ越小，暫態過程所需的時間就越短。且經過t=(3~5)τ的時間，iL已經衰減到可以忽略不計的程度。這時，可以認為暫態過程已經基本結束，電路到達穩定狀態。電感兩端的電壓RL電路暫態過程的快慢也是由時間常數τ來決定的336.4微分電路與積分電路6.4.1微分電路條件：(1)時間常數τ<<tw；(2)輸出電壓從電阻兩端取出。6.4微分電路與積分電路6.4.1微分電路條件：346.4.2積分電路條件：(1)時間常數τ>>tw；(2)輸出電壓從電容兩端取出。6.4.2積分電路條件：35第6章一階動態電路分析第6章一階動態電路分析36學習要點掌握用三要素法分析一階動態電路的方法理解電路的暫態和穩態以及時間常數的物理意義了解用經典法分析一階動態電路的方法了解一階電路的零輸入響應、零狀態響應和全響應的概念了解微分電路和積分電路的構成及其必須具備的條件第6章一階動態電路分析學習要點掌握用三要素法分析一階動態電路的方法第6章一階37第6章一階動態電路分析6.1換路定理6.2一階動態電路分析方法6.3零輸入響應和零狀態響應6.4微分電路和積分電路第6章一階動態電路分析6.1換路定理386.1換路定理過渡過程：電路從一個穩定狀態過渡到另一個穩定狀態，電壓、電流等物理量經歷一個隨時間變化的過程。含有動態元件電容C和電感L的電路稱為動態電路。動態電路的伏安關系是用微分或積分方程表示的。通常用微分形式。一階電路：用一階微分方程來描述的電路。一階電路中只含有一個動態元件。本章著重于無源和直流一階電路。產生過渡過程的條件：電路結構或參數的突然改變。產生過渡過程的原因：能量不能躍變，電感及電容能量的存儲和釋放需要時間，從而引起過渡過程。6.1.1電路產生過渡過程的原因6.1換路定理過渡過程：電路從一個穩定狀態過渡到另一個39換路：電路工作條件發生變化，如電源的接通或切斷，電路連接方法或參數值的突然變化等稱為換路。換路定理：電容上的電壓uC及電感中的電流iL在換路前后瞬間的值是相等的，即：必須注意：只有uC、

iL受換路定理的約束而保持不變，電路中其他電壓、電流都可能發生躍變。6.1.2換路定理換路：電路工作條件發生變化，如電源的接通或切斷，電路連接方法40例：圖示電路原處于穩態，t=0時開關S閉合，US=10V，R1=10Ω，R2=5Ω，求初始值uC(0+)、i1(0+)、i2(0+)、iC(0+)。解：由于在直流穩態電路中，電容C相當于開路，因此t=0-時電容兩端電壓分別為：在開關S閉合后瞬間，根據換路定理有：由此可畫出開關S閉合后瞬間即時的等效電路，如圖所示。由圖得：例：圖示電路原處于穩態，t=0時開關S閉合，US=10V，R41例：圖示電路原處于穩態，t=0時開關S閉合，求初始值uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。解：由于在直流穩態電路中，電感L相當于短路、電容C相當于開路，因此t=0-時電感支路電流和電容兩端電壓分別為：在開關S閉合后瞬間，根據換路定理有：例：圖示電路原處于穩態，t=0時開關S閉合，求初始值uC(042由此可畫出開關S閉合后瞬間即時的等效電路，如圖所示。由圖得：u(0+)可用節點電壓法由t=0+時的電路求出，為：由此可畫出開關S閉合后瞬間即時的等效電路，如圖所示。由圖得：436.2一階動態電路的分析方法任何一個復雜的一階電路，總可以用戴微南定理或諾頓定理將其等效為一個簡單的RC電路或RL電路。因此，對一階電路的分析，實際上可歸結為對簡單的RC電路和RL電路的求解。一階動態電路的分析方法有經典法和三要素法兩種。6.2一階動態電路的分析方法任何一個復雜的一階電路，總441．RC電路分析圖示電路，t=0時開關S閉合。根據KVL，得回路電壓方程為：從而得微分方程：而:6.2.1經典分析法1．RC電路分析圖示電路，t=0時開關S閉合。根據KVL，得45解微分方程，得：只存在于暫態過程中，t→∞時uC''→0，稱為暫態分量。其中uC'=US為t→∞時uC的值，稱為穩態分量。τ=RC稱為時間常數，決定過渡過程的快慢。波形圖：解微分方程，得：只存在于暫態過程中，t→∞時uC''→0，46電路中的電流為：電阻上的電壓為：iC與uR的波形電路中的電流為：電阻上的電壓為：iC與uR的波形472．RL電路分析圖示電路，t=0時開關S閉合。根據KVL，得回路電壓方程為：因為：從而得微分方程：解之得：穩態分量暫態分量式中τ=L/R為時間常數2．RL電路分析圖示電路，t=0時開關S閉合。根據KVL，得48經典法求解一階電路的步驟：（1）利用基爾霍夫定律和元件的伏安關系，根據換路后的電路列出微分方程；（2）求微分方程的特解，即穩態分量；（3）求微分方程的補函數，即暫態分量；（4）將穩態分量與暫態分量相加，即得微分方程的全解；（5）按照換路定理求出暫態過程的初始值，從而定出積分常數。經典法求解一階電路的步驟：49例：圖(a)所示電路原處于穩態，t=0時開關S閉合，求開關閉合后的電容電壓uC和通過3Ω電阻的電流i。解：用戴微南定理將圖(a)所示開關閉合后的電路等效為圖(b)，圖中：對圖(b)列微分方程：解微分方程：例：圖(a)所示電路原處于穩態，t=0時開關S閉合，求開關閉50由圖(a)求uC的初始值為：積分常數為：所以，電容電壓為：通過3Ω電阻的電流為：由圖(a)求uC的初始值為：積分常數為：所以，電容電壓為：通516.2.2三要素分析法求解一階電路任一支路電流或電壓的三要素公式為：式中，f(0+)為待求電流或電壓的初始值，f(∞)為待求電流或電壓的穩態值，τ為電路的時間常數。對于RC電路，時間常數為：對于RL電路，時間常數為：6.2.2三要素分析法求解一階電路任一支路電流或電壓的52例：圖示電路，IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，C=100μF。開關S閉合之前電路已處于穩態，在t=0時開關S閉合。試用三要素法求開關閉合后的uC。解：（1）求初始值。因為開關S閉合之前電路已處于穩態，故在瞬間電容C可看作開路，因此：（2）求穩態值。當t=∞時，電容C同樣可看作開路，因此：例：圖示電路，IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，53（3）求時間常數τ。將電容支路斷開，恒流源開路，得：時間常數為：（4）求uC。利用三要素公式，得：（3）求時間常數τ。將電容支路斷開，恒流源開路，得：時間常數54例：圖示電路，US1=9V，US2=6V，R1=6Ω，R2=3Ω，L=1H。開關S閉合之前電路已處于穩態，在t=0時開關S閉合。試用三要素法求開關閉合后的iL和u2。解：（1）求初始值。因為開關S閉合之前電路已處于穩態，故在瞬間電感L可看作短路，因此：（2）求穩態值。當t=∞時，電感L同樣可看作短路，因此：例：圖示電路，US1=9V，US2=6V，R1=6Ω，R255（3）求時間常數τ。將電感支路斷開，恒壓源短路，得：時間常數為：（4）求iL和u2。利用三要素公式，得：（3）求時間常數τ。將電感支路斷開，恒壓源短路，得：時間常數566.3零輸入響應和零狀態響應6.3.1一階電路響應的分解根據電路的工作狀態，全響應可分解為穩態分量和暫態分量，即：全響應=穩態分量+暫態分量根據激勵與響應的因果關系，全響應可分解為零輸入響應和零狀態響應，即：全響應=零輸入響應+零狀態響應零輸入響應是輸入為零時，由初始狀態產生的響應，僅與初始狀態有關，而與激勵無關。零狀態響應是初始狀態為零時，由激勵產生的響應，僅與激勵有關，而與初始狀態無關。6.3零輸入響應和零狀態響應6.3.1一階電路響57將一階RC電路中電容電壓uC隨時間變化的規律改寫為：零輸入響應零狀態響應將一階RL電路中電感電流iL隨時間變化的規律改寫為：零輸入響應零狀態響應將一階RC電路中電容電壓uC隨時間變化的規律改寫為：零輸入響58例：圖示電路有兩個開關S1和S2，t<0時S1閉合，S2打開，電路處于穩態。t=0時S1打開，S2閉合。已知IS=2.5A，US=12V，R1=2Ω，R2=3Ω，R3=6Ω，C=1F。求換路后的電容電壓uC，并指出其穩態分量、暫態分量、零輸入響應、零狀態響應，畫出波形圖。解：（1）全響應=穩態分量+暫態分量穩態分量初始值例：圖示電路有兩個開關S1和S2，t<0時S1閉合，S2打開59時間常數暫態分量全響應（2）全響應=零輸入響應+零狀態響應零輸入響應零狀態響應全響應時間常數暫態分量全響應（2）全響應=零輸入響應+零狀態響應零606.3.2一階電路的零輸入響應1．RC電路的零輸入響應圖示電路，換路前開關S置于位置1，電容上已充有電壓。t=0時開關S從位置1撥到位置2，使RC電路脫離電源。根據換路定理，電容電壓不能突變。于是，電容電壓由初始值開始，通過電阻R放電，在電路中產生放電電流iC。隨著時間增長，電容電壓uC和放電電流iC將逐漸減小，最后趨近于零。這樣，電容存儲的能量全部被電阻所消耗。可見電路換路后的響應僅由電容的初始狀態所引起，故為零輸入響應。由初始值uC(0+)=U0，穩態值uC(∞)=0，時間常數τ=RC，運用三要素法得電容電壓：6.3.2一階電路的零輸入響應1．RC電路的零輸入響應61放電電流放電過程的快慢是由時間常數τ決定。τ越大，在電容電壓的初始值U0一定的情況下，C越大，電容存儲的電荷越多，放電所需的時間越長；而R越大，則放電電流就越小，放電所需的時間也就越長。相反，τ越小，電容放電越快，放電過程所需的時間就越短。從理論上講，需要經歷無限長的時間，電容電壓uC才衰減到零，電路到達穩態。但實際上，uC開始時衰減得較快，隨著時間的增加，衰減得越來越慢。經過t=(3~5)τ的時間，uC已經衰減到可以忽略不計的程度。這時，可以認為暫態過程已經基本結束，電路到達穩定狀態。放電電流放電過程的快慢是由時間常數τ決定。τ越大，在電容電622．RL電路的零輸入響應圖示電路，換路前開關S置于位置1，電路已處于穩態，電感中已有電流。在t=0時，開關S從位置1撥到位置2，使RL電路脫離電源。根據換路定理，電感電流不能突變。于是，電感由初始儲能開始，通過電阻R釋放能量。隨著時間的增長，電感電流iL將逐漸減小，最后趨近于零。這樣，電感存儲的能量全部被電阻所消耗。可見電路換路后的響應僅由電感的初始狀態所引起，故為零輸入響應。由初始值iL(0+)=I0，穩態值iL(∞)=0，時間常數τ=L/R，運用三要素法得電感電流：2．RL電路的零輸入響應圖示電路，換路前開關S置于位置1，電63電感兩端的電壓RL電路暫態過程的快慢也是由時間常數τ來決定的。τ越大，暫態過程所需的時間越長。相反，τ越小，暫態過程所需的時間就越短。且經過t=(3~5)τ的時間，iL已經衰減到可以忽略不計的程度。這時，可以認為暫態過程已經基本