工程數學（數值計算）習題課[例15-1]求x22x10的Newton迭代法格式為： ，收斂階為： 。[解]（1）

x

x22xk

1（）收斂階為：（線性收斂）。kk

2x2k[例15-2]下列方程各有一實根，判別能否直接將其寫成迭代格式而后求解如不能，將方程變形，給出一個收斂的迭代格式。（1）x=(cosx+sinx)/4； （2）x=4–2xx n1

ln(4x )nln2[例21]設f(x)=(x

2，fx)=0Newton證明此迭代格式是線性收斂的。f(x)=(x3-a)2f'(x)=6x2(x3-a)x

f(xk),

k0,1,2,k1

k f'(x)k(x3a)2 5 ax x k

x

, k0,1,2,k1

k 6x2(x3a) 6

6x2k k k5 a 5 a(x)

x6 6x2

'(x) x36 35 a

5 1 1x*3 a'(x*)

(

a

106 3 6 3 2[例22]用牛頓法求f(x)=x3–3x–1=0在x0x=1.。

=2附近的根，要求有四位有效數字（準確解是[解]：因為f(x)=x3–3x–1=0，所以f'(x)=3x2–3由牛頓公式可得：取初值x0

=2，計算結果見下表：故f(x)=x3–3x–1=0的根近似值為≈。[例25]用快速弦截法求x3–3x–1=0在x0

=2附近的實根，設取x1

=，算到四位有效數字為止。[解]：設f(x)=x3–3x–1，由快速弦截公式：

1

x (xk

x )k1k1

x2xk

xk

x2 3k1x=2，x0

=計算結果見下表：故f(x)=x3–3x–1=0的根近似值為≈。x 0 1 3 4[例32]給出數據點：iy 1 9 15 6i（1）

,x,

構造二次Lagrange插值多項式x)，并計算x

(1.5)。0 1 2

L(x)

2yl(x)-1.6667x29.6667x1）由Lagrange插值得：2

ii2i02

(1.5)11.7533]f(0)=1，f(1)=2，f(2)=4fx[例38]給定正弦函數表如下：xsinx用二次插值求的近似值。[解]：用二次插值選取x=，x=，x=，按拋物線插值公式有：0 1 2計算得：≈，（準確值=……）[例40]已知函數e-x的下列數據用逐步插值方法求x=的值。[解]：當x=，按逐步插值公式計算結果見下表：≈（準確值）[例48-1]計算積分10.5

xdx，取4位有效數字，用梯形公式求得的近似值為（ ）；梯形公式的代數精度為（1 ）。[例49]證明求積公式ba

ba (ba)2f(x)dx (f(a)f(b)) (2 12

'(b)f'(a))的代數精度是3。[50] Findtheconstantsc,c0 1

andx1

sothatthequadratureformula（求積公式）

1f(x)dxc0

f(0)c1

f(x)1hasthehighestpossibledegreeofprecision(代數精度).Solution. Making0

f(x)dxc0

f(0)c1

f(x1

)holdforeachf(x)1,x,x2gives

cc0

1,cx1/2,11cx21/311Solvingtheequationsforc,c0 1

andx1

yieldsc0

1/4,c1

3/4 andx1

2/3.Since

1x3dx1/42/9c03x3 ,weseethatthequadratureformula0 0 11131f(x)dx f(0) f(2)13

hasthedegreeofprecision2.0 4 4 3例53]分別用梯形公式和辛卜生公式計算積分1

dx（n=8，并比較結果。04x2h n1解]：由復化梯形公式：T n

1[f(a)2

k

f(xk

)f(b)]和復化辛卜生公式：S n

2[f(a)h6h

nk

f(x1k12

)

n1k

f(xk

)f(b)]10 10則h1

0.125，h8 2

41 0.25所以T8

28

1.78220.1114，S4

2.67746計算結果見下表：x 1 注釋：1 dx的精確解為ln

0.111572。04x2 2 4[例57]用龍貝方法求積分ε<105。[解]：按公式再按公式計算，結果見下表：即：故：（準確值為0842701）[例62]取步長h=用改進的歐拉格式解初值問題試將計算結果與準確解相比較。

y'xyy(0)1

0x1y y p

0.1(xi

y)i[解]：改進的歐拉格式是：

y yc

0.1(

i

y )pyi1

0.5(yp

y )c計算結果見下表：本問題有解析解：y=2ex-x-1，按此解析式子算出的值列在上表的第6列，以便和改進歐拉計算結果作比較此題也可按整理后的格式（只有3次乘法）y =++計算。i+1 +163]UseEuler’smethodtoapproximatethesolutionfortheinitial-valueproblem：dy1(ty)2,2t3,dt

y(2)1,withh0.5.[Solution]TheEuler’sschemeisgivenbywy(2)1,0w wi1 i

(ti

w)2].iUsingh0.5,t0

2,t1

th2.5 gives0ww1 0

(t0

w)2]1(21)2]20ww2

h[1(t1

w)2]20.5[1(2.52)2]2.6251[例65]取步長h=用四階龍格-庫塔格式求解y'3y/(1x)y(0)1

0x1[解]：四階龍格-庫塔格式是：y =y+(K+2K+2K+K)/6i+1 i 1 2 3 4其中：K13yi/1xiK23yi/xiK33yi/xiK43yi/xi[例71]用塞德爾迭代法（迭代五次）解方程組5x x1

x x3

4 x10x x x 121 2 3 4x x 5x x 81 2 3 4x x1 2

x 10x3

34并與準確解x1

=1，x2

=2，x3

=3，x4

=4相比較。[解]：收斂的塞德爾迭代格式為：1x01

0 x(0，2，

0 x(0，3，

0 x(0)0，4，計算結