四年級奧數：數字謎（一）我們在三年級已經學習過一些簡單的數字謎問題。這兩講除了復習鞏固學過的知識外，還要學習一些新的內容。例1在下面算式等號左邊合適的地方添上括號，使等式成立：5+7x8+12^4-2=20。分析：等式右邊是20,而等式左邊算式中的7x8所得的積比20大得多。因此必須設法使這個積縮小一定的倍數，化大為小。從整個算式來看，7x8是4的倍數，12也是4的倍數，5不能被4整除，因此可在7x8+12前后添上小括號，再除以4得17，5+17-2=20。解：5+（7x8+12）三4-2=20。例2把1?9這九個數字填到下面的九個□里，組成三個等式（每個數字只能填一次）：；口孩□=□O分析與解：如果從加法與減法兩個算式入手，那么會出現許多種情形。如果從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：2x3=6或2x4=8，所以應當從乘法算式入手。因為在加法算式口+□=□中，等號兩邊的數相等，所以加法算式中的三個□內的三個數的和是偶數；而減法算式□-□=可以變形為加法算式口=□+□，所以減法算式中的三個□內的三個數的和也是偶數。于是可知，原題加減法算式中的六個數的和應該是偶數。若乘法算式是2x4=8，貝闌下的六個數1，3,5,6,7,9的和是奇數，不合題意；若乘法算式是2x3=6，貝闌下的六個數1,4,5,7,8,9可分為兩組：4+5=9，8-7=1（或8-1=7）；1+7=8，9－5=4（或9－4=5）。所以答案為與7-F1-0,r-出-g(其中i和匚旳和亦師n可啜對嵋」減了=廠4+5"："-了=1,(其申斗和弓，丁和1,瑜訶⑷于周)例3下面的算式是由1?9九個數字組成的，其中“7”已填好，請將其余各數填入口，使得等式成立：□□□—□□=□-□=□-7。分析與解：因為左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被減數只能填9，由此知左端被除數的百位數只能填1，故中間減式有8-6，6-4，5-3和4-2四種可能。經逐一驗證，8-6，6-4和4-2均無解，只有當中間減式為5-3時有如下兩組解：128^64=5-3=9-7,或164^82=5-3=9-7。例4將1?9九個數字分別填入下面四個算式的九個□中，使得四個等式都成立：□+□=6,口9=8，□-□=6，□□—□=8。分析與解：因為每個□中要填不同的數字，對于加式只有兩種填法：1+5或2+4；對于乘式也只有兩種填法：1x8或2x4。加式與乘式的數字不能相同，搭配后只有兩種可能：加式為1+5，乘式為2x4；加式為2+4，乘式為1x8。對于(1)，還剩3，6，7，8，9五個數字未填，減式只能是9-3，此時除式無法滿足；對于(2)，還剩3，5，6，7，9五個數字未填，減式只能是9-3，此時除式可填56-7。答案如下：2+4=6，1x8=8，9－3=6，56-7=8。例2?例4都是對題目經過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用于只有幾種可能情況的題目，如果可能的情況很多，那么就不宜用枚舉法。例5從1?9這九個自然數中選出八個填入下式的八個。內，使得算式的結果盡可能大：[o^ox(o+o)]-[oxo+o-o]Q分析與解：為使算式的結果盡可能大，應當使前一個中括號內的結果盡量大，后一個中括號內的結果盡量小。為敘述方便，將原式改寫為：[AmBx(C+D)]-[ExF+G—H]。通過分析，A,C,D,H應盡可能大，且A應最大，C,D次之，H再次之；B,E，F，G應盡可能小，且B應最小，E，F次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7,H=6,B=1,E=2,F=3,G=4,其中C與D,E與F的值可互換。將它們代入算式，得到[9m1x(8+7)]—[2x3+4—6]=131。練習91．在下面的算式里填上括號，使等式成立：4x6+24m6-5=15；(2)4x6+24m6-5=35；(3)4x6+24m6-5=48；(4)4x6+24m6-5=0。2．加上適當的運算符號和括號，使下式成立：12345=100。把0?9這十個數字填到下面的□里，組成三個等式(每個數字只能填一次)：□+□=□,□-□=□,□乂口=口口。在下面的□里填上+,-,x,m,()等符號，使各個等式成立：4口4口4口4=1,4口4口4口4=3,4口4口4口4=5,4口4口4口4=9。將2?7這六個數字分別填入下式的□中，使得等式成立：□+□-□=□*□十口。將1?9分別填入下式的九個□內，使算式取得最大值：將1?8分別填入下式的八個□內，使算式取得最小值：第10講數字謎（二）例1把下面算式中缺少的數字補上：□□90-□□口□1分析與解：一個四位數減去一個三位數，差是一個兩位數，也就是說被減數與減數相差不到100。四位數與三位數相差不到100，三位數必然大于900，四位數必然小于1100。由此我們找出解決本題的突破口在百位數上。（1）填百位與千位。由于被減數是四位數，減數是三位數，差是兩位數，所以減數的百位應填9，被減數的千位應填1，百位應填0，且十位相減時必須向百位借1。（2）填個位。由于被減數個位數字是0，差的個位數字是1，所以減數的個位數字是9。（3）填十位。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數十位上的實際數值是18，18分解成兩個一位數的和，只能是9與9，因此，減數與差的十位數字都是9。所求算式如右式。1090-99991由例1看出，考慮減法算式時，借位是一個重要條件。

例2在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字，求出這兩個算式：學學學學+1學學學學+1C努力努力學菸k學習4488￡432分析與解：（1）這是一道四個數連加的算式，其特點是相同數位上的數字相同，且個位與百位上的數字相同，即都是漢字“學”。從個位相同數相加的情況來看，和的個位數字是8，有兩種可能情況：2＋2+2+2=8與7+7+7+7=28，即“學”=2或7。如果“學”=2,那么要使三個“數”所代表的數字相加的和的個位數字為8,“數”

只能代表數字6。此時，百位上的和為“學”+“學”+1=2+2+1=5定4。因此“學寫2。如果“學”=7,那么要使三個“數”所代表的數字相加再加上個位進位的2,和的個位數字為8，“數”只能代表數字2。百位上兩個7相加要向千位進位1，由此可得“我”代表數字3。滿足條件的解如右式。727727Z74S8（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個位上都有“努”，5432-4444=988，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學”=9，“習”=1。力力學+力力學+力學勺988“+斗需105^32例2中的兩題形式類似，但題目特點并不相同，解法也不同，請同學們注意比較。例3下面豎式中每個漢字代表一個數字，不同的漢字代表不同的數字，求被乘數。

奧林匹克競賽分析與解：由于個位上的“賽"“賽”所得的積不再是“賽”，而是另一個數，所以“賽的取值只能是2，3，4，7，8，9。下面采用逐一試驗的方法求解。若“賽”=2，貝f數”=4,積=444444。被乘數為444444^2=222222,而被乘數各個數位上的數字各不相同，所以“賽寫2。若“賽”=3，貝“數”=9，仿(1)討論，也不行。若“賽”=4,貝(數”=6,積=666666。666666^4得不到整數商，不合題意。若“賽”=7，貝f數”=9，積=999999。被乘數為999999^7=142857，符合題意。(5)若“賽”=8或9，仿上討論可知，不合題意。所以，被乘數是142857。例4在□內填入適當的數字，使左下式的乘法豎式成立。GA；￡》：GA；￡》：CDEETBLjl：ljg二5口百□□Tn7n□r□口□L；□5□5"TwTuTTT分析與解：為清楚起見，我們用a，B，C，D,…表示□內應填入的數字(見右上式)。由被乘數大于500知，E=1。由于乘數的百位數與被乘數的乘積的末位數是5,故B,C中必有一個是5。若C=5,則有6口“5=(600+□口)><5=3000+口口^5,不可能等于口5口5,與題意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5,則F=A=9,此時被乘數為695,無論C為何值，它與695的積不可能等于口5口5,與題意不符，所以G=0,F=A=4。此時已求出被乘數是645，經試驗只有645x7滿足口5口5，所以C=7；最后由B=5,G=0知D為偶數，經試驗知D=2。

右式為所求豎式。G45發了21645129^4￡154650-15此類乘法豎式題應根據已給出的數字、乘法及加法的進位情況，先填比較容易的未知數，再依次填其余未知數。有時某未知數有幾種可能取值，需逐一試驗決定取舍。例5在□內填入適當數字，使左下方的除法豎式成立。□□□5/IBC5二口匕口二iznizo口斤二□□匚□□□□□--一□□□□□--一!J二□DDD□no□□□口'■'I-HG分析與解：把左上式改寫成右上式。根據除法豎式的特點知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除數應是99的兩位數的約數，可能取值有11,33和99，再由商的個位數是5以及5與除數的積是兩位數得到除數是11,進而知A=C-9。至此，除數與商都已求出，其余未知數都可填出（見右式）。g（］叭11J10004599T飛255此類除法豎式應根據除法豎式的特點，如商的空位補0、余數必須小于除數,以及空格間的相互關系等求解，只要求出除數和商，問題就迎刃而解了。例6把左下方除法算式中的*號換成數字，使之成為一個完整的式子（各*所表示的數字不一定相同）。980712JT17S841OS9~6968~i980712JT17S841OS9~6968~iEA分析與解：由上面的除法算式容易看出，商的十位數字“*”是0即商為麗。因為除數與8的積是兩位數，除數與商的千位數字的積是三位數，知商的千位數是9，即商為9807。因為“除數x9”是三位數，所以除數＞12；又因為“除數沁”是兩位數，所以除數＜12o推知除數只能是12。被除數為9807x12=117684。除法算式如上頁右式。練習101.在下面各豎式的□內填入合適的數字，使豎式成立：：:=J；J1丄口口3二⑶□眄十二□口-丁卩二E理□□_q口OA3946025二口口交喪口2口口口1J17丿11匚□23□□(Xr.g匚□氐□□□033□□□10U右面的加法算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。問：“小”代表什么數字？學生+少生學在下列各算式中，不同的漢字代表不同的數字相同的漢字代表相同的數字。求出下列各式叡K學習趣味數學趣菲茲褪咔-53I貌優優優優優4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的數字，不同的字母代表不同的3B昱C數字。這些算式中各字母分別代表什么數字？AFdCDDEFD'ADGEF3B昱C數字。這些算式中各字母分別代表什么數字？AFdCDDEFD'ADGEFCAHEADFAD答案練習91.(1)4x(6+24)三6-5=15；4x(6+24^6)-5=35；4x6+24^(6-5)=48；⑷4x[(6+24)m6-5]=0。2.(1x2+3)x4x5=100。3.3+6=9,8-7=1,4x5=20o(填法不唯一)4.(4+4)m(4+4)=1,(4+4+4)m4=3.(4x4+4)m4=5,4+4+4昌=9。5.6+7-3=5x4m2。6.941x852x763=611721516。提示：按下面兩個原則填數：①將較大的數填在高數位上；②各乘數之間的差盡量小。7.15x26x37x48=692640。67練習10”、+9991090疼4-7S9567練習10”、+9991090疼4-7S95143946026664662■7673413971632.