試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆北京市第十四中學高三上學期期中檢測數學試題一、單選題1．若集合，且，則集合可能是A． B．C． D．【答案】A【詳解】由子集的概念易知只有選項A中集合可能為集合的子集．故選A．2．函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令且即可求解.【詳解】由題意得：得且，所以函數的定義域為，故選：B【點睛】本題主要考查了求函數的定義域，屬于基礎題.3．已知向量，，若與共線，則實數（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】可求出，然后根據與共線即可得出，然后解出的值即可．【詳解】解：，，且與共線，，解得．故選：．4．將函數的圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據圖像平移即得解析式.【詳解】由題意可知，故選：B．5．已知是上的奇函數，當時,,則的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用函數的奇偶性，得到，進而得到或，進而求解即可【詳解】是上的奇函數，當時,，令,則有，則當時，，所以，，所以，當或，解得故選：C6．下列區間中，包含函數的零點的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判斷函數的單調性，再根據零點存在性定理判斷即可；【詳解】解：因為，所以在定義域上單調遞增，又，，，所以，所以，使得，即的零點位于；故選：B7．已知三角形，那么“”是“三角形為銳角三角形”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】在不等式兩邊平方并化簡得，判斷出角的屬性，再結合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】三角形中，“”，可得為銳角，此時三角形不一定為銳角三角形.三角形為銳角三角形為銳角.三角形，那么“”是“三角形為銳角三角形”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題考查必要而不充分條件的判斷，同時也考查了平面向量數量積的應用，考查推理能力，屬于中等題.8．若函數在一個周期內的圖象如圖所示，分別是這段圖象的最高點和最低點，且（為坐標原點），則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據圖象求出函數的周期，再求出的值，根據周期設出和的坐標，利用向量的坐標運算求出的值．【詳解】解：由圖知，則，設，則，解得，所以．故選D．【點睛】本題考查了由函數圖象求出函數解析式的方法，考查向量的數量積的計算，考查了讀圖能力．9．在棱長為2的正方體中，點E，F分別為棱AB，的中點.點P為線段EF上的動點.則下面結論中錯誤的是（

）A． B．平面C． D．是銳角【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量解決問題.【詳解】以D為坐標原點，分別以DA，DC，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，則，，，，所以，A正確；因為，平面，平面，所以平面，B正確；，所以，所以，C正確；，當時，，此時為鈍角，故D錯誤.故選：D10．在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質的量的濃度（單位mol/L，記作）和氫氧根離子的物質的量的濃度（單位mol/L，記作）的乘積等于常數．已知pH的定義為，健康人體血液的pH保持在7．35～7．45之間，那么健康人體血液中的可以為（參考數據：，）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題設有，又，所以，所以．又，只有在范圍之中，故選C．點睛：利用之間的關系把轉化為，再利用指對數的關系求出，從而得到的范圍，依次檢驗各值是否在這個范圍中即可．二、填空題11．若的兩個極值點為，，則______.【答案】0【分析】利用導數，求出函數的極值點即可得解.【詳解】由可得，令解得或，令解得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，所以函數的極值點為和，則.故答案為：012．已知平面和三條不同的直線m，n，l.給出下列六個論斷：①；②；③；④；⑤；⑥.以其中兩個論斷作為條件，使得成立.這兩個論斷可以是______.（填上你認為正確的一組序號）【答案】①④（或③⑥）【解析】根據空間中直線，平面的位置關系進行判斷即可.【詳解】對①④，由線面垂直的性質定理可知，若，，則，故可填①④對①⑤，若，，則；對①⑥，若，，則無法判斷的位置關系；對②④，若，，則；對②⑤，若，，則可能相交，平行或異面；對②⑥，若，，則無法判斷的位置關系；對③④，若，，則無法判斷的位置關系；對③⑤，若，，則無法判斷的位置關系；對③⑥，由平行的傳遞性可知，若，，則，故可填③⑥故答案為：①④（或③⑥）【點睛】本題主要考查了判斷空間中直線與直線，直線與平面的位置關系，屬于中檔題.三、雙空題13．已知，且.則=_________，=_________.【答案】

【解析】利用同角三角函數的基本關系求出，，再利用兩角差的正切公式計算可得；【詳解】解：因為，且，所以，所以，所以故答案為：，14．在中，，，則________；________.【答案】

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【分析】根據的余弦定理列出關于的方程，由此求解出的值；先根據二倍角公式將變形為，然后根據正弦定理以及的值即可計算出的值.【詳解】因為，所以，所以，所以（舍去），所以，故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：解本題第二空的關鍵是通過正弦二倍角公式先轉化為單倍角的三角函數，然后結合正弦定理將正弦值之比轉化為邊長之比，對于公式運用以及轉化計算有著較高要求.15．已知函數.①若，則函數的零點有______個；②若存在實數，使得函數有三個不同的零點，則實數的取值范圍是______.【答案】

2

【分析】空1：通過分類討論解方程判斷零點個數；空2：根據題意可得與有3個交點，在同一坐標系作出與的圖象，分類討論結合圖象分析求解.【詳解】空1：若，則函數，令，則有：當時，，解得或或（舍去）；當時，，解得（舍去）；故函數的零點為，共2個.空2：對于函數，則，令，則∴在上單調遞增，在上單調遞減，且，令，則，由題意可得：與有3個交點，如圖，在同一坐標系作出與的圖象，則有：當時，存在，使得與有3個交點，即成立；當時，與至多有2個交點，即不成立；當時，存在，使得與有3個交點，即成立；當時，與至多有2個交點，即不成立；故實數的取值范圍是.故答案為：2；.【點睛】判斷函數零點個數的方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，則方程解的個數即為零點的個數；(2)零點存在性定理：利用該定理不僅要求函數在[a，b]上是連續的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數的圖象和性質(如單調性)才能確定函數有多少個零點；(3)數形結合：對于給定的函數不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉化為兩個函數圖象，然后數形結合，看其交點的個數有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．四、解答題16．如圖，在三棱柱中，平面為線段上的一點.(1)求證：；(2)若為線段上的中點，求直線與平面所成角大小.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）由題意可得兩兩垂直，所以以為原點，分別以所在的直線為建立空間直角坐標系，利用空間向量證明即可，（2）先求出平面的法向量，然后利用空間向量的夾角公式求解即可.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，分別以所在的直線為建立空間直角坐標系，如圖所示，則,設，所以，所以，所以，所以（2）因為為線段上的中點，所以，所以，,設平面的法向量為，則，令，則，設直線與平面所成角為，則，因為，所以，所以直線與平面所成角的大小為.17．已知函數.(1)求的值；(2)求的最小正周期及對稱軸方程；(3)求在區間上的單調遞增區間.【答案】(1)1；(2)最小正周期為，對稱軸方程為；(3)和.【分析】（1）由題意利用三角恒等變換化簡函數的解析式，從而求得的值；（2）利用正弦函數的周期性及對稱性即得；（3）利用正弦函數的單調性結合條件即得；【詳解】（1）因為，所以；（2）因為，所以的最小正周期為，由，可得，所以函數的對稱軸方程為；（3）由，可得，即函數的單調遞增區間為，又，所以在上的單調遞增區間有和.18．開展中小學生課后服務，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的重要舉措，是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學生課后服務工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支持情況，現隨機抽取100個學生進行調查，獲得數據如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假設用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支持相互獨立.(1)從樣本中抽1人，求已知抽到的學生支持方案二的條件下，該學生是女生的概率；(2)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設為抽出兩人中女生的個數，求的分布列與數學期望；(3)在（2）中，表示抽出兩人中男生的個數，試判斷方差與的大小.（直接寫結果）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）利用古典概型的概率公式計算即可求解；（2）根據題意可得的可能取值為，求出所對應的概率，即可列出分布列，利用隨機變量的期望公式即可求解；（3）根據已知條件得出，再利用方差的性質即可求解.【詳解】（1）依題意支持方案二的學生中，男生有人、女生人，所以抽到的是女生的概率.（2）記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件，則，，則的可能取值為、、，所以，，

所以的分布列為：

所以.（3）依題意可得，所以，即.19．在平面直角坐標系中，設銳角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，將射線繞坐標原點按逆時針方向旋轉后與單位圓交于點.記.(1)求函數的值域；(2)設的角，，所對的邊分別為，，，若，，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由任意角三角函數的定義，利用輔助角公式，根據正弦函數的性質，可得答案；（2）由題意，求得角的值，利用余弦定理以及基本不等式，結合三角形面積公式，可得答案.【詳解】（1）由題意，得，所以，因為，所以，故.（2）因為，，所以，在中，由余弦定理得，即，即，當且僅當a=b時取等號，所以.20．已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)求函數的單調區間；(3)當時，如果曲線恒在軸上方，求的取值范圍.【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由導數的幾何意義求解，（2）由導數與單調性的關系求解，（3）由題意得不等式在上恒成立，參變分離后轉化為最值問題求解，【詳解】（1）時，，故，故切線方程是：，即；（2），①當時，由于，故，∴，∴的單調遞增區間為，無單調減區間；②當時，令，得，在區間上，；在區間上，；∴的單調遞增區間為，單調遞減區間為；綜上，當時，的單調遞增區間為，無單調減區間；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（3）由題意知在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，解得：；令，解得：；故在遞增，在遞減，而，∴在上，故，即a的范圍為21．已知橢圓的離心率為，且橢圓C經過點．（Ⅰ）求橢圓C的方程;（Ⅱ）已知過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，與直線交于點Q，設，，求證：為定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析【解