第四章函數的連續連續性概連續函數的性初等函數的連續4.1連續性概一、函數在一點的連續函數的增

fx)在Ux0內有定義

xU(x0x

xx0

稱為自變量在

x0的增量y

f(x)

fx0稱為函

fx)相應于x的增量yyyyf(0x0xyyf(0x0x連續的定1設函數

x在

x0)

數的增量y也趨向于零,即limy x0lim[x0

f(

x)

f(x0)]

0,那末就稱函fx)在點x0連續,x

稱為

x

xx,

y

f(x)

f(x00x0

0x

x0

y

0

f(x)

f(x0定義2設函數

x在

x0)內有定義,如果

x當x

x0時的極限存在,且等于它在0點x0

f(

),即

x

f(x)

f(x0

fx在點x

0""定義00,

x

時

(x)

f(x0

xx0

f(x)

f(x0

在x0有定極限存在左右極限存在并相例1

f(x)

xsin1

x

在x處連續

x證x0

xsinx

f(0

f(x)

f由定義2

x)

0處連續單側連若函數

x)在

x0內有定義且

(

0)

f(x0則稱

x)在點x0處左連續若函數

x)在x0b)內有定義且

(

0)

f(x0則稱

(x)在點x0處右連續定理

fx)

x0

fx)例2連續性

f(x)

xxx

xx

x

f(x)

lim(x2)

f

f(x)

lim(

2)

2

f右連續但不左連續故函

fx)在點

0處不連續連續函數與連續區

(a,b內連續

xa處右連續

在右端點

b處左連續,fx)在閉區間[a,b]上連續例如,有理整函數在區間(,)內是連續的例3

x在區間(,)內連續證

x(,),y

sin(x

x)sin

2sin222

x)

x)

2 對任意的當

有sin

2

x

當

0時

22

x對任

x(,)都是連續的例4證

yax在(,)內連 只須證

對

(,)，limaxxx0

ax0limy

lim[ax0

ax0

ax0

ax0

lim00

故y

ax在

(,)處連二、函數的間斷

在點x0處連續必須滿足的三個條件fx)在點x0處有定義

x

fx)

x

f(x)

f(x0如果上述三個條件中只要有一個不滿足,

在點x0處不連續(或間斷

并稱點x0fx)的不連續點(或間斷點在x0及其附近定義

或

(x)在x0無定義極限存

f(x)不存在跳躍間斷

x)在點x0處左

存在,但

(

0)

f(

則稱點

0fx)的跳躍間斷點0例5

f(x)

x在

0處的連續性1x,

x解f(00

f(0

0) f(00)

f(0

x

0為函數的跳躍間斷點 可去間斷點fx)在點x0但x

f(x)A

f(x0

fx)在點

0義則稱點x00

fx)的可去間斷點例6 x,

0

y1f(x)

xx

y 1在x

解

f(10) f(10)lim

f(x)

fx

0為函數的可去間斷點注意可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義,則可使其變為連續點.如例6中

令f(1) fx)

x,1

0x

在x

跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類特點函數在點x0處的左、右極限都存在第二類間斷

在點x0

則稱點x0fx)的第二類間斷點例7討論函

f(x)

1

x0,在

0處的連續性yoxyox

xf(00

f(0

0)

x

1為函數的第二類間斷點這種情況稱為無窮間斷點第一類間斷 第二類間斷

第一類間斷

1.f

還沒有支撐x

f(x)

y

f(x)f(x)在x0處的值 f(x0)f(x)在x0處連續這種間斷點稱為可去間斷點

補充補充定義f(x0)xx0 f(x)xx0f(x)情形1.：f(x)在x0處有或無但 f(x)xx0xx0f(x)存在 f(x)xf(x)在x0f(x0)f(x)在x0處連續這種間斷點稱為可去間斷點Oy哎正好yf(x)●●Ax x情形情形1.2：f(x)在x0處有定義但fx0)哎在這種情形下 f(x)x存在，但是Af(x0).因此如果我們修改定義f(x)在x0處的值為f(x0)那么這個新的f(x)在x0處連續這種間斷點稱為可去間斷點Oy正好●yf(x)●●Axxx修改定義f(x0)情形情形1.2：f(x)在x0處有定義但fx0)哎y在這種情形下，正好 f(x)x●yf(x)存在，但是Af(x0).因此如果我們修改定義f(x)在x0處的值為f(x0)那么這個新的f(x)在x0處連續●●A這種間斷點稱為可去間斷點Oxx0xx修改定義f(x0)情形

(x)在x0. xx0y

(x)

xx0

f(x),都存在

這點放哪兒能上呢 在這種情形下在這種情形下 f(x)xf(x)在x0處連續但分別考慮x0的左右兩邊，f(x)的單側極這種間斷點稱為跳躍間斷點●

(x)● 情形3：f(x)在x0處

x

xx0

f(x)

和xx0

f(x)一個為或或此時，直

y

(x)x稱為y

f(x)的漸進 ●

4：fx)在x0處有

（無）定y1

ysinx x●：Hi,藍點，你停不住，

●：Hi,紅點，你能不能停例8討論函

f(x)

1在x

0處的連續性在x0處沒有定義1且x0

不存在xx

0yysinx這種情況稱為的振蕩間斷點注意不要以為函數的間斷點只是個別的幾個點 雷函yD(x)

當x是無理數時★f(x)

當x是有理數時 x,

當x是無理數時僅在x=0處連續,其余各點處處間斷★f(x)

當x是有理數時

當x是無理數時在定義R內每一點處都間斷,但其絕對值處判斷下列間斷點類型yyfx 例9當a取何值時afxa

cos

x

x

0處連續解f(0

x

f(x)

limcosx

f(x)

lim(a

x)a,

(00)

f(0

0)

f

a故當且僅

時

x)

0處連續例 討

f(x)

lim1

x2n2n

xn1若有間斷點判別其類型，并作出圖解由于

故若

f(x)

xlim1

x2n2n n1若|

1

x2n

(1)2nf(x)

xn1

x2n

x

(1)2n

若|

f(x) 0 f(x)0

|x||x|x|x|fx)除去

1

當x

f(10)f(10)1都是第一類間斷點（跳躍間斷點三、小函數在一點連續必須滿足的三個條件區間上的連續函數間斷點的分類與判別間斷

第二類間斷點:無窮型,振蕩型

(見下圖y可去oy可去ox yoyox無窮

跳躍xx振蕩0思考00fx在x0連續，則0

fx|

2x)在x否連續？又若x0是否連續？

fx|

2x)在x