1、課時分層作業十七定積分的概念與微積分基本定理、定積分的簡單應用一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(x2+x3-30)dx=()A.56B.28C.D.14【解析】選C.(x2+x3-30)dx=(43-23)+(44-24)-30(4-2)=.【變式備選】下列積分的值等于1的是()A.xdxB.(x+1)dxC.dxD.dx【解析】選C.dx=x=1.2.設函數f(x)=則定積分f(x)dx等于()A.B.2C.D.【解析】選C.f(x)dx=x2dx+dx=x3+x=.3.(2018廈門模擬)設函數f(x)=xm+ax的導函數f(x)=2x+1,則f(-x)dx的值等于()A.B.C.D

2、.【解析】選A.f(x)=mxm-1+a=2x+1,得m=2,a=1,所以f(x)=x2+x,所以f(-x)=x2-x,所以f(-x)dx=(x2-x)dx=.4.(2018新余模擬)已知(x2+mx)dx=0,則實數m的值為()A.-B.-C.-1D.-2【解析】選B.根據題意有(x2+mx)dx=(x3+mx2)=+m=0,解得m=-.5.(2018長沙模擬)如圖,矩形OABC內的陰影部分是由曲線f(x)=sinx(x(0,)及直線x=a(a(0,)與x軸圍成,向矩形OABC內隨機投擲一點,若落在陰影部分的概率為,則a的值是()A.B.C.D.【解題指南】先運用定積分求出陰影部分的面積,再

3、利用幾何概型概率計算公式及三角函數求出a.【解析】選B.由已知S矩形OABC=a=6,而陰影部分的面積為S=1-cosa,sinxdx=(-cosx)依題意有=,即=,得:cosa=-,又a(0,),所以a=.6.一列火車在平直的鐵軌上行駛,由于遇到緊急情況,火車以速度v(t)=5-t+(t的單位:s,v的單位:m/s)緊急剎車至停止.在此期間火車繼續行駛的距離是()A.55ln10mB.55ln11mC.(12+55ln7)mD.(12+55ln6)m【解析】選B.令5-t+10s;行駛的距離=0,注意到t0,得t=10,即經過的時間為s=dt=5t-t2+55ln(t+1)=55ln11,

4、即緊急剎車后火車運行的路程為55ln11m.7.(2018南昌模擬)若a=的大小關系是()A.acbB.abcC.cbaD.ca3,c=sinxdx=(-cosx)=1-cos22,所以ca0)所圍成的曲邊圖形的面積為,則k=_.【解析】由得或則曲線y=x2與直線y=kx(k0)所圍成的曲邊梯形的面積為(kx-x2)dx=-k3=,即k3=8,所以k=2.答案:21.(5分)(2018珠海模擬)由曲線y=x2和直線x=0,x=1,y=t2(t為常數且t(0,1)所圍成的圖形(陰影部分)的面積的最小值為()A.B.C.D.【解析】選A.由得x=t.故S=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=t

5、3-t2+,令S=4t2-2t=0,因為0t0),代入點B的坐標,得p=,故拋物線的方程為y=x2.從而曲邊三角形OEB的面積為x2dx=.又SABE=22=2,故曲邊三角形OAB的面積為,從而圖中陰影部分的面積為.又易知等腰梯形ABCD的面積為2=16,則原始的最大流量與當前最大流量的比值為答案:1.2=1.2.【誤區警示】本題的解析中容量忽略圖象的對稱性,計算結果時,陰影部分的面積應為.4.(12分)如圖所示,過點A(6,4)作曲線f(x)=的切線l.(1)求切線l的方程.(2)求切線l,x軸及曲線f(x)=所圍成的封閉圖形的面積S.【解析】(1)由f(x)=,所以f(x)=.又點A(6,

6、4)為切點,所以f(6)=,因此切線方程為y-4=(x-6),即x-2y+2=0.(2)令f(x)=0,則x=2,即點C(2,0).在x-2y+2=0中,令y=0,則x=-2,所以點B(-2,0).故S=dx-dx=-(4x-8=.5.(13分)(2018天水模擬)在區間0,1上給定曲線y=x2.試在此區間內確定t的值,使圖中的陰影部分的面積S與S之和最小,并求最12小值.【解析】面積S等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線y=x2與x軸、1直線x=t所圍成的面積,即S=tt2-x2dx=t3.S的面積等于曲線12y=x2與x軸,x=t,x=1圍成的面積去掉矩形面積,矩形邊長分別為t2,1-t,即S=x2dx-t2(1-t)=t3-t2+.2所以陰影部分面積S=S+S=t