一、定積分二、定積分三、廣義積分五、平面曲線六、積分應一、不定積通過簡單變形,利用基本積分公式和運算法則(要求記住基本積分公式）.花了幾萬元報 一 電氣工程師考 強化班。去年該強化 非常高，需要該輔導強化班資料的朋 免費索g(x)dx

f

F[(x)]

的原函數易求，且F(x)

f(x)dx

1d(ax

xkdx

(k

d

exdx

d(ex

1dx

d

(x

xdx

xdx

d(cos

d

x)

d(arccot1x21x21x2

d

x)

x1x

2d x

x

xdx

xdx

dxx

d(tanx)

1dxx2

d x

ax

lna1求

2x1解 2x1

d(2x 2x1

dx

1d(2x2

1

|2x1| 非常高，需要該輔導強化班資料的朋 免費索例2求

x2

x23dx=xdx1xdx1d(x22

x2

x2

=12

12

(x23

13)2 1(x23

3)2x(t

(t)

f

(t)

1(x)]

(t)單調可導，有反函數積分

f

u

uv

vu一般經驗:按“反對冪,三u花了幾萬元報 一 電氣工程師考 強化班。去年該強化 來者不拒，逐一陸續發送給大家，希望大家都能順利通過考試拿證。例3求積分

x2exdx. u

x2

exdx

de

dv,x2exdx

x2de

x2ex

exdx2x2ex

（再次使用分部積分法）u

exdx

x2exdx

x2ex

x2ex

exdx)x2ex

ex)C.ex(x2

2x

4

fx)的一個原函數是ex2,求

xf(x)dx.

(x)dx

(

xf(x)

f(

f(

(

e

C兩邊同時

x求導

f(x)

2xex2

(x)dx

xf(x)

f(2

e

C二、定 af(x)dxIlim

f

)xibbbb

i性質

f(x)g(x)]dxb b

f(x)dxag(x)dx性質

akf(x)dxk

f k為常數b性質

af(x)dx

f(x)dx f(b性質b

a1dx

dx

bb性質 如果在區間[a,b]上bb

(x)0，則afx)dx

(ab推論b

如果在區間[ab]

f(x)

g(x)，bb則bb

f(

g(

(ab)bb

a

(x)dx

f(

(a性質

設M及m分別是函

fx)在區間[ab m(ba)b

f(x)dx

M(b

a).性質7(定積分中值定理

fx)在閉區間[ab]上連續b積分中值公使af(x)dxf()(ba) (a積分中值公fx)在[ab]上連續，則積分上限的xxdx f(t)dt在[ab]上具有導數，且它的導xdx

dx

f(t)dt

f(x)

(a

xb)f(t)連續，ax)、bx)可導則Fx)

b(xa(x

f(t)dt的導數Fx)F(x)

b(xfa(x

(t)dt

fb(x)b(x)

fa(x)a(x)如果Fx)是連續函數b

fx)在區間[ab]上的b b

(x)dx

F(b)

F(a)也可寫

a

[F(x)]ba牛頓—萊布尼茨公a表明

續函數在區間

上的定積分等它的任一原函數在區間 上的[,湊微分第二類換bab

(x)dx

f[(t)](t換元公b分部積換元公bbab

aa分部積分公a（1）

fx)在[a,

a]fx)

f(

f(x)dxafx)為奇函數，則

f(

0.(2)In

0

xdx

20

n1n

33

1

n為正偶 n

nn

4 4

為大于1的正奇 n 51例 求1

x

1x2

dx2

1 111

x

tarcsin

020

t

tdt1 11

4x2)2 解(x 4

)11

[x2

2x

4x2

x21 dx11三、廣義積無窮限的廣義積f(a

bbb

f(bb

f(

bab

f(函數的廣義積babbabb

(x)dx(x)dx

c

bb

f(f(bbab

(x)dx

f(x)dx

f(

c

c

f(四、重積分（化為累次積分1.1.

f

y)d

k

f(x,

y)d

k為常數

f

f

y)

f

d12為D的面積12D1dDd

f

y)

(x,

yDf D特別,由于

f(x,

f(x,y)

f(x,y)設

f

y)d

D的面積為則

f

y)

連續,為D的面積,則至少存在一

f

f(,) 非常高，需要該輔導強化班資料的朋 免費索若DX

(x)

y

(x)

y2(x)D:

ax xboay(x)bb

f

y)dxd

a

x2(1(x)

f

y)d若D為Y–型區域D

(y)

x

2(y)

x2(d c

y

x1(d d

d

2((y)

f

y)dx 1D

xy2d其中Dyx

y1x

x2 D:1xx2

yx,1 xx2

yyD

2DyxDy

2x1( 2x1y

xx 2(x1

943.

f

y)d

f(rcos,rsin

rdr注：在極坐標系下x2y2r2花了幾萬元報 一 電氣工程師考 強化班。去年該強化 非常高，需要該輔導強化班資料的朋 免費索例9.計算二重積 其中D為圓提示由于積分區域關于X軸對稱，

r

RD:

R20r2

R2R3

(1sin3)20I0dx20

f

y)dy 例10.x例10.x22

dx0

8

f(x,

y)d解:積分域由兩部分組成

000

x xx

D2:00

y2x

8x2

x22y1x

y2將D

視為Y–型區域,

188y22 x2

2 D:

0y

8y2I

f

y)dxd

0dy2

f(x,

y)dxzxzzxzz1(x,yD

zz2(x,方法方法1.將在xoy面上投影，投影區域為D:y1(x)yy2(x)axbaxbb而b

y)z

z2(x,

f

y,z)d

a

y2(

dy

z2(x,z1(x,y)

f

y,z)dzzbzaxDzyzbzaxDzy

z

f

y,z)dx

ydza記作bdza

f(x,

y,z)dxd2.2.

f

y,z)dxd

dddz柱坐標。

f

y,z)dxd

f(r

cos,r

,rcos)r

sin

drdd注：在x2

z2

r2五、平面曲線對弧長的曲線積分的計 轉

f

y)ds

f

(t)

2(t

2(t)dL

積分限必須滿足如果曲線L的方程 則bb

f(x,(x))

12(x)dx 非常高，需要該輔導強化班資料的朋 免費索

t順tt例11.L例11.yoyyoyx2L1

O解:L:yx2 (0

x110x110

14x2dx 12(1

)201(

51)L上有定義且連續L的參數方程為存在,且有

xy y

(t)(t)

t:

(t),

(t)](t)

(t),

(t)](t)d特別是L

y

(x),

x:

bP[x,

(x)]Q[x,

(x)]

例12.其中L例12.半徑為a圓心在原點 上半圓周,方向為逆時針方向 Aa,0xB(–a,0解(1取L

y2dx0

a2sin2

(asint)d

213

4a33(2L的方程為

x:

a, 3.格3.格林公DL圍成,D上具有連續一階偏導數,則有

P

xD

dxdyy

L

例13.例13.O(00)A(4解為了使用格林公式添加輔助線段區域為D,則

AO,它與L原式 (x2L

3y)

(y2

x)d (x2

3y)

(y2

x)d4

dxdy

4x2dx LDLD

3

A1.六、積分應1.

y

f(x)設曲線與直x

oax

xbbA,b

y

f1(x)

y

(x)Aaf(x)bAb

f1(x)

f2(x)

ax

d b例14.例14.所圍圖形的面積yy2yy2yx2ox1x

(0,

A1 xx2A1xd3例15.例15.解:利用對稱性,有dAa

y yA40yd

oxxdx xyy

bsin

(0

44ab1

4ab2aab

t(1(1曲線弧由直角坐標方程給出

bsb

1y2dx

y

(x)1f21f