專題02空間向量與空間幾何體類型一：異面直線夾角1．（2022·新疆·烏魯木齊101中學高二期中（理））如圖，在棱長為1的正方體中，下列結論不正確的是（

）A．異面直線與所成的角為B．二面角的正切值為C．直線與平面所成的角為D．四面體的外接球體積為【答案】C【解析】以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，A選項，設異面直線與所成的角為，則，故異面直線與所成的角為，A正確；B選項，設平面的法向量為，則有，令得：，則，平面的法向量為，設二面角的大小為，顯然為銳角，則，所以，，故二面角的正切值為，B正確；C選項，設平面的法向量為，則令，則，所以，設直線與平面所成的角為，則，則，C錯誤；D選項，四面體的外接球即為正方體的外接球，設外接球半徑為R，則，則外接球體積為，D正確.故選：C2．（2022·福建寧德·高二期中）若異面直線，的方向向量分別是，，則異面直線與的夾角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題，，，則，故選：B3．（2022·江蘇常州·高二期中）直三棱柱中，，則與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，以為原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，設，可得，，，.，故BM與AN所成角的余弦值為故選：A.4．（2022·全國·高二單元測試）在正方體中，若M是棱的中點，點O為底面ABCD的中心，P為棱上任意一點，則異面直線OP與AM所成角的大小為（

）A． B． C． D．與P點位置無關【答案】C【解析】如圖，以為軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，設，，∴，∴，即．∴直線與直線所成的角為．故選：C.類型二：線面角5．（2022·福建龍巖·高二期中）如圖，正三棱柱的所有棱長都相等，E，F，G分別為AB，，的中點，則EF與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設正三棱柱的棱長為2，取的中點，連接，，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，，設平面的法向量為，則，取，則，，故為平面的一個法向量，EF與平面所成角為，則EF與平面所成角的正弦值為，故選：A．6．（2022·廣東深圳·高二期末）已知在空間直角坐標系（O為坐標原點）中，點關于x軸的對稱點為點B，則z軸與平面OAB所成的線面角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為點關于x軸的對稱點為，所以，．設平面OAB的一個法向量為，則得所以，令，得，所以．又z軸的一個方向向量為，設z軸與平面OAB所成的線面角為，則，所以所求的線面角為，故選：B．7．（2022·天津天津·高二期末）已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，側棱與底面垂直，若點C到平面AB1D1的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】如圖，連接交于點，過點作于，則平面，則，設，則，則根據三角形面積得，代入解得．以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，設平面的法向量為，，，則，即，令，得．，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故選：．8．（2022·江蘇·揚州中學高二期中）如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點，則直線與平面BDE所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以點D為原點，，，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，，，，所以，，，設平面BDE的一個法向量，則，即，令，則，，所以平面BDE的一個法向量，設直線與平面BDE所成角為，所以．故選：D.9．（2022·河南·鄢陵一中高二期中（理））如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知是邊的中點，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】以為坐標原點，以，，的方向分別為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以.取平面的一個法向量為，則，即與平面所成角的正弦值為.故選：A.類型三：空間距離問題10．（2022·江蘇常州·高二期中）已知正方體的棱長為2，，分別為上底面和側面的中心，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，易知，設平面的法向量，則，令，解得，故點到平面的距離為.故選：A.11．（2022·江蘇揚州·高二期中）給出以下命題，其中正確的是（

）A．直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與平行B．直線的方向向量為，平面的法向量為，則C．平面?的法向量分別為，，則D．已知直線過點，且方向向量為，則點到的距離為【答案】D【解析】對于A，，與不平行.對于B，，與不平行；對于C，，與不垂直；對于D，直線過點，且方向向量為直線的標準方程為過點作與已知直線垂直相交的平面，且設直線與平面的交點為，則到直線的距離可轉化為到的距離；方向向量為平面的方程為：即：設垂足，點在平面上，則解得：故選：D.12．（2022·河南洛陽·高二期末（理））120°的二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知，，，則CD的長為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知可得：，，，，＝41，∴.故選：B．13．（2022·河北滄州·高二期末）在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．6【答案】C【解析】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.類型四：二面角14．（2022·全國·高二課時練習）如圖一副直角三角板，現將兩三角板拼成直二面角，得到四面體，則下列敘述正確的是（

）①平面的法向量與平面的法向量垂直；②異面直線與所成的角為；③四面體有外接球；④直線與平面所成的角為.A．②④ B．③ C．③④ D．①②③④【答案】C【解析】①平面的法向量與平面的法向量垂直，而與平面的法向量不垂直，故錯誤；②過作的平行線，過作的平行線，兩平行線交于點，聯結，則就是異面直線與的夾角，過作，聯結、，若，則，由，面面，面面，面，∴面，面，則，同理可證，∴，，易得，故錯誤；③由于所有的四面體都有外接球，故正確；④因為平面，所以與平面所成的角是，正確.故選：C15．（2022·河南·華中師范大學附屬息縣高級中學高二階段練習（理））已知矩形ABCD，，，將沿AC折起到的位置若，則二面角平面角的余弦值的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：作，垂足分別為，過點作交于點，則，所以即為二面角的平面角，由矩形ABCD，可得，則，所以，因為，所以，即，所以，因為，所以.所以二面角平面角的余弦值的大小為.故選：C.16．（2022·北京八中高二期末）已知長方體中，，，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】建立如圖所示空間直角坐標系：則，所以，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，易知平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，故選：A二、解答題1．（2022·安徽·高二階段練習）如圖1，已知矩形ABCD，其中，，線段AD，BC的中點分別為點E，F，現將沿著BE折疊，使點A到達點P，得到四棱錐，如圖2.(1)求證：；(2)當四棱錐體積最大時，求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)取BE的中點O，連接PO，OF，因為，，線段AD，BC的中點分別為點E，F，所以，，又因為，所以，在等腰直角中，，，所以平面PFO，因為平面PFO，所以.(2)當四棱錐體積最大時，點P在平面BCDE的射影即為點O，即平面BCDE.法一：以OB，OF，OP方向為x軸，y軸和z軸分別建立空間直角坐標系.如圖3.則，，，，設平面PEC的法向量為，則取，可得易得平面ECB的一個法向量所以因為二面角是銳角，所以二面角的大小為.法二：在中，因為，，，所以.在中，，，，所以.由二面角的定義可知，二面角的平面角就是.所以二面角的大小為.2．（2022·黑龍江·高二期中）在邊長為2的菱形中，，點是邊的中點（如圖1），將沿折起到的位置，連接，，得到四棱錐（如圖2）．(1)證明：平面；(2)若，連接，求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：由題設，為菱形，且，故為正三角形.又是的中點，∴，即，

又，且平面，∴面．(2)由，結合（1）可構建以為原點，，，為、、軸正方向的空間直角坐標系，則，，，，∴，，，設是面的一個法向量，則，令，則，設直線與平面所成角為，則∴，故故直線與平面所成角的余弦值為．3．（2022·北京市第十二中學高二期中）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，E是棱的中點．(1)證明：平面；(2)若，F為棱上一點，與平面所成角的大小為，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)如圖，連接交于點，連接，因為是的中點，是的中點，所以又平面，平面，所以平面(2)因為，所以，故以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則，即，故取，設，則因為直線與平面所成角的大小為，所以，即解得，故此時.4．（2022·河南·高二階段練習（理））如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，點Q為線段PC的中點.(1)求證：平面BDQ⊥平面PAC；(2)若PA＝AC＝4，AB＝2，求二面角A﹣BQ﹣D的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA，又因為PA∩AC＝A，平面PAC,所以BD⊥平面PAC，因為BD?平面BDQ，所以平面BDQ⊥平面PAC.(2)解：設BD∩AC＝O，因為PA⊥平面ABCD，Q為PC的中點，O為AC的中點，OQ∥PA，所以OQ⊥平面ABCD.由綜上所述知，OB，OC，OQ兩兩互相垂直，所以可建立空間直角坐標系如圖所示；根據已知條件可求各點坐標如下：O（0，0，0）、A（0，﹣2，0）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、Q（0，0，2）、P（0，﹣2，4）；所以，設平面ABQ的法向量為，則，即，令y＝﹣1，，平面BDQ的一個法向量為，設二面角A﹣BQ﹣D為θ，由已知可得，.所以二面角A﹣BQ﹣D的余弦值為.一、單選題1．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學高二期中（理））已知動點P在正方體的對角線(不含端點)上.設，若為鈍角，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設，建立如圖所示的空間直角坐標系，用坐標法計算，利用不是平角，可得為鈍角等價于，即，即可求出實數的取值范圍.設正方體的棱長為1，則有∴，∴設，∴，，由圖知不是平角，∴為鈍角等價于，∴，∴，解得∴的取值范圍是故選：C.2．（2022·廣東·高二階段練習）如圖所示，已知等腰直角三角形ADE與正方形ABCD所在的平面互相垂直，且，F是線段CD的中點，則BD與EF所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為平面ADE⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，AE⊥AD，平面ADE，所以AE⊥平面ABCD，又平面ABCD，所以AE⊥AB，又AB⊥AD，所以AB，AD，AE兩兩垂直，分別以AB、AD、AE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：可得B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（1，2，0），∴，，設BD與EF所成的角大小為α，則，即BD與EF所成的角的余弦值為，故選：D.3．（2022·安徽·高二開學考試）已知正方體的棱長為3，點E在上底面內(不包含邊界)，若，則AE與平面所成角的正弦值的最大值為(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.，即，∴，∴點E為在四邊形內，以為圓心，1為半徑的四分之一圓上，設，且，∴，，.設平面的法向量，則，令，則.設AE與平面所成角為，則，當且僅當時，有最大值.故選：C.4．（2022·河南·焦作市第一中學高二期中（理））已知四棱錐的底面是邊長為1的正方形，平面，線段的中點分別為，，若異面直線與所成角的余弦值為，則（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【解析】如圖示，以D為原點，分別為x、y、z軸正方向聯立空間直角坐標系.不妨設.則，，，，，，.所以，.因為異面直線與所成角的余弦值為，所以，解得：t=2.即2.故選：C5．（2022·全國·高二課時練習）設空間直角坐標系中有、、、四個點，其坐標分別為、、、，下列說法正確的是（

）A．存在唯一的一個不過點、的平面，使得點和點到平面的距離相等B．存在唯一的一個過點的平面，使得，C．存在唯一的一個不過、、、的平面，使得，D．存在唯一的一個過、點的平面使得直線與的夾角正弦值為【答案】B【解析】對于A選項，當平面或平面過線段的中點時，點和點到平面的距離相等，A選項錯誤；對于B選項，，，，，，，設，則，該方程組無解，所以，、、、四點不共面，則與異面，而過點且與垂直的平面有且只有一個，若，由于，則與共面，矛盾，所以，，B選項正確；對于C選項，由于、異面，設為、的公垂線段，且，，在直線（異于、）的任意一點作平面，使得，則，，這樣的平面有無數個，C選項錯誤；對于D選項，設平面的一個法向量為，，，由題意可得，，所以，，整理得，，即方程有兩個不等的實數解，所以，存在兩個過、點的平面使得直線與的夾角正弦值為，D選項錯誤.故選：B.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應的三角形，即可求出結果；（2）向量法：建立適當的空間直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結果.二、多選題6．（2022·湖北恩施·高二期中）如圖，在棱長為1的正方體中，M為BC的中點，則下列結論正確的有（

）A．AM與所成角的余弦值為B．C到平面的距離為C．過點A，M，的平面截正方體所得截面的面積為D．四面體內切球的表面積為【答案】ABD【解析】對于A，構建如圖①所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，故A正確；對于B，方法1：如圖②，連接AC，由正方體幾何特征得：，又面，面，面，設C到平面的距離為d，即點A到平面的距離，，即，求得.方法2：根據圖①，,，，，設平面的法向量，則，即，令得：，平面的一個法向量為，，設C到平面的距離為d，則，故B正確；對于C，取的中點N，連接，，，則，如圖②所示，則梯形為過點A，M，的平面截正方體所得的截面，易知，，，可得梯形的高為，則梯形的面積，故C錯誤；對于D，易知四面體的體積，因為四面體的棱長都為，所以其表面積.設四面體內切球的半徑為r，則，解得，所以四面體內切球的表面積為，故D正確.故選：ABD.7．（2022·江蘇省濱海中學高二期中）已知四棱錐的底面為直角梯形，,底面，且,是的中點，則下列正確的有（

）A．平面平面B．與平面所成的角的余弦值為C．點到平面的距離為D．平面與平面所成二面角的余弦值為【答案】AC【解析】對于A，由題意,底面,可得,又四棱錐的底面為直角梯形,且，則,又平面，平面所以平面,又平面，所以平面平面,故A正確建立如圖所示的坐標系,可得,,可得，，設平面的法向量，則即令，則，所以又，設與平面所成的角大小為則，所以，故B錯誤點到平面的距離，故C正確設平面AMC的法向量,平面BMC的法向量,由得令,得,所以,同理可求,設平面AMC與平面BMC所成二面角的大小為，為鈍角所以所以平面AMC與平面BMC所成二面角的余弦值為.故D錯誤故選：AC三、解答題8．（2022·江蘇南通·高二期中）如圖，四棱錐中，平面，，，點在棱上，，，，.(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)證明：因為，，，所以，，又因為，即，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為，則，因為平面，平面，則，，平面.(2)：因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.9．（2022·河南·濮陽一高高二期中（理））在三棱柱中，AB⊥BC，．(1)求證：平面平面ABC；(2)若，求銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：取AC中點為O，連接，BO．由已知條件知，，∴，，．又，∴．又，AC，平面ABC，∴平面ABC．又平面，∴平面平面ABC．(2)由（1）知OB，OC，兩兩垂直，故以O為坐標原點，OB，OC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．，∴，∴，．令平面NAC的法向量，則，即令z＝1，則