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文檔簡介

研究生課程《微分方程幾何理論》教學大綱課程編號：Math2075課程名稱：微分方程幾何理論英文名稱：GeometricTheoryofDifferentialEquation開課單位：數學科學學院開課學期：秋課內學時：34教學方式：講授適用專業及層次：數學專業、碩士研究生考核方式：筆試預修課程：數學分析、高等代數、解析幾何、常微分方程一、教學目標與要求本課程較全面、系統地介紹微分方程的基本理論、方法和某些應用。重點是微分方程解的存在性與唯一性，解的開拓，解對初值的連續依賴性與可微性，解對參數的連續性與可微性；常系數線性系統，非線性系統的平衡點與平衡點的穩定性，線性近似方程為中心的情況，非線性系統的高階平衡點；極限環與極限環穩定性的定義，后繼函數與極限環，極限環的指數與穩定性判斷法，平衡點的指數，極限環位置的估計，無窮遠點，全局拓撲結構圖；流，動力系統，導算子，軌線的極限狀態與極限集的性質，截割與流匣，平面極限集的性質與Poincaré-Bendixson定理，Poincaré-Bendixson應用等。難點是極限環位置的估計與極限環唯幾性，全局拓撲結構圖和Poincaré-Bendixson的應用等。通過本課程學習，主要是培養研究生的抽象思維與邏輯推理能力，提高研究生的數學素養。在重視數學論證的同時，強調數學概念的物理、力學等實際背景，培養研究生應用數學知識解決實際工程技術問題的能力。通過本課程的學習，要求研究生掌握矩陣的基本理論和方法，為學習后繼課程、開展科學研究打好基礎。二、課程內容與學時分配第一章基本定理（8學時）1．1微分方程解的存在性與唯一性1．2解的開拓1．3解對初值的連續依賴性與可微性1．4解對參數的連續性與可微性第二章二維系統的平衡點（8學時）2．1常系數線性系統2．2非線性系統的平衡點與平衡點的穩定性2．3線性近似方程為中心的情況2．4非線性系統的高階平衡點第三章二維系統的極限環（9學時）3．1極限環與極限環穩定性的定義3．2后繼函數與極限環3．3極限環的指數與穩定性判斷法3．4平衡點的指數3．5極限環位置的估計3．6無窮遠點3．7全局拓撲結構圖第四章動力系統（9學時）4．1流4．2動力系統4．3導算子4．4軌線的極限狀態與極限集的性質4．5截割與流匣4．6平面極限集的性質與Poincaré-Bendixson定理4．7Poincaré-Bendixson定理的應用四、教材張錦炎，常微分方程幾何理論與分支問題，北京大學出版社，1980主要參考書1．北京大學，高等代數，北京：高等教育出版社，第二版，19882．Lefschetz,S.,DifferentialEquations:GeometricTheory,NewYork,JornWiley,19623．韓茂安，朱德明

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