三角恒等變換公式及其證明一、 兩角和、差的三角函數公式1）cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ????????????????????①證明：利用三角函數線證明.（詳見課本必修4P125）cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ?????????????????????②證明：cos（α＋β）＝cos[α－（－β）]＝cosαcos（－β）＋sinαsin（－β）＝cosαcosβ－sinαsinβ.例：求cos105°.解：cos105°＝cos（60°＋45°）＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝1×2－3×222222－642－6.42）sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ????????????????????③證明：sin（α＋β）＝cos[π2－（α＋β）]＝cos[（π2－α）－β]cos（π2－α）cosβ＋sin（π2－α）sinβsinαcosβ＋cosαsinβ.sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ?????????????????????④證明：sin（α－β）＝sin[α＋（－β）]＝sinαcos（－β）＋cosαsin（－β）sinαcosβ－cosαsinβ.3）tan（α＋β）＝tan＋tan??????????????????????⑤1－tantan證明：tan（α＋β）＝sin(＋)＝sincos＋cossincos(＋)coscos－sinsin＝tan＋tan.1－tantantan－tan???????????????????????⑥tan（α－β）＝1＋tantan證明：tan（α－β）＝tan[α＋（－β）]＝tan＋tan(－)＝tan－tan.1－tantan(－)1＋tantan—1—二、 二倍角公式（1）cos2α＝cos2α－sin2α??????????????????????????⑦證明：cos2α＝cos（α＋α）＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α.2）sin2α＝2sinαcosα????????????????????????????⑧證明：sin2α＝sin（α＋α）＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα.（3）tan2α＝2tan???????????????????????????⑨1－tan2證明：tan2α＝tan（α＋α）＝tan＋tan＝2tan.－tan1－tan21tan變式：公式⑦變式：cos2α＝cos2α－sin2α＝（1－sin2α）－sin2α＝1－2sin2α???????????⑩＝cos2α－（1－cos2α）＝2cos2α－1??????????? ○11公式⑩變式：2cos2α＝1－2sinαsin2α＝1－cos2.○122公式○11變式：cos2α＝2cos2α－12cos2α＝cos2α＋1cos2α＝cos2＋1.○132公式○12和○13合稱降冪公式 .公式○12變式：sin＝±1－cos??????????????????○1422證明：1－cos2sin2α＝2sin2＝1－cos22sin＝±1－cos.22公式○13變式：cos＝±cos＋1??????????????????○1522證明：cos2cos2＋1α＝2—2—cos22＝cos＋12coscos＋1＝±.22公式○14和○15合稱半角公式 .三、 輔助角公式asinx±bcosx＝a2＋b2sin（x±），其中tan＝b.??????????○16a22abcosx）證明：（如圖）asinx±