..考點05函數的性質〔單調性、奇偶性[高考再現]熱點一函數的單調性1.〔20XX高考〔天津文下列函數中,既是偶函數,又在區間內是增函數的為〔A． B． C． D．2.〔20XX高考〔XX文下列函數中,既是奇函數又是增函數的為 〔A． B． C． D．[答案]D[解析]該題主要考察函數的奇偶性和單調性,理解和掌握基本函數的性質是關鍵.A是增函數,不是奇函數；B和C都不是定義域內的增函數,排除,只有D正確,因此選D.3.〔20XX高考〔XX文若函數的單調遞增區間是,則[方法總結]1.對于給出具體解析式的函數,證明其在某區間上的單調性有兩種方法：<1>可以結合定義<基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷>求解．<2>可導函數則可以利用導數解之．但是,對于抽象函數單調性的證明,一般采用定義法進行.2.求函數的單調區間與確定單調性的方法一致．<1>利用已知函數的單調性,即轉化為已知函數的和、差或復合函數,求單調區間．<2>定義法：先求定義域,再利用單調性定義確定單調區間．<3>圖象法：如果f<x>是以圖象形式給出的,或者f<x>的圖象易作出,可由圖象的直觀性寫出它的單調區間．<4>導數法：利用導數取值的正負確定函數的單調區間.3.函數單調性的應用：f<x>在定義域上<或某一單調區間上>具有單調性,則f<x1><f<x2>f<x1>－f<x2><0,若函數是增函數,則f<x1><f<x2>x1<x2,函數不等式<或方程>的求解,總是想方設法去掉抽象函數的符號,化為一般不等式<或方程>求解,但無論如何都必須在定義域內或給定的范圍內進行．熱點二函數的奇偶性4.〔20XX高考〔XX文<函數>下列函數為偶函數的是 〔A． B． C． D．5.〔20XX高考〔XX文函數為偶函數,則實數________[答案]4[解析]本題考查函數奇偶性的應用,若已知一個函數為偶函數,則應有其定義域關于原點對稱,且對定義域內的一切都有成立.由函數為偶函數得即.6.〔20XX高考〔上海文已知是奇函數.若且.則_______.7.〔20XX高考〔課標文設函數的最大值為,最小值為,則____[答案]2[解析]本題主要考查利用函數奇偶性、最值及轉換與化歸思想,是難題.設為奇函數,由奇函數圖像的對稱性知[方法總結]三．規律總結一條規律奇、偶函數的定義域關于原點對稱．函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件．三種方法判斷函數的奇偶性,一般有三種方法：<1>定義法；<2>圖象法；<3>性質法．三條結論<1>若對于R上的任意的x都有f<2a－x>＝f<x>或f<－x>＝f<2a＋x>,則y＝f<x>的圖象關于直線x＝<2>若對于R上的任意x都有f<2a－x>＝f<x>,且f<2b－x>＝f<x><其中a＜b>,則：y＝f<x>是以2<b－a<3>若f<x＋a>＝－f<x>或f<x＋a>＝eq\f<1,fx>或f<x＋a>＝－eq\f<1,fx>,那么函數f<x>是周期函數,其中一個周期為T＝2a；<3>若f<x＋a>＝f<x＋b><a≠b>,那么函數f<x>是周期函數,其中一個周期為T＝2|a－b|.[基礎練習]1．〔課本習題改編下列函數中,在區間<0,1>上是增函數的是<>A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝eq\f<1,x>D．y＝－x2＋4[答案]A[解析]y＝3－x在R上遞減,y＝eq\f<1,x>在<0,＋∞>上遞減,y＝－x2＋4在<0,＋∞>上遞減．2.〔經典習題函數f<x>＝ln<4＋3x－x2>的單調遞減區間是<>A.eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<－∞,\f<3,2>>>B.eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3,2>,＋∞>>C.eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<－1,\f<3,2>>>D.eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3,2>,4>>3.〔課本習題改編若函數f<x>＝eq\f<x,2x＋1x－a>為奇函數,則a＝<>A.eq\f<1,2>B.eq\f<2,3>C.eq\f<3,4>D．1[答案]A[解析]∵f<x>＝eq\f<x,2x＋1x－a>是奇函數,利用賦值法,∴f<－1>＝－f<1>．∴eq\f<－1,－2＋1－1－a>＝－eq\f<1,2＋11－a>,∴a＋1＝3<1－a>,解得a＝eq\f<1,2>.4.〔經典習題設函數f<x>和g<x>分別是R上的偶函數和奇函數,則下列結論恒成立的是<>．A．f<x>＋|g<x>|是偶函數B．f<x>－|g<x>|是奇函數C．|f<x>|＋g<x>是偶函數D．|f<x>|－g<x>是奇函數[答案]A[解析]由題意知f<x>與|g<x>|均為偶函數,A項：偶＋偶＝偶；B項：偶－偶＝偶,B錯；C項與D項：分別為偶＋奇＝偶,偶－奇＝奇均不恒成立,故選A.6．〔經典習題已知f<x>在R上是奇函數,且滿足f<x＋4>＝f<x>,當x∈<0,2>時,f<x>＝2x2,則f<7>等于________．[答案]－2[解析]由f<x＋4>＝f<x>,得f<7>＝f<3>＝f<－1>,又f<x>為奇函數,∴f<－1>＝－f<1>,f<1>＝2×12＝2.∴f<7>＝－2.[名校模擬]一．基礎扎實1.<北京市西城區2012屆高三下學期二模試卷文>給定函數：①；②；③；④,其中奇函數是〔〔A①②〔B③④〔C①③〔D②④[答案]C[解析]利用函數圖象關于原點對稱可知①③圖像滿足條件.2.<20XXXX市高中畢業班第一次模擬考試理>已知.,若,則f<-a>的值為A.-3B.-2C.-1D.03.<20XXXX豫東、豫北十所名校階段性測試<三理>已知函數.,則該函數是<A>偶函數,且單調遞增〔B>偶函數,且單調遞減<C>奇函數,且單調遞增〔D>奇函數,且單調遞減[答案]C[解析]注意到當時,,；當時,,；.因此,對任意,均有,即函數是奇函數.當時,函數是增函數,因此是增函數,選C.4．<2012XX示范高中聯考高三理>下列函數中,在內有零點且單調遞增的是<>A．B．C．D．5.<XX省XX學軍中學2012屆高三第二次月考理若、,定義：,例如：=<-5><-4><-3><-2><-1>=-120,則函數的奇偶性為<>A.是偶函數而不是奇函數B.是奇函數而不是偶函數C.既是奇函數又是偶函數D.既不是奇函數又不是偶函數6..<XX省2012屆十所重點中學第二次聯考文>已知是偶函數,且其定義域為,則〔A．B．C．D．[答案]A[解析]因為偶函數的定義域關于原點對稱,所以；又為偶函數,所以,得,所以,選A.67.<XX省洋浦中學2012屆高三第一次月考數學理>函數在區間是增函數,則的遞增區間是〔A．B．C．D．8．<XX省洋浦中學2012屆高三第一次月考數學理>已知函數y=f<x>是定義在R上的奇函數,則下列函數中是奇函數的是〔①y=f<|x|>;②y=f<-x>;③y=x·f<x>;④y=f<x>+x.A.①③B.②③C.①④D.②④9．〔XX省黃岡中學2012屆高三五月模擬考試理下列函數中既是偶函數,又是區間[－1,0]上的減函數的是A．B．C．D．答案：D解析：由,所以函數為偶函數；又,當時,,所以函數為減函數,故選D。10．<2012黃岡市模擬及答題適應性試理>已知函數則該函數是A偶函數,且單調遞增B偶函數,且單調遞減C奇函數,且單調遞增D奇函數,且單調遞減11.<東城區普通高中示范校高三綜合練習<二>〔文>已知函數是偶函數,則的圖象與軸交點縱坐標的最小值為.[答案][解析]根據函數是偶函數可得,函數的圖象與軸交點的縱坐標為。由,得,解得。12．<XX省洋浦中學2012屆高三第一次月考數學理>已知是上的增函數,那么的取值范圍是。13.<XX省洋浦中學2012屆高三第一次月考數學理>已知函數,判斷它的奇偶性。[解析]本試題主要考查了函數的奇偶性的判定。[答案]f<x>的定義域為R,f<0>=0設x>0則-x<0,又因為當x<0時f<x>=-x<x+1>故f<-x>=-x<-x+1>=x<x-1>=f<x>設x<0,則-x>0又因為當x>0時f<x>=-x<x-1>故f<-x>=-x<-x-1>=-x<x+1>=f<x>綜上得,對任意xR,有f<-x>=f<x>故f<x>為偶函數14．<XX省洋浦中學2012屆高三第一次月考數學理>設函數是定義在上的減函數,并且滿足,,〔1求的值,〔2如果,求x的取值范圍?！?2分二．能力拔高15．<XX省八校2012屆高三第一次聯考理>定義在R上的函數滿足：對于任意的且當,設M、N分別為在[-2012,2012]的最大值與最小值,則M+N的值為 〔A．4022 B．4024 C．2011 D．2012因此,則函數的最大值為,最小值為,所以,故選A。16.<XX省2012屆十所重點中學第二次聯考文>設函數,若時,＞0恒成立,則實數m的取值范圍是〔A．〔0,1 B．〔-∞,0 C．〔-∞,0D．〔-∞,118.<XX文科數學沖刺試卷〔二>答案：B解析：由題意得,設,則,又函數為奇數,所以,即,利用函數的結論此函數在定義域上位單調遞增函數,所以函數,故答案選B．20.<XX省20XX高考考前適應性訓練理>已知的單調減區間為〔A．B．C．D．21.<XX市實驗中學2012屆高三模擬考試〔文>已知定義在R上的函數是增函數,且為奇函數,若實數s,t滿足不等式,則當1≤s≤4時,3t+s的取值范圍是A.B.C.[4,10]D.[4,16][答案]B[解析]本題考查函數的性質、簡單的線性規劃問題,考查數形結合的思想。由所給函數性質有,于是,再結合,由線性規劃方法,可求得,選B23.<XX省XX學軍中學2012屆高三第二次月考理三．提升自我25.定義在〔—1,1上的函數f<x>滿足：；當時,有；若,,R＝f<0>．則P,Q,R的大小關系為A． B． C．D．不能確定1．已知函數是上的偶函數,則實數_____；不等式的解集為_____．2.定義在上的函數,如果存在函數〔為常數,使得對一切實數都成立,則稱為函數的一個承托函數.現有如下函數：①②③④則存在承托函數的的序號為.〔填入滿足題意的所有序號[答案]②④[解析]對于①,結合函數的圖象分析可知,不存在函數使得對一切實數都成立,不存在承托函數；3.已知函數〔m為常數>,對任意的恒成立.有下列說法：①m=3；②若<b為常數>的圖象關于直線x=1對稱,則b=1;③已知定義在R上的函數F<x>對任意x均有成立,且當時,；又函數<c為常數,若存在使得成立,則c的取值范圍是<一1,13>.其中說法正確的個數是<A>3個〔B>2個〔C>1個〔D>O個一、選擇題<8×3′＝24′>1．函數y=x2+bx+c［x∈［0,+∞］是單調函數的充要條件是<>A.b≥0B.b≤0C.b>0D.b<02．函數f<x>=4x2-mx+5在區間［-2,+∞上是增函數,M=f<1>,則下列不等式或等式成立是<>A.M≥25B.M=25C.M≤25D.M>253．定義在R上的函數f<x>、g<x>都有反函數,且f<x+1>和g-1<x-2>的圖象關于直線y=x對稱,若g<15>=2000,則f<16>的值為<>A.1999B.2000C.2001D.20024．函數f<x>=x-在<1,+∞>上是增函數,則實數a的取值范圍是<>A.a≥0B.a≥1C.a≥-2D.a≥-15．已知定義在R上的函數f<x>滿足f<x-1>=f<x+1>,f<1-x>=f<1+x>,且在［-1,0］上單調遞增.設a=f<3>,b=f<>,c=f<2>,則a、b、c的大小關系是<>A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a6．函數y=f<x>有反函數y=f－1<x>,把y=f<x>的圖象在直角坐標平面內繞原點順時針方向轉動90°后得到的圖象對應的函數是<>A.y=f－1<-x>B.y=f－1<x>C.y=-f－1<-x>D.y=-f－1<x>7．定義在R上的函數f<x>滿足f<x>=f<x+2>,當x∈［3,5］時,f<x>=2-|x-4|,則<>A.B.f<sin1>>f<cos1>C.D.f<cos2>>f<sin2>8．已知函數f<x>是定義在R上的奇函數,當x<0時,f<x>=<>x,那么f－1<-9>的值是<>A.-2B.2C.-3D.二、填空題<5×3′＝15′>9．已知f<x>是定義在R上的偶函數,且它在［0,+∞］上單調遞增,那么使不等式f<-2>≤f<a>的實數a的取值范圍是.10．函數f<x>=logcos50°|x2-2x-3|的增區間為.11．關于函數f<x>=lg<x≠0>,有下列命題：①函數y=f<x>的圖象關于y軸對稱;②當x>0時,f<x>是增函數,當x<0時,f<x>是減函數;③函數f<x>的最小值為lg2;④當-1<x<0或x>1時,f<x>是增函數;⑤f<x>無最大值,也無最小值.其中正確的命題是.12．函數f<x>=<α為常數>的圖象過點<4,>,那么f-1<8>的值是.13．函數f<x>=loga<x+><x≥1><0<a<1>的反函數是f－1<x>=.三、解答題<5×10′＝50′>14．已知關于n的不等式對一切大于1的自然數n都成立,試求實數a的取值范圍.15．f<x>是定義在<0,+∞>上的增函數,且f<>=f<x>-f<y>.<1>求f<1>的值.<2>若f<6>=1,解不等式f<x+3>-f<><2.16．已知函數f<x>=<>2<x≥1>,f－1<x>是f<x>的反函數,記g<x>=+2,求：<1>f－1<x>的定義域與單調區間.<2>g<x>的最小值.17．設偶函數f<x>在區間［a,b］上是增函數<a>0>,試判定函數F<x>=<>f<x>-x在區間［-b,-a］上的單調性,并加以證明.18．給定函數f<x>=loga|logax|<a>0且a≠1>.<1>求函數的定義域.<2>當f<x>>1時,求x的取值范圍.<3>當x>1時,判斷函數f<x>的單調性,并證明你的結論.四、思考與討論<11′>19．設a>0,f<x>=是R的偶函數.<1>求a的值;<2>證明f<x>在<0,+∞>上為增函數.參考答案1．A函數y=x2+bx+c的單調增區間是［-,+∞.∵所求函數的定義域為x∈［0,+∞,∴此函數單調的充要條件是-≤0b≥0.2．A依題意,≤-2m≤-16,則M=f<1>=9-m≥25.3．D設y=g-1<x-2>,由反函數的概念得x=g<y>+2,即y=g-1<x-2>的反函數為y=g<x>+2,從而f<x+1>=g<x>+2.當x=15時,f<16>=g<15>+2=2002.故選D.4．D由單調性的定義即得.5．D由f<x-1>=f<x+1>可推出f<x+2>=f<x>,即f<x>以2為一個周期.a=f<3>=f<1>=f<-1>,b=f<>=f<-2>c=f<2>=f<0>,又∵f<x>在［-1,0］上單調遞增,∴c>b>a.6．Ｄ設<x,y>是y=f<x>圖象上任意一點,當把y=f<x>的圖象繞原點順時針方向轉動90°后其對應點為<X,Y>,則X＋9i=<x+yi>·<-i>=y-xi,故y=X,x=-Y,于是X=f<-Y>-Y=f-1<X>即y=-f－1〔x.7．D∵f<x>=f<x+2>,∴F=2是其一個周期.設x∈［-1,1］,則x+4∈［3,5］,f<x>=f<x+4>=2-|x+4-4|=2-|x|其圖象如圖所示.A:0<sin<1,∴B:0<cos1<sin1<1,∴f<sin1><f<cos1>C:cos,D:cos2=sin,∴f<cos2>=fsin2=sin<π-2>,∵1>sin<π-2>>sin>0∴>f［sin<π-2>］,即:f<cos2>>f<sin2>故正確答案是D.8．Ｂ當x>0時,f<x>=-<>-x,設f-1〔-9=a,則f<a>=-9-<>－a=-9a=2.9．a≤-2或a≥2f<-2>≤f<a>f<|-2|>≤f<|a|>|a|≥2.10．<-∞,-1>,［1,3］作函數u<x>=|x2-2x-3|的圖象判斷.11．①③④f<x>是偶函數,且f<x>=lg<|x|+>≥lg2,可由f<x>的奇偶性確定單調區間,即先判斷出f<x>在<0,+∞>上的單調性.12．將<4,>代入f<x>=,得=,∴α=,∴f<x>==8得x=.13．<ax+a-x><x≤0>注意注明反函數的定義域.14．解設f<n>=<n∈N且n≥2>,∵f<n+1>-f<n>=>0,∴f<n>是關于n的單調增函數,且當n≥2時,f<n>≥f<2>=,故要使f<n>>loga<a-1>+對一切n≥2,n∈N恒成立,則需且僅需loga<a-1>+,即loga<a-1><-1,又a-1>0,∴0<a-1<,解得1<a<.故所求a的取值范圍為{a|1<a<}.點評利用函數的單調性求參數的取值范圍.15．解<1>令x=y,得f<1>=0.<2>由,得