中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)A第2章一元函數(shù)微分學(xué)2．2中值定理2．2

中值定理未定式的極限00未定式

的極限2．2．3L’Hospital

法則內(nèi)容小結(jié)L’Hospital

法則L’Hospital

法則習(xí)例L’Hospital

法則L’Hospital

法則習(xí)例未定式的0

,

,1

,0

,00的極限方法習(xí)例1.定義：x1

,x2

I

,當(dāng)

x1

x2時(shí),

若

f

(

x1

)

f

(

x2

),

則

f

(

x)在

I上單增;當(dāng)

x1

x2時(shí),

若

f

(

x1

)

f

(

x2

),

則

f

(

x)在

I上單減.具有正斜率的切線一.函數(shù)單調(diào)性的判別法oyy

f

(

x)f

(

x)

0具有負(fù)斜率的切線xx

oyy

g(

x)g(

x)

0判別法定理1.

設(shè)

f

(x)

在區(qū)間

I上可導(dǎo).若對(duì)于一切x

I

,f

(x)

0,則f

(x)在I上單增;若對(duì)于一切

x

I

,

f

(

x)

0,則

f

(

x)

在

I上單減.Proof.x1

x2

I

.在[x1

,x2

]上用Lagrange中值定理得,f

(

x2

)

f

(

x1

)

f

(

)(

x2

x1

),

x1

x2

.又

x2

x1

0.若

f

(

x)

0

f

(

)

0,

則

f

(

x2

)

f

(

x1

).

f

(x)在I上單增;若

f

(

x)

0

f

(

)

0,

則

f

(

x2

)

f

(

x1

).

f

(x)在I上單減.注意:(1)該判別法為充分條件判別法.函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．判別法中的區(qū)間可以是開區(qū)間、閉區(qū)間和無窮區(qū)間.

y=f(x)連續(xù)可導(dǎo)的條件不可少，有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性須重新考慮.對(duì)于連續(xù)函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分定義區(qū)間，就可得出各部分區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性.利用判別法可以判定函數(shù)的增減性、求單調(diào)區(qū)間，還可證明不等式、

根的存在性.Example

1.設(shè)f

(x)

xe

x2

,判定其單調(diào)性并求單調(diào)區(qū)間.Solution.

f

(x)的定義域?yàn)?,).f

(

x)

e

x2

xe

x2

(2

x)

e

x2

(1

2

x2

),令f

(x)

0,2

.2得x

列表

如下:x22)(,2

2

((

2

,)02

,

2)

22

2

2

2

0f

(

x)f

(

x)(f)x2],2

22

,的單增區(qū)間為[22

,).22)和(單減區(qū)間為(,Example

2.確定

y

3

x2的單調(diào)區(qū)間.Solution.y

3

x2

的定義域?yàn)?,).,

沒有導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),但x=0

為不可導(dǎo)點(diǎn).233xy

列表如下:0(0,)不存在x

(,0)yy如圖.xoy

y

3

x2

的單增區(qū)間為(0,),單減區(qū)間為(,0).1

xExample

3.當(dāng)x

0時(shí),證明ln(1

x)

arctan

x

.Proof.

當(dāng)x=0

時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)x

0時(shí),設(shè)f

(x)

(1

x)ln(1

x)

arctan

x,11

x2f

(

x)

ln(1

x)

1

x2

ln(1

x)

0 (

x

0)1

x2所以f(x)單調(diào)遞增.從而,當(dāng)x

0時(shí),

f

(

x)

f

(0),

且

f

(0)

0.

f

(

x)

(1

x)ln(1

x)

arctan

x

0.1

x即ln(1

x)

arctan

x

.Example

4.

證明Proof.

設(shè)f

(x)ba

.1

a

b

1

a

1

ba

b(

x

1).1

xxf

(

x)

(1

x)

x

1(1

x)2(1

x)2所以f(x)單調(diào)遞增.0

a

b

a

b

,

f

(

a

b

)

f

(

a

b

),a

b a

b1

a

b1

a

b即

b1

a

ba1

a

ba

b

.1

a

1

bExample

5.設(shè)f

(x)在0

x

a上二次可微,且f

(0)

0,f

(x)

0,x證明f

(x)在(0,a)內(nèi)單增.xProof.

設(shè)

F

(

x)

f

(

x)

,x2F

(

x)

xf

(

x)

f

(

x).又設(shè)G(x)

xf

(x)

f

(x).x

f

(x)在(0,a)內(nèi)單增.(0

x

a).G(

x)

f

(

x)

xf

(

x)

f

(

x)

xf

(

x)

0所以G(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x

0時(shí),G(x)

G(0)

f

(0)

0.即

xf

(

x)

f

(

x)

0.

F

(

x)

0.

所以

F(x)

單調(diào)遞增.Example

6.

方程ln

x

ax

(a

0)有幾個(gè)實(shí)根.Solution.

設(shè)f

(

x)

ln

x

ax

(

x

0),f

(x)

1

a,

令f

(x)

0,得x

1

.x

aa(1)當(dāng)x

1時(shí),f

(x)

0.f

(x)單調(diào)遞增.x0

x0且lim

f

(

x)

lim(ln

x

ax)

,

a

a

f

1

ln

1

1,當(dāng)a

1時(shí),ln

1

1

0,

當(dāng)a

1時(shí),ln

1

1

0,e

a

e

a故當(dāng)0

a

1時(shí)有一實(shí)根,當(dāng)a

1時(shí)沒有實(shí)根.e

ea(2)當(dāng)x

1時(shí),

f

(

x)

0.

f

(

x)單調(diào)遞減.x

x且lim

f

(

x)

lim

(ln

x

ax)

,

a

a

f

1

ln

1

1,當(dāng)a

1時(shí),ln

1

1

0,

當(dāng)a

1時(shí),ln

1

1

0,e

a

e

a故當(dāng)0

a

1時(shí)有一實(shí)根,當(dāng)a

1時(shí)沒有實(shí)根.e

e(3)當(dāng)a

1時(shí),ln

x

x

,則x

e.e

ee

e綜上所述,當(dāng)0

a

1時(shí)方程有兩實(shí)根,當(dāng)a

1時(shí)沒有實(shí)根,1e當(dāng)a

時(shí)有一實(shí)根x

e.二.函數(shù)極值的判別法xo1.函數(shù)極值的定義與圖形:y注意:(1)極值是局部性質(zhì).(2)極大值不一定比極小值大，反之亦然.極值存在的必要條件

------Fermat定理定理1.設(shè)函數(shù)f

(x)在x0可導(dǎo),若x0為極值點(diǎn),則f

(x0

)

0.注意:導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).(f

(x0

)

0)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn).(3)駐點(diǎn)只是可能的極值點(diǎn).考慮y

x

在x由y

3x2

0,得x

0是駐點(diǎn),但x

0不是y

x3的極值點(diǎn).如圖.xoy(4)極值點(diǎn)應(yīng)包含在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)之中.考慮y

x

在x

0的情況

:由定義可得y

x

在x

0處不可導(dǎo),但x

0是y

x的極值點(diǎn).如圖.xoy3.極值存在的第一充分條件定理2.設(shè)函數(shù)f

(x)在U

(x0

,

)內(nèi)可導(dǎo),且f

(x0

)

0.當(dāng)x

x0時(shí)f

(x)

0,當(dāng)x

x0時(shí)f

(x)

0,則f

(x)在x0處取得極大值f

(x0

).當(dāng)x

x0時(shí)f

(x)

0,當(dāng)x

x0時(shí)f

(x)

0,則f

(x)在x0處取得極小值f

(x0

).(3)

當(dāng)x

U

(

x~

,

)時(shí)f

(

x)

0或f

(

x)

0,0則f

(x0

)不是極值.Proof.

由極值的定義來證明.(1)當(dāng)x

x0時(shí),f

(x)

0,故f(x)單調(diào)遞增.

f

(

x)

f

(

x0

).當(dāng)x

x0時(shí),f

(x)

0,故f(x)單調(diào)遞減.

f

(

x)

f

(

x0

).即x

U

(

x~

,

)時(shí),

都有

f

(

x)

f

(

x

).0

0

f

(x0

)為極大值.同理可證得結(jié)論(2),(3)成立.法.xoy

:

0

極大xo極值存在的第一充分條件的圖形y

yy

:

0

極小沒有極值xoyy

:

xyo

y

:

4.極值存在的第二充分條件定理3.設(shè)f

(

x)在U

(

x0

,

)內(nèi)二階可導(dǎo),

且f

(

x0

)

0,

f

(

x0

)

0.則若f

(x0

)

0,則x0

為極小值點(diǎn).若f

(x0

)

0,則x0

為極大值點(diǎn).000x

xf

(

x)

f

(

x

)

x

x0Proof.

(1)

f

(

x

)

lim00

limf

(

x)x

x0

x

x當(dāng)x

x0時(shí),f

(x)

0,當(dāng)x

x0時(shí),f

(x)

0.從而x0

是極小值點(diǎn).同理可證得(2)成立.注意:使二階導(dǎo)數(shù)不為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn).若f

(x0

)

0或f

(x0

)不存在,不能用第二充分條件判定,只能用第一充分條件.求極值的步驟計(jì)算f

(x).求出駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn).由充分條件定理判定駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是否是極值點(diǎn).求出極值點(diǎn)處的函數(shù)值即得全部極值.Example

7.

求f

(x)

2x3

3x2

12x

21的極值.Solution.

f

(x)的定義域?yàn)?,).f

(

x)

6x2

6x

12

6(

x

1)(

x

2).令f

(x)

0,得x1

1,x2

2.列表x如下:(,1)

1(1,2)2(2,)f

(

x)f

(

x)0極大0極小極大值為

f

(1)

28,

極小值為

f

(2)

1.Example

8.

求f

(

x)

(2x

5)3

x2的極值.33xSolution.

f

(

x)

的定義域?yàn)?,).

f

(

x)

10(

x

1)

.令f

(

x)

0,

得

x

1.

且

x

0為不可導(dǎo)點(diǎn).列表x如下:(,0)0(0,1)1(1,)f

(x)

不存在f

(x)

極大0極小極大值為f

(0)

0,極小值為f

(1)

3.Example

9.求f

(x)

(x2

1)3

1的極值.Solution.

f

(x)的定義域?yàn)?,).f

(

x)

6x(

x2

1)2

.令f

(x)

0,得x

1,x

0,x

1.列表

如下:x

(,1)

1(1,0)

0(0,1)1(1,)0

0f

(

x)f

(

x)0極小

f

(x)只有極小值f

(0)

0.注:也可用二階導(dǎo)數(shù)來判定極值!2

x

1

x

2,0

x

1求f

(x)的極值.Example

10.設(shè)f

(x)

xSolution.當(dāng)0

x

1時(shí),

f

(

x)

1

0.當(dāng)1

x

2時(shí),

f

(

x)

1

0.

f

(x)沒有駐點(diǎn).x1x

1

x

1但

f

(1)

lim

f

(

x)

f

(1)

lim

2

x

1

1,x1x

1x1f

(1)

lim

f

(

x)

f

(1)

lim

x

1

1,x1

x

1

x

1為不可導(dǎo)點(diǎn).列表如下:(0,1)1(1,2)xf

(

x)f

(

x)不存在極大

f

(x)有極大值f

(1)

1.Example

11.設(shè)f

(x)

a

ln

x

bx2

x,在x

1,x

2處有極值,求a,b;并確定是極大值還是極小值.Solution.xx2f

(

x)

a

2bx

1,

f

(

x)

a

2b,

f

(x)在x

1,x

2處有極值,

f

(1)

0,

f

(2)

0.,2a

4b

1

0a

2b

1

0即6132

a

,b

.323x

2從而

f

(

x)

1

.13

f

(1)

0,

f

(1)是極小值;

f

(2)

1

0,

f

(2)是極大值.6三.函數(shù)的最值閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)函數(shù)

f(x)的最值.M

maxf

(a),

f

(b),

f

(

x1

),,

f

(

xn

).m

minf

(a),

f

(b),

f

(

x1

),,

f

(

xn

).其中xi

(i

1,2,,n)為駐點(diǎn).閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)

f(x)的最值.M

maxf

(a),

f

(b),

f

(

x1

),,

f

(

xn

),

f

(t1

),,

f

(tm

).m

minf

(a),

f

(b),

f

(

x1

),,

f

(

xn

),

f

(t1

),,

f

(tm

).其中xi

(i

1,2,,n)為駐點(diǎn);t

j

(j

1,2,,m)為不可導(dǎo)點(diǎn).3.開區(qū)間(a,b)或無窮區(qū)間上的最值.這時(shí)可能有最值，可能沒有最值.對(duì)于(a,b),

若

lim

f

(

x),

lim

f

(

x)比駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)xa

xb處的函數(shù)值都大則沒有最大值,都小則沒有最小值.對(duì)于(,),

若

lim

f

(

x),

lim

f

(

x)比駐點(diǎn)和不可導(dǎo)x

x點(diǎn)處的函數(shù)值都大則沒有最大值,都小則沒有最小值.xoxo4.

f(x)在I內(nèi)可導(dǎo),且只有唯一一個(gè)駐點(diǎn)x0時(shí)的最值.若駐點(diǎn)x0為極值點(diǎn),當(dāng)f

(x0

)為極大值時(shí)即為最大值.當(dāng)f

(x0

)為極小值時(shí)即為最小值.y

y5.實(shí)際問題的最值實(shí)際問題中,可根據(jù)問題的性質(zhì)判定可導(dǎo)函數(shù)有最值,而且在區(qū)間

取得.

若f(x)在區(qū)間

只有一個(gè)駐點(diǎn),則一定在駐點(diǎn)處取得最值.x0x02Example12.求f

(x)

(x

1)2

(x

2)3

在[0,3]上的最值.Solution.

f

(

x)

2(

x

1