一般高等學校招生全國一致考試數學理(全國卷I,解析版)一般高等學校招生全國一致考試數學理(全國卷I,解析版)9/9一般高等學校招生全國一致考試數學理(全國卷I,解析版)2020年一般高等學校招生全國一致考試數學理（全國卷I，解析版）第Ⅰ卷考生注意：1．答題前，考生在答題卡上務必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號、填寫清楚，并貼好條形碼．請認真同意條形碼上的準考證號、姓名和科目．2．每題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．在試題卷上作答無效．3．本卷共12小題，每．．．．．．．．．小題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項吻合題目要求的．參照公式：若是事件A，B互斥，那么球的表面積公式P(AB)P(A)P(B)S4πR2若是事件A，B相互獨立，那么其中R表示球的半徑P(AgB)P(A)gP(B)球的體積公式若是事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么VRn次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率其中R表示球的半徑4π33一、選擇題(1)設會集A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AUB，則會集u(AIB)中的元素共有（A）（A）3個（B）4個（C）5個（D）6個解：AUB{3,4,5,7,8,9}，AIB{4,7,9}CU(AIB){3,5,8}應選。也可用摩根律：ACU(AIB)(CUA)U(CUB)2）已知Z=2+i,則復數z=（B）1＋i（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i解：z(1i)(2i)13i,z13i應選B。(3)不等式X1＜1的解集為（D）X1（A）｛x0x1Uxx1(B)（C）x1x0(D)解：驗x=-1即可。

x0x1xx0(4)設雙曲線x2y21（a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率a2b2等于(C)（A）3（B）2（C）5（D）6解：設切點P(x0,y0)，則切線的斜率為y'|xx2x.由題意有y02x0又y0x021x00解得:x021,b2,e1(b)25.aa甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學。若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同樣選法共有(D)（A）150種（B）180種（C）300種(D)345種解:分兩類(1)甲組中選出一名女生有C51C31C62225種選法;(2)乙組中選出一名女生有C52C61C21120種選法.故共有345種選法.選D（6）設a、b、c是單位向量，且a·b＝0，則ac?bc的最小值為(D)（A）2（B）22（C）1(D)12rrr解:Qa,b,c是單位向量rrrrrruurrrr2C1ggac?bcab(ab)ccAB1rrrrrr1112應選1|ab|g|c|2cosab,cD.CD（7）已知三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底AB面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為（D）（A）3（B）5（C）7(D)34444解：設BC的中點為D，連結A1DADA1AB即為異面直線AB與CC1所成的角,，，易知由三角余弦定理，易知coscosA1ADcosDABADAD3A1AAB.應選D4（8）若是函數y＝3cos2x＋的圖像關于點4，0中心對稱，那么||的最小值為（A）3（A）（B）（C）(D)2643解:Q函數y＝3cos2x＋的圖像關于點4，0中心對稱324kk13Z)由此易得||min.應選A32(k66(9)已知直線y=x+1與曲線yln(xa)相切，則α的值為(B)(A)1(B)2(C)-1(D)-2解:設切點P(x0,y0)，則y0x01,y0ln(x0a),又Qy'|x011xx0ax0a1y00,x01a2.故答案選B（10）已知二面角α-l-β為60o，動點P、Q分別在面α、β內，P到β的距離為3，Q到α的距離為23，則P、Q兩點之間距離的最小值為（C）(A)(B)2(C)23(D)4解:如圖分別作QA于A,ACl于C,PB于B,PDl于D，連CQ,BD則ACQPBD60,AQ23,BP3，ACPD2又QPQAQ2AP212AP223當且僅當AP0，即點A與點P重合時取最小值。故答案選C。（11）函數f(x)的定義域為R，若f(x1)與f(x1)都是奇函數，則(D)(A)f(x)是偶函數(B)f(x)是奇函數(C)f(x)f(x2)(D)f(x3)是奇函數解:Qf(x1)與f(x1)都是奇函數，f(x1)f(x1),f(x1)f(x1)，函數f(x)關于點(1,0)，及點(1,0)對稱，函數f(x)是周期T2[1(1)]4的周期函數.f(x14)f(x14)，f(x3)f(x3)，即f(x3)是奇函數。應選D12.已知橢圓C:x2y21的右焦點為F,右準線為l，點Al，線段AF交C于點B，若2uuuruuuruuuurFA3FB,則|AF|=(A).2(B).2(C).3(D).3解:過點B作BMuuuruuurl于M,并設右準線l與X軸的交點為N，易知FN=1.由題意FA3FB,故|BM|2.又由橢圓的第二定義,得|BF|222|AF|2.應選A3233第II卷二、填空題：13.xy10x7y3的系數與x3y7的張開式中，的系數之和等于。解:C103(C107)2C10324014.設等差數列an的前n項和為Sn，若S972,則a2a4a9=。解:Qa是等差數列,由S972,得S99a5,a58na2a4a9(a2a9)a4(a5a6)a43a524.15.直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點都在同一球面上，若ABACAA12,BAC120，則此球的表面積等于。解:在ABC中ABAC2,BAC120,可得BC23,由正弦定理,可得ABC外接圓半徑r=2,設此圓圓心為O，球心為O，在RTOBO中，易得球半徑R5，故此球的表面積為4R220.16.若x，則函數ytan2xtan3x的最大值為。42解:令tanxt,Qx2t1,4ytan2xtan3x2tan4x2t412121281tan2x1t21121t4t2(2)44t2三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17（本小分10分）（注意：在卷上作答無效）．．．．．．．．．．．．在ABC中，內角A、B、C的分a、b、c，已知a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC,求b解析:此事上比,但考生反不知從何下手.已知條件(1)a2c22b左是二次的右是一次的,學生感用余弦定理不好理,而已知條件(2)sinAcosC3cosAsinC,多的關注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學生想用在已不再考的化和差,致找不到打破口而失分.解法一：在ABC中QsinAcosC3cosAsinC,由正弦定理及余弦定理有:aga2b2c23b2c2a2gc,化并整理得：2(a2c2)b2.又由已知2ab2bca2c22b4bb2.解得b4或b0(舍）.解法二:由余弦定理得:a2c2b22bccosA.又a2c22b,b0。因此b2ccosA2?????????????①又sinAcosC3cosAsinC，sinAcosCcosAsinC4cosAsinCsin(AC)4cosAsinC，即sinB4cosAsinC由正弦定理得sinBbsinC，故b4ccosA?????????②c由①，②解得b4。析:從08年高考考取就明確提出要加正余弦定理的考.在考取注意、提高自己的解析和解決能力及知的靈便運用能力.別的提示：兩中明確不再考的知和方法認識就行，不用化。18．（本小分

12分）（注意：在卷上作答無效）．．．．．．．．．．．．．如，四棱

S

ABCD

中，底面

ABCD

矩形，

SD

底面

ABCD

，AD

2DC

SD

2，點

M在棱

SC上，

ABM

=60°I）明：M在棱SC的中點II）求二面角SAMB的大小。（I）解法一：作MN∥SD交CD于N，作NEAB交AB于E，連ME、NB，則

MN

面ABCD，ME

AB,

NE

AD

2設MN

x，則

NC

EB

x,在RTMEB中，Q

MBE

60

ME

3x。在RTMNE中由

ME2

NE2

MN2

3x2

x2

2解得x

1，進而

MN

1SD

M為側棱

SC的中點

M.2解法二:過M作CD的平行線

.解法三:利用向量辦理

.

詳細可見

09年高考參照答案

.II）解析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考取求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。過M作MJ∥CD交H,作HKAM交AMSAD,面SAD面MBA,

SD于J,作SH于K,則JM∥SH面AMB

AJ交AJ于CD,JM面SKH即為所求二面角的補角

.則點

解析二：利用二面角的定義。在等邊三角形ABM中過點B作BFF為AM的中點，取SA的中點G，連GF，易證GFAM，則

AM交AM于點FGFB即為所求二面角

，.解析三：利用空間向量求。在兩個半平面內分別與交線

AM垂直的兩個向量的夾角即可。別的：利用射影面積或利用等體積法求點到面的距離等等，這些方法也能奏效。總之在目前，立體幾何中的兩種主要的辦理方法：傳統方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀況。命題人在這里必然會照顧雙方的利益。19．（本小題滿分

12分）（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．．．．．甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝

3局者獲得此次比賽的成功，比賽結束，假設在一局中，甲獲勝的概率為

0.6，乙獲勝的概率為

0.4，各局比賽結果相互獨立，已知前

2局中，甲、乙各勝

1局。（I）求甲獲得此次比賽成功的概率；（II）設表示從第3局開始到比賽結束所進行的局數，求得分布列及數學希望。解析：此題較老例，比08年的概率統計題要簡單。需提示的是：認真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而以致失分，這是很痛惜的，主要原因在于沒讀懂題。別的，還要注意表述，這也是考生較單薄的環節。20．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．．．．．在數列{an}中，a11,an1(11)ann1n2n（I）設bnan，求數列{bn}的通項公式n（II）求數列{an}的前n項和Sn解析：（I）由已知有an1an1bn1bn1n1n2n2n1利用累差迭加即可求出數列{bn}的通項公式:bn2N*n1(n)n2（II）由（I）知an2n,n12nknnkSn=(2k1)(2k)kk12k1k12k1nnk而(2k)n(n1),又是一個典型的錯位相減法模型，k1k12k1nk4n2Sn=n(n1)n24易得k12k12n12n1評析：09年高考理科數學全國(一)試題將數列題前置,觀察構造新數列和利用錯位相減法求前n項和，一改從前的將數列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。擁有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技術,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦專心。21（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．．．．．如圖，已知拋物線E:y2x與圓M:(x4)2y2r2(r0)訂交于A、B、C、D四個點。（I）求r得取值范圍；（II）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P坐標解析：（I）這一問學生易下手。將拋物線E:y2x與圓M:(x4)2y2r2(r0)的方程聯立，消去y2，整理得x27x16r20．．．．．．．．．．．．．（＊）拋物線

E:y2

x與圓

M:(x

4)2

y2

r2(r

0)訂交于

A、B、C、D四個點的充要條件是：方程（＊）有兩個不相等的正根即可

.易得

r

(

15

,4)

.考生利用數形結合2及函數和方程的思想來辦理也可以．II）考綱中明確提出不觀察求兩個圓錐曲線的交點的坐標。因此利用設而不求、整體代入的方法辦理本小題是一個較好的切入點．設四個交點的坐標分別為A(x1,x1)、B(x1,x1)、C(x2,x2)、D(x2,x2)。則由（I）依照韋達定理有x1x27,x1x216r2，r(15,4)2則S12|x2x1|(x1x2)|x2x1|(x1x2)2S2[(x1x2)24x1x2](x1x22x1x2)(7216r2)(4r215)令16r2t，則S2(72t)2(72t)下面求S2的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在辦理一些最值問題有時很方便。它的主要手段是配湊系數或常數，但要注意取等號的條件，這和二次均值近似。S2(72t)2(72t)1(72t)(72t)(144t)21(72t72t144t)31(28)32323當且僅當72t144t，即t7時取最大值。經檢驗此時r(15,4)滿足題意。62方法二：利用求導辦理，這是命題人的妄圖。詳細解法略。下面來辦理點P的坐標。設點P的坐標為：P(xp,0)由A、P、C三點共線，則x1x2x1得xpx1x2t7x1x2x1xp。6以下略。本小題滿分12分。（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．．．．．設函數fxx33bx23cx在兩個極值點x1、x2，且x1[1，0],x2[1,2].（I）求b、c滿足的拘束條件，并在下面的坐標平面內，畫出滿足這些條件的點b,c的地域；(II)證明：10fx2

12解析（I）這一問主要觀察了二次函數根的分布及線性規劃作可行域的能力。大部分考生有思路并可以得分。fx3x26bx3c由題意知方程x0有兩個根x1、x2且x1