10/10江蘇江蘇蘇科版2012.1.1數學八年級知識點歸納上冊

第一章軸對稱圖形一、軸對稱與軸對稱圖形的區別和聯系區別：軸對稱是指兩個圖形沿某直線對折能夠完全重合，是兩個圖形之間的一種關系，而軸對稱圖形是兩部分能完全重合的一個圖形。聯系：兩者都有完全重合的特征，都有對稱軸，都有對稱點。二、軸對稱的性質1、定義——垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。2、把一個圖形沿著一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，兩個圖形中的對應點叫做對稱點。3、把一個圖形沿著一條某直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。4、成軸對稱的兩個圖形全等。如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是對稱點連線的垂直平分線。三、線段、角的軸對稱性線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸。線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合。角是軸對稱圖形，角平分線所在直線是它的對稱軸。角平分線上的點到角的兩邊距離相等；角的內部到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。四、等腰三角形的軸對稱性1、等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在直線是它的對稱軸。2、等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。3、如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）。4、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。5、直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半。6、三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸。等邊三角形的每個角都等于60°。7、三條邊都相等的三角形是等邊三角形。有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。五、等腰梯形的軸對稱性1、定義——梯形中，平行的一組對邊稱為底，不平行的一組對邊稱為腰。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形是軸對稱圖形，過兩底中點的直線是它的對稱軸。等腰梯形在同一底上的兩個角相等。3、等腰梯形的對角線相等；對角線相等的梯形是等腰梯形。4、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。第一章小結軸對稱性質軸對稱 軸對稱性質軸對稱軸對稱圖形 軸對稱圖形角線段等腰梯形等邊三角形等腰三角形角線段等腰梯形等邊三角形等腰三角形 角平分線線段的垂直平分線角平分線線段的垂直平分線 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形等腰梯形在同一底上的兩個角相等等腰梯形的對角線相等直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等邊對等角等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合等角對等邊 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形等腰梯形在同一底上的兩個角相等等腰梯形的對角線相等直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等邊對等角等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合等角對等邊 角的內部到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上角平分線上的點到角的兩邊距離相等到線段兩端距離相等的點，在這條線段上的垂直平分線上線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等 角的內部到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上角平分線上的點到角的兩邊距離相等到線段兩端距離相等的點，在這條線段上的垂直平分線上線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等 第二章勾股定理與平方根一、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。我國古代把直角三角形中，較短的直角邊叫做“勾”，較長的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”。結論為：“勾三股四弦五”。ａ2+ｂ2=ｃ2 ｃ ａ b 如果三角形的三邊長a、b、c滿足ａ2+ｂ2=ｃ2，那么這個三角形是直角三角形。滿足ａ2+ｂ2=ｃ2的3個正整數a、b、c稱為勾股數。（例如，3、4、5是一組勾股數）。利用勾股數可以構造直角三角形。二、平方根1、定義——一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根，也稱為二次方根。也就是說，如果ｘ2=a，那么ｘ就叫做a的平方根。2、一個正數有2個平方根，它們互為相反數；0只有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根。求一個數a的平方根的運算，叫做開平方。正數a有兩個平方根，其中正的平方根，也叫做a的算術平方根。例如：4的平方根是±2，其中2叫做4的算術平方根，記作4=2；2的平方根是±2，其中2叫做0只有一個平方根，0的平方根也叫做0的算術平方根，即0=0三、立方根1、定義——一般地，如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根，也稱為三次方根。也就是說，如果ｘ3=a，那么ｘ就叫做a的立方根，數a的立方根記作“3a”，讀作“三次根號a”2、求一個數a的立方根的運算，叫做開立方。3、正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0。四、實數1、無限不循環小數稱為無理數。2、有理數和無理數統稱為實數。3、每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示，反之，數軸上的每一個點都表示一個實數，實數與數軸上的點是一一對應的。五、近似數與有效數字1、例如，本冊數學課本約有100千字，這里100是一個近似數。2、對一個近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到末位數字止，所有的數字都稱為這個近似數的有效數字。第三章中心對稱圖形（一）一、圖形的旋轉1、定義——在平面內，將一個圖形繞一個定點轉動一定的角度，這樣的圖形運動稱為圖形的旋轉。這個定點稱為旋轉中心，旋轉的角度稱為旋轉角。圖形的旋轉不改變圖形的形狀、大小。2、結論——旋轉前、后的圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，每一對對應點與旋轉中心的連線所成的角彼此相等。中心對稱與中心對稱圖形1、定義——把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這點對稱，也稱這兩個圖形成中心對稱。這個點叫做對稱中心。兩個圖形中的對應點叫做對稱點。2、一個圖形繞著某一點旋轉180°是一種特殊的旋轉，因此，成中心對稱的兩個圖形具有圖形旋轉的一切性質。3、成中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。4、把一個平面圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點就是它的對稱中心。三、平行四邊形1、定義——兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心。2、性質——平行四邊形的對邊相等。平行四邊形的對角相等。平行四邊形的對角線互相平分。3、判斷依據——一組對邊平行并且相等的四邊形是平行四邊形。兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。四、矩形、菱形、正方形（一）矩形1、定義——有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。矩形通常也叫做長方形。矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的一切性質。2、性質——矩形的對角線相等且互相平分，四個角都是直角。3、判斷依據——有3個角是直角的四邊形是矩形。對角線相等的平行四邊形是矩形。一個角是直角的平行四邊形是矩形。（二）菱形1、定義——有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的一切性質。性質——菱形的四條邊都相等。菱形的對角線互相垂直且平分，并且每一條對角線平分一組對角。判斷依據——四邊都相等的四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（三）正方形1、定義——有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是有一組鄰邊相等的特殊的矩形，也是有一個角是直角的特殊的菱形。2、關系：正方形矩形 有一組正方形矩形 鄰邊相等 菱形菱形 有一個角是直角平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系：平行四邊形平行四邊形正方形菱形矩形正方形菱形矩形正方形具有矩形的性質，同時又具有菱形的性質。五、三角形、梯形的中位線1、連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。2、連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。圖形的性質平行四邊形矩形菱形正方形對邊平行且相等四邊都相等四個角都是直角對角線互相平分對角線互相垂直對角線相等第四章數量、位置的變化一、數量的變化（略）二、位置的變化（略）三、平面直角坐標系1、平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系。2、水平方向的數軸稱為x軸或橫軸，豎直方向的數軸稱為y軸或縱軸，它們統稱為坐標軸。公共原點O稱為坐標原點。3、兩條坐標軸將平面分成四個象限，坐標軸上的點不屬于任何象限。平面內的點就與一對有序實數(點的坐標)建立了一一對應關系。逆時針順序分別記為第一、二、三、四象限。4、點P（a，b）關于x軸對稱的點為（a，-b），關于y軸對稱的點為（-a，b），關于原點對稱的點位（-a，-b）；x軸上的點為（x，0），y軸上的點為（0，y）。例圖：在平面直角坐標系中，有序實數對（a，b）所描述的點P的位置：ybP（a，b）過x軸上表示實數a的點畫x軸的垂線，過y軸上表示實數b的點畫這兩條垂線的交點，即為點P。 xOa在圖中，點P的坐標為（a，b），其中a稱為點P的橫坐標，b稱為點P的縱坐標，橫坐標寫在縱坐標的前面。5、在平面直角坐標系中，一對有序實數可以確定一個點的位置；反之，任意一點的位置都可以用一對有序實數來表示。這樣的有序實數對叫做點的坐標。6、點的坐標通常與表示該點的大寫字母寫在一起，如P（a，b），Q（m，n）。第五章一次函數一、函數1、定義——一般地，如果在一個變化的過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么y就稱為是x的函數。其中，x是自變量，y是因變量。（補充：在一變化過程中，數值發生變化的量叫變量；始終不變的量叫常量。常量與變量均不帶單位。）例如：水庫蓄水量是水位的函數（蓄水量隨著水位的升高或下降而增大或減小）；圓面積是半徑的函數（S=πr2）等。2、表示兩個變量之間的關系可以用3種方法：表格、圖形和數學式子。表示兩個變量之間關系的式子通常稱為函數關系式。例如：汽車油箱內存油40L，每行駛100km耗油10L,求行駛過程中油箱內剩余油量Q升與行駛路程S公里的函數關系式。解：Q=40-10×S100,即Q=40在一個變化過程中，自變量的取值通常有一定的范圍。本例題中的自變量取值范圍是0≤S≤400（存油40L，每10L油可以行駛100km,即行駛的最大路程S=4010×100=3、在直角坐標系中，如果描出以自變量的值為橫坐標、相應的函數值為縱坐標的點，那么所有這樣的點組成的圖形叫做這個函數的圖像。二、一次函數定義——一般地，如果兩個變量x和y之間的函數關系，可以表示為y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）的形式，那么稱y是x的一次函數。特別地，當b=0時，y叫做x的正比例函數。例1：一盤蚊香長105cm，點燃時每小時縮短10cm。（1）寫出蚊香點燃后的長度y（cm）與蚊香燃燒時間t（h）之間的函數關系式；（2）該盤蚊香可以使用多長時間？解：（1）y=105-10t（2）蚊香燃盡時，即y=0，由(1)得，105-10t=0，即t=105答：該盤蚊香可使用10.5h。例2：在彈性限度內，彈簧伸長的長度與所掛物體的質量成正比。（1）已知一根彈簧自身的長度為cm，且所掛物體的質量每增加1g，彈簧長度增加kcm，試寫出彈簧長度y（cm）與所掛物體質量x（g）之間的函數關系式；（2）已知這根彈簧掛10g物體時的長度為11cm，掛30g物體時的長度為15cm，試確定彈簧長度y（cm）與所掛物體質量x（g）之間的函數關系式。解：（1）根據題意，得函數關系式為:y=kx+b（2）由x=10時，y=11，得11=10k+b由x=30時，y=15，得15=30k+b解方程組10k+b=1130k=b=15得，所求函數關系式為:y=0.2x+9一次函數的圖象1、特點——一次函數y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）的圖象是一條直線。當k＞0，那么y隨x的增大而增大；當k＜0，那么y隨x的增大而減小。2、一次函數y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）的圖象與k、b的關系：k＞0，b＞0時，直線經過一、二、三象限；k＞0，b＜0時，直線經過一、三、四象限；k＜0，b＞0時，直線經過一、二、四象限；k＜0，b＜0時，直線經過二、三、四象限。3、一般地，正比例函數y=kx的圖象是經過原點的一條直線，一次函數y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）的圖象是由正比例函數y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|個單位長度得到的一條直線。4、畫一次函數的圖象時，只要確定兩個點的位置，過這兩點畫直線就可以了。例題：在平面直角坐標系中，畫一次函數y=-3x+3的圖象。解：把x=0代入y=-3x+3，得3yy=3２把y=0代入y=-3x+3，得x=1１ 過點（0，3）、（1，0）畫一條直線，-2-1o12x這條直線就是函數y=-3x+3的圖象。-1y=-3x+3-25、由函數解析式畫函數圖象，一般按下列步驟進行：⑴列表、⑵描點、⑶連線。描的點越多，圖象越準確。有時不能把所有的點都描出，就用光滑的曲線連結所畫的點，從而得到函數的近似的圖象。6、兩個一次函數的關系：當k相等，b不相等時，這兩條直線平行；當k不相等的時，這兩條直線相交。7、在求一個算式時，若已知所求結果具有某種形式，則可引入一些待確定的系數來表示結果，建立起給定算式和結果之間的恒等式，再根據條件對恒等式變形，確定待定的系數。這種方法稱為待定系數法。8、一次函數的一般形式為y=kx+b（k≠0），根據題中所給的條件，通過待定系數法，確定k和b值，即可求出一次函數的關系式。9、在解決一些實際問題時，確定一次函數關系式的關鍵是找到兩個變量之間的等量關系，運用一次函數的圖象和性質可以把一些實際問題轉化成函數問題，列出相應的函數關系式。運用一次函數解決問題時，注意函數的自變量的取值范圍要符合實際情況。例題：洗衣機在洗滌衣服時，經歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續的過程，其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y（L）與時間x（min）之間的關系如折線圖所示： y/L40O x/min415 根據圖象解答下列問題：洗衣機的進水時間是多少分鐘？清洗時洗衣機中的水量是多少升？已知洗衣機的排水速度為每分鐘19L。①求排水時y與x之間的關系式；②如果排水時間為2分鐘，求排水結束時洗衣機中剩下的水量。分析：此類問題是常見的生活問題，解決此題的關鍵是通過閱讀和信息的處理進行分析，看清、讀懂題意及題目中的數量關系。解：⑴由圖象可知：洗衣機的進水時間是4min，清洗時洗衣機中的水量是40L。⑵①由于圖象經過（15，40），排水速度為19L,設y與x