信號與系統(精編版)第8章系統的狀態變量分析信號與系統(精編版)第8章系統的狀態變量分析8.1系統的狀態、狀態變量與狀態方程

8.1.1系統的狀態、狀態變量概念

1.系統的狀態

這里我們先給系統的狀態下一個定義：系統在t0時刻的狀態是指一組最少數目的數據，知道這組數據并連同t≥t0時的輸入f(t)，足以確定t≥t0任意時刻的輸出y(t)，這組最少數目的數據，就稱為系統在t0時刻的狀態。8.1系統的狀態、狀態變量與狀態方程

8.1.1例如，一個n階連續系統t0時刻的n個數據和t≥t0時系統的p個輸入分別為

(8.1-1)例如，一個n階連續系統t0時刻的n個數據和t≥t0時系統圖8.1-1由L、C上電壓、電流關系看“狀態”圖8.1-1由L、C上電壓、電流關系看“狀態”

2.系統的狀態變量

為了簡化書寫，系統t0時刻的狀態常寫為{x(t0)}，t1時刻的狀態寫為{x(t1)}。即是說，系統的狀態是與觀察時刻密切相關的，若觀察時刻為t(為變量)，則系統的狀態也隨t變化，

t時刻的狀態書寫為{x(t)}，即{x1(t)，x2(t)，…，xn(t)}，稱x1(t)～xn(t)這n個變量為n階系統的狀態變量。2.系統的狀態變量

為了簡化書寫，系統t0時刻的狀8.1.2由電路引出系統的狀態方程與輸出方程

先從一個具體電路(系統)的例子看方程的列寫。圖8.1-2(a)為二階電路(系統)，圖中is(t)為激勵源(輸入)，u(t)、iC(t)為兩個響應(輸出)。從系統的觀點看，該電路屬于單輸入兩個輸出的系統，如圖8.1-2(b)所示。8.1.2由電路引出系統的狀態方程與輸出方程

先圖8.1-2二階電路(系統)圖8.1-2二階電路(系統)若用先前的外部描述法，可列寫u(t)~is(t)與iC(t)~is(t)二

階微分方程。若選uC(t)、iL(t)為該二階系統的兩個狀態變量，由節點a列寫KCL方程:

(8.1-2)

由回路B列寫KVL方程:

(8.1-3)若用先前的外部描述法，可列寫u(t)~is(t)與iC(整理式(8.1-2)、式(8.1-3)，分別得

(8.1-4)

(8.1-5)整理式(8.1-2)、式(8.1-3)，分別得

利用內部法亦可找到系統的輸出與狀態變量及系統輸入之間的關系，即系統輸出用系統的狀態變量與系統的輸入表示的代數方程，稱這種代數方程組為內部法描述系統的輸出方程。還是以此電路為例，列寫出該二階系統的輸出方程:

(8.1-6)

(8.1-7)利用內部法亦可找到系統的輸出與狀態變量及系統輸入之間的關將式(8.1-4)與式(8.1-5)、式(8.1-6)與式(8.1-7)兩方程組分別書寫為矩陣形式，即

(8.1-8)

(8.1-9)將式(8.1-4)與式(8.1-5)、式(8.1-6)8.1.3動態方程的一般形式

1.連續系統的動態方程

如圖8.1-3所示為n階連續系統的示意框圖，它有p個輸入，q個輸出，n個狀態變量。一般而言，連續系統的狀態方程，是由每個狀態變量的一階微分置方程的左端，而方程的右端由系統n個狀態變量經相應系數加權與輸入也經相應系數加權的代數和組成的狀態變量的一階微分方程組，8.1.3動態方程的一般形式

1.連續系統的動圖8.1-3n階連續系統示意框圖圖8.1-3n階連續系統示意框圖即

(8.1-10)即

(8.1-10)連續系統的輸出方程，是由系統的每個輸出置方程左端，而方程的右端由系統每個狀態變量經相應系數加權與輸入也經相應系數加權的代數和組成的代數方程組，即

(8.1-11)連續系統的輸出方程，是由系統的每個輸出置方程左端，而方程有時為了方程式簡潔明了，用

其他量也都如此表示，這樣，式(8.1-10)、式(8.1-11)可分別簡潔表示為

(8.1-12)有時為了方程式簡潔明了，用

其他量也都如此表示，這樣，

(8.1-13)

(8.1-13)引入狀態矢量、輸入矢量、輸出矢量及相關系數矩陣，可將狀態方程與輸出方程分別寫為更簡潔的矢量矩陣形式，即

(8.1-14)

(8.1-15)引入狀態矢量、輸入矢量、輸出矢量及相關系數矩陣，可將狀態式中式中分別為狀態矢量、狀態矢量的一階導數矢量、輸入矢量和輸出矢量。其中上標T表示轉置運算。分別為狀態矢量、狀態矢量的一階導數矢量、輸入矢量和輸出矢

2.離散系統的動態方程

圖8.1-4是n階離散系統的示意框圖，它同樣有p個輸入，q個輸出。對于離散系統，有關狀態、狀態變量的概念與連續系統類似，因為離散信號定義的特殊性，致使狀態變量、輸入、輸出都是序列，狀態方程表現為狀態變量的一階前向差分方程組；輸出方程更是與連續系統的輸出方程形式上類似，只是把連續變量t換為整數變量k，同樣都是代數方程。2.離散系統的動態方程

圖8.1-4是n階離散系統對于n階多輸入多輸出LTI離散系統，其狀態方程和輸出方程可分別寫為

(8.1-16)

(8.1-17)對于n階多輸入多輸出LTI離散系統，其狀態方程和輸出方程式中式中圖8.1-4n階離散系統示意框圖圖8.1-4n階離散系統示意框圖8.1.4關于狀態變量分析中幾點應明確的概念

(1)系統的狀態變量個數與系統的階數相匹配。

(2)對于同一個系統來說，狀態變量的選擇不唯一，對

應列寫出的狀態方程也不唯一。如前面講到的圖8.1-2(a)電路，選擇了uC、iL作為狀態變量列寫了狀態方程式(8.1-8)，

我們亦可選擇iC、uL作為該電路的狀態變量列寫出另外形式旳狀態方程。事實上，對于二階系統，如果它的狀態變量用x1，x2來表示，則這組變量的各種線性組合

(8.1-18a)

(8.1-18b)8.1.4關于狀態變量分析中幾點應明確的概念

((3)狀態空間與狀態軌跡概念。

為了使讀者能夠形象直觀地接受狀態軌跡概念，我們

對圖8.1-2(a)電路簡化配置參數：令RL=RC=0，L=0.5H，C=0.5F，uC(0)=0，iL(0)=0，is=1A，解得狀態變量

(8.1-19)(3)狀態空間與狀態軌跡概念。

為了使讀者能夠形圖8.1-5二維狀態空間狀態軌跡圖圖8.1-5二維狀態空間狀態軌跡圖8.2動態方程的建立

在系統的狀態變量法分析中，動態方程的建立是必需的一個重要環節。有了方程，方可施行時域法求解或變換域法求解。8.2動態方程的建立

在系統的狀態變8.2.1連續系統動態方程的建立

1.電路動態方程的建立

電路動態方程的列寫首先遇到的問題是如何選擇狀態變量。這里明確，一般建議選獨立電容上的電壓變量、獨立電感上的電流變量作為狀態變量。8.2.1連續系統動態方程的建立

1.電路動態那么電路中的獨立電容、獨立電感又該如何確定呢？“獨立”之意即是彼此不能線性相關。如圖8.2-1(a)、(b)兩電路中的電容不全是相互獨立的電容。對于圖(a)電路中的A回路，顯然有

(8.2-1)那么電路中的獨立電容、獨立電感又該如何確定呢？“獨立”之圖8.2-1只有電壓源和電容或僅有電容構成的回路圖8.2-1只有電壓源和電容或僅有電容構成的回路再觀察圖(b)電路中的B回路，Us是已知的電壓源，當然有

(8.2-2)

類似圖(a)情況的分析，圖(b)中兩個電容只有一個是獨立電容。

圖8.2-2(a)、(b)兩電路中的電感不全是相互獨立的電感。對于圖(a)電路中的a節點，顯然有

(8.2-3)

通過雷同對式(8.2-1)一樣的分析過程，可知這三個電感任取兩個電感為相互獨立的電感。再觀察圖(b)電路中的B回路，Us是已知的電壓源，當然有圖8.2-2只有電流源和電感或僅有電感構成的節點圖8.2-2只有電流源和電感或僅有電感構成的節點對于圖(b)電路中的b節點，有

(8.2-4)

也通過類似對式(8.2-2)一樣的分析過程，可知這兩個電感只有一個為獨立電感。對于圖(b)電路中的b節點，有

(8

例8.2-1圖8.2-3所示電路中，電流iC(t)和電壓u(t)為輸出。試選取狀態變量，列寫該電路的狀態方程和輸出方程。例8.2-1圖8.2-3所示電路中，電流iC(t)和圖8.2-3例8.2-1用圖圖8.2-3例8.2-1用圖

解本題并未指定狀態變量，按理說做題者有選擇狀態變量的自由，但一般都是選擇獨立電容電壓、獨立電感電流作為狀態變量。本題電路中不存在圖8.2-1中所示的回路，也不存在圖8.2-2中所示的節點，所以該電路中的電容與兩個電感都是獨立的。選電容電壓uC和電感電流iL2、iL3為狀態變量，

并令

(8.2-5)解本題并未指定狀態變量，按理說做題者有選擇狀態變量的對于接有電容C的節點b，可列出電流方程

(8.2-6)

選包含L2的回路abea和包含L3的回路abcdea，列出兩個獨立電壓方程

(8.2-7)對于接有電容C的節點b，可列出電流方程

整理式(8.2-6)、式(8.2-7)，得

(8.2-8)整理式(8.2-6)、式(8.2-7)，得

將式(8.2-8)寫為狀態方程的標準形式為

(8.2-9)將式(8.2-8)寫為狀態方程的標準形式為

再令電路的輸出iC=y1，u=y2，觀察電路可直接寫得輸出方程為

將上式寫為輸出方程的標準形式即矩陣形式

(8.2-10)再令電路的輸出iC=y1，u=y2，觀察電路可直接

例8.2-2圖8.2-4所示電路中各元件參數值已標示在圖上，電壓u3、電流i2為輸出。試列寫出該電路的狀態方程與輸出方程。例8.2-2圖8.2-4所示電路中各元件參數值已標示圖8.2-4例8.2-2用圖圖8.2-4例8.2-2用圖

解選電感上電流、電容上電壓分別作為狀態變量x1、x2，如圖中所標。對包含電感的回路A列寫KVL方程:

(8.2-11)

對連接電容的節點b列寫KCL方程:

(8.2-12)解選電感上電流、電容上電壓分別作為狀態變量x1、x2對節點a列寫KCL方程:

(8.2-13)

對回路B列寫KVL方程:

(8.2-14)對節點a列寫KCL方程:

(8.2將式(8.2-13)代入式(8.2-14)并整理得

(8.2-15)

將u3=x2代入式(8.2-12)、將式(8.2-15)代入式(8.2-11)并整理，得

(8.2-16)將式(8.2-13)代入式(8.2-14)并整理得

寫為矩陣形式，有

(8.2-17)

由y1=u3=x2，y2=i2=－(1/2)x1+(1/4)us，寫得輸出方程的矩陣形式

(8.2-18)寫為矩陣形式，有

(8.2-17)

2.由輸入輸出微分方程列寫動態方程

設n階LTI連續系統輸入輸出方程為

(8.2-19)2.由輸入輸出微分方程列寫動態方程

設n階LTI連若m=n，即方程兩端輸出與輸入的最高導數項次數相等，構造函數y1(t)，使其滿足方程

(8.2-20)

選取狀態變量

(8.2-21)若m=n，即方程兩端輸出與輸入的最高導數項次數相等，則寫得狀態方程

(8.2-22)則寫得狀態方程

(8.2-2由線性系統的疊加性及可微分性，得

(8.2-23)

由式(8.2-20)知

(8.2-24)由線性系統的疊加性及可微分性，得

(將式(8.2-24)代入式(8.2-23)并整理，得

再將式(8.2-21)代入上式，得系統的輸出方程為

(8.2-25)將式(8.2-24)代入式(8.2-23)并整理，得

再將式(8.2-22)、式(8.2-25)分別寫為矩陣形式

(8.2-26)將式(8.2-22)、式(8.2-25)分別寫為矩陣形式

(8.2-27)

(8.2-27)若m＜n，則狀態方程不變化，而輸出方程有更簡潔形式。令式(8.2-27)中bn=0，得

(8.2-28)若m＜n，則狀態方程不變化，而輸出方程有更簡潔形式。令式

例8.2-3已知LTI連續系統的輸入輸出方程為

試列寫該系統的狀態方程與輸出方程。例8.2-3已知LTI連續系統的輸入輸出方程為

解觀察方程，顯然屬于m＜n的情況，所以由式(8.2-26)、式(8.2-28)寫得該系統的狀態方程、輸出方程分別為解觀察方程，顯然屬于m＜n的情況，所以由式(8.2-

例8.2-4連續LTI系統的輸入輸出方程為

試列寫該系統的狀態方程與輸出方程。例8.2-4連續LTI系統的輸入輸出方程為

試

解觀察方程，顯然也屬于m＜n的情況，所以由式

(8.2-26)、式(8.2-28)寫得該系統的狀態方程、輸出方程分別為解觀察方程，顯然也屬于m＜n的情況，所以由式

(8.

例8.2-5描述LTI連續系統的輸入輸出微分方程為

試列寫該系統的狀態方程與輸出方程。例8.2-5描述LTI連續系統的輸入輸出微分方程為

解觀察方程知，屬m=n的情況且an不等于1。先對方程兩端同除以2，得

由上式認定：a2=2.5，a1=1.5，a0=1；b3=1，b2=3.5，b1=1，b0=0。(熟練之后，這一步可不寫出來)，套式(8.2-26)寫得狀態方程為解觀察方程知，屬m=n的情況且an不等于1。先對套式(8.2-27)寫得輸出方程為套式(8.2-27)寫得輸出方程為

3.由框圖描述的系統列寫動態方程

由模擬框圖列寫動態方程有一種直觀簡單的方法，其步驟是：

(1)選積分器輸出端為狀態變量，則積分器輸入端即是狀態變量的一階微分，正是狀態方程所需要的形式。

(2)圍繞加法器輸出端，考慮圖中各運算部件的運算功能，直接列寫狀態方程與輸出方程。3.由框圖描述的系統列寫動態方程

由模擬框圖列寫動

例8.2-6LTI連續系統直接形式的框圖如圖8.2-5所示，試列寫該系統的狀態方程與輸出方程。例8.2-6LTI連續系統直接形式的框圖如圖8.2-圖8.2-5LTI連續系統直接型模擬框圖圖8.2-5LTI連續系統直接型模擬框圖

解選積分器的輸出端為狀態變量，分別為x1、x2、x3，如圖8.2-5中所標。觀察框圖，則由積分器、加法器運算規則，直接寫得狀態方程為解選積分器的輸出端為狀態變量，分別為x1、x2、x3輸出方程為

y=5x1+4x3

將狀態方程和輸出方程寫為矩陣形式，有輸出方程為

y=5x1+4x3

將狀態方

例8.2-7LTI連續系統并聯形式的框圖如圖8.2-6所示，試列寫該系統的狀態方程與輸出方程。例8.2-7LTI連續系統并聯形式的框圖如圖8.2-圖8.2-6LTI連續系統并聯型模擬框圖圖8.2-6LTI連續系統并聯型模擬框圖

解選積分器的輸出端為狀態變量，分別為x1、x2、x3，如圖8.2-6中所標。則由積分器、加法器運算規則，直接寫得狀態方程為

輸出方程為

y=4x1－5x2+6x3解選積分器的輸出端為狀態變量，分別為x1、x2、x3將狀態方程和輸出方程寫為矩陣形式，有將狀態方程和輸出方程寫為矩陣形式，有

例8.2-8LTI連續系統級聯形式的框圖如圖8.2-7所示，試列寫該系統的狀態方程與輸出方程。例8.2-8LTI連續系統級聯形式的框圖如圖8.2-圖8.2-7LTI連續系統級聯型模擬框圖圖8.2-7LTI連續系統級聯型模擬框圖

解選積分器的輸出端為狀態變量，分別為x1、x2、x3，如圖8.2-7中所標。則由積分器、加法器運算規則，直接寫得狀態方程為

輸出方程為

y=x3解選積分器的輸出端為狀態變量，分別為x1、x2、x3將狀態方程和輸出方程寫為矩陣形式，有將狀態方程和輸出方程寫為矩陣形式，有

4.由系統函數列寫動態方程

例8.2-9描述某LTI連續系統的系統函數為

試列寫該系統的動態方程。4.由系統函數列寫動態方程

例8.2-9描述某

解由已知的系統函數寫得系統的輸入輸出方程為

上式兩端同除以4，得解由已知的系統函數寫得系統的輸入輸出方程為

上式由上式認定：a2=1.25，a1=1.5，a0=1.75；b2=0.25，b1=0.5，b0=0.75。觀察方程，左端輸出最高導數項是3，右

端輸入最高導數項是2，屬于m＜n的情況。套式(8.2-26)、

式(8.2-28)寫得該系統的狀態方程、輸出方程分別為由上式認定：a2=1.25，a1=1.5，a0=8.2.2離散系統動態方程的建立

1.由輸入輸出差分方程列寫動態方程

例8.2-10已知LTI二階離散系統的輸入輸出差分方程為

試列寫該二階系統的狀態方程與輸出方程。8.2.2離散系統動態方程的建立

1.由輸入輸出

解我們在第5章離散信號與系統時域分析中就知道：如上二階后向差分方程，若知y(－1)、y(－2)及k≥0時的輸入f(k)，就可完全確定k≥0時的輸出y(k)。聯系這章8.1節中講的狀態、狀態變量概念，考慮y(－2)是序列y(k－2)在k=0時的值，y(－1)是y(k－1)在k=0時的值，y(－2)、y(－1)是系統k=0時的起始狀態，所以選y(k－2)、y(k－1)作為該二階系統的兩個狀態變量。為了通用性，這里亦用x表示狀態變量，令

(8.2-29)解我們在第5章離散信號與系統時域分析中就知道：如上二將上式兩端均左移1位并考慮所選的狀態變量及原差分方程，有

(8.2-30)

式(8.2-30)所表示的一階前向差分方程組即是該系統的狀態方程。將上式兩端均左移1位并考慮所選的狀態變量及原差分方程，有顯然可得系統的輸出方程為

(8.2-31)

將狀態方程、輸出方程寫為矩陣形式，分別為

(8.2-32)

(8.2-33)顯然可得系統的輸出方程為

(8.2-

例8.2-11已知LTI三階離散系統的輸入輸出差分方程為

試列寫該系統的狀態方程與輸出方程。例8.2-11已知LTI三階離散系統的輸入輸出差分方

解構造函數y1(k)，使其滿足方程

(8.2-34)

選狀態變量

(8.2-35)解構造函數y1(k)，使其滿足方程

將上式兩端均左移1位并考慮所選的狀態變量及式(8.2-34)表示的差分方程形式，有

(8.2-36)將上式兩端均左移1位并考慮所選的狀態變量及式(8.2-3將上式寫為狀態方程的矩陣形式，有

(8.2-37)將上式寫為狀態方程的矩陣形式，有

由線性系統的疊加性及可差分性，得

(8.2-38)

由式(8.2-34)知

(8.2-39)由線性系統的疊加性及可差分性，得

將式(8.2-39)代入式(8.2-38)，得

(8.2-40)

上式即為該系統的輸出方程，寫為矩陣形式，有

(8.2-41)將式(8.2-39)代入式(8.2-38)，得

例8.2-12已知n階LTI離散系統的輸入輸出差分方程為

試列寫該系統的狀態方程和輸出方程。例8.2-12已知n階LTI離散系統的輸入輸出差分方

解構造函數y1(k)，使其滿足方程

(8.2-42)解構造函數y1(k)，使其滿足方程

選狀態變量

(8.2-43)選狀態變量

(8.2-43)將上式兩端均左移1位并考慮所選的狀態變量及式(8.2-42)表示的差分方程形式，有

(8.2-44)將上式兩端均左移1位并考慮所選的狀態變量及式(8.2-4將上式寫為狀態方程的矩陣形式，有

(8.2-45)

由線性系統的疊加性及可差分性，可以得到輸出方程，但要區分兩種情況。將上式寫為狀態方程的矩陣形式，有

(1)m=n情況。

(8.2-46)

由式(8.2-42)，得

(8.2-47)(1)m=n情況。

(8.將式(8.2-47)代入式(8.2-46)并整理，得輸出方程為

(8.2-48)將式(8.2-47)代入式(8.2-46)并整理，得輸出寫為矩陣形式，有

(8.2-49)寫為矩陣形式，有

(8.2-4(2)m＜n情況。這種情況可看作式(8.2-49)的特殊情況。令式(8.2-49)中bn=0，得輸出方程更為簡潔的形式

(8.2-50)(2)m＜n情況。這種情況可看作式(8.2-49)的特

2.由框圖描述的系統列寫動態方程

由模擬框圖列寫動態方程有一種直觀簡單的方法，其步驟是：

(1)選延時器的輸出端為狀態變量，則輸入端為狀態變量的左移1位序列，即離散系統所需要的狀態方程形式。

(2)圍繞加法器輸出端，考慮圖中各運算部件的運算功能，直接列寫狀態方程與輸出方程。2.由框圖描述的系統列寫動態方程

由模擬框圖列寫動

例8.2-13LTI離散系統直接形式的框圖如圖8.2-8所示，試列寫該系統的狀態方程與輸出方程。例8.2-13LTI離散系統直接形式的框圖如圖8.2圖8.2-8LTI離散系統直接型模擬框圖圖8.2-8LTI離散系統直接型模擬框圖

解選延時器輸出端為狀態變量，分別為x1、x2、x3，如圖8.2-8中所標。觀察框圖，則由延時器、加法器運算規則，直接寫得狀態方程為

輸出方程為解選延時器輸出端為狀態變量，分別為x1、x2、x3，將狀態方程和輸出方程寫為矩陣形式，有將狀態方程和輸出方程寫為矩陣形式，有

例8.2-14LTI離散系統并聯形式的框圖如圖8.2-9所示，試列寫該系統的狀態方程與輸出方程。例8.2-14LTI離散系統并聯形式的框圖如圖8.2圖8.2-9LTI離散系統并聯型模擬框圖圖8.2-9LTI離散系統并聯型模擬框圖

解選延時器的輸出端為狀態變量，分別為x1、x2、x3，如圖8.2-9中所標。則由延時器、加法器運算規則，直接寫得狀態方程為

輸出方程為解選延時器的輸出端為狀態變量，分別為x1、x2、x3將狀態方程和輸出方程寫為矩陣形式，有將狀態方程和輸出方程寫為矩陣形式，有

例8.2-15LTI離散系統級聯形式的框圖如圖8.2-10所示，試列寫該系統的狀態方程與輸出方程。例8.2-15LTI離散系統級聯形式的框圖如圖8.2圖8.2-10LTI離散系統級聯型模擬框圖圖8.2-10LTI離散系統級聯型模擬框圖

解選延時器的輸出端為狀態變量，分別為x1、x2、x3，如圖8.2-10中所標。則由延時器、加法器運算規則，直接寫得狀態方程為

輸出方程為

y=x3解選延時器的輸出端為狀態變量，分別為x1、x2、x3將狀態方程和輸出方程寫為矩陣形式，有將狀態方程和輸出方程寫為矩陣形式，有

3.由系統函數列寫動態方程

例8.2-16描述某LTI離散系統的系統函數為

試列寫該系統的動態方程。3.由系統函數列寫動態方程

例8.2-16描述

解因前面講到由后向差分方程列寫動態方程，所以這里先將系統函數改寫為z的負冪次表示的分式形式

再書寫系統的后向差分方程為解因前面講到由后向差分方程列寫動態方程，所以這里先將由以上方程認定：a0=8，a1=7，a2=6，a3=1；b0=5，b1=4，b2=1，b3=0。套用式(8.2-45)與式(8.2-50)分別寫得狀態方程與輸出方程為由以上方程認定：a0=8，a1=7，a2=6，a3=1；8.3連續系統動態方程的求解

為了討論問題的一般性，設n階系統有p個輸入、q個輸出，如圖8.3-1所示。8.3連續系統動態方程的求解

為了討論問圖8.3-1有p個輸入、q個輸出的LTI系統圖8.3-1有p個輸入、q個輸出的LTI系統本章8.1節中已得到連續系統狀態方程與輸出方程的一般形式，為了求解方便，重書寫在這里。

(8.3-1)

(8.3-2)本章8.1節中已得到連續系統狀態方程與輸出方程的一般形式式中：A、B、C、D分別為n×n階、n×p階、q×n階、q×p階常量矩陣。在求解式(8.3-1)、式(8.3-2)的過程中將使用一個關鍵的矩陣指數函數eAt。在具體討論狀態方程求解之前，先對矩陣指數函數有所認識。定義

(8.3-3)式中：A、B、C、D分別為n×n階、n×p階、q×n階、q×式中：I為單位陣；A為n×n方陣，eAt也是n×n方陣，因有時間變量t，所以稱為矩陣指數函數。eAt有以下主要性質：

(8.3-4)

(8.3-5)

(8.3-6)

(8.3-7)式中：I為單位陣；A為n×n方陣，eAt也是n×n方陣，8.3.1時域解法

考慮e－At是矩陣指數函數，所以對式(8.3-1)兩端同左乘e－At，得

即有8.3.1時域解法

考慮e－At是矩陣指數函數，所以對上式兩端作t0～t之積分，有

改變上式左端積分元，得

(8.3-8)對上式兩端作t0～t之積分，有

改變上式左端積分元，得由式(8.3-8)顯然可得

對上式兩端左乘eAt可解得狀態矢量為

(8.3-9)由式(8.3-8)顯然可得

對上式兩端左乘eAt可解得eAt是計算xx(t)和xf(t)之前必須先計算的關鍵函數，從系統狀態概念考慮，稱它為狀態轉移函數，用符號j(t)表示，即有

j(t)=eAt(8.3-10)eAt是計算xx(t)和xf(t)之前必須先計算的關鍵仿照矩陣乘規則定義二矩陣卷積，但應注意矩陣卷積不滿足交換律。仿照矩陣乘規則定義二矩陣卷積，但應注意矩陣卷積不滿足交換若考慮t0=0并將eAt改為狀態轉移矩陣符號j(t)表示，則式(8.3-9)可改寫為

(8.3-11)

將式(8.3-11)代入式(8.3-2)，得

(8.3-12)若考慮t0=0并將eAt改為狀態轉移矩陣符號j(t)表示式(8.3-12)中第(Ⅰ)部分只與系統起始狀態x(0)有關，稱為系統的零輸入響應，記為yx(t)；第(Ⅱ)部分只與t≥0時的輸入有關，稱為系統的零狀態響應，記為yf(t)。若把這兩種響應分別單獨書寫，即有

(8.3-13)

(8.3-14)式(8.3-12)中第(Ⅰ)部分只與系統起始狀態x(0)有關再定義單位沖激陣：

(8.3-15)再定義單位沖激陣：

(8.3-1同樣有單位沖激陣與輸入矢量(陣)相卷積，其結果仍為輸入矢量，即

(8.3-16)

應用式(8.3-16)關系，改寫式(8.3-14)，得

(8.3-17)同樣有單位沖激陣與輸入矢量(陣)相卷積，其結果仍為輸入矢上式中

(8.3-18)上式中

(8.3-18)8.3.2狀態方程的變換域解

考慮應用單邊拉氏變換的時域微分性質，對式(8.3-1)取拉氏變換，有

由上式解得

(8.3-19)8.3.2狀態方程的變換域解

考慮應用單邊拉氏變對式(8.3-11)取拉氏變換，并注意應用時域卷積定理，得

(8.3-20)

比較式(8.3-19)與式(8.3-20)可知

(8.3-21)

Φ(s)是狀態轉移矩陣j(t)的拉氏變換象函數，稱它為s域預解矩陣。

對式(8.3-2)輸出方程取拉氏變換，有

(8.3-22)對式(8.3-11)取拉氏變換，并注意應用時域卷積定理，得

將式(8.3-20)代入式(8.3-22)，得

(8.3-23)將式(8.3-20)代入式(8.3-22)，得

若對式(8.3-17)作拉氏變換，顯然有

(8.3-24)

比較式(8.3-24)與式(8.3-23)中的第(Ⅱ)部分，顯然可得

(8.3-25)

對H(s)取拉氏逆變換即得系統的單位沖激響應矩陣h(t)。若對式(8.3-17)作拉氏變換，顯然有

8.3.3求狀態轉移矩陣j(t)即eAt

狀態轉移矩陣j(t)在整個系統狀態變量分析中起著非常重要的作用。在時域里有“化對角陣法”、“多項式法”等多種求狀態轉移矩陣的方法，這里只介紹簡單而又常用的“多項式法”。這種方法的基本思路是依據凱萊-哈密頓定理將eAt定義式(8.3-3)中無窮項和轉化為有限項之和。凱萊-哈密頓定理指出，對于n階方陣A，當m≥n時，有

(8.3-26)8.3.3求狀態轉移矩陣j(t)即eAt

狀態轉即對于A高于或等于n的冪指數，可用An－1以下冪次的各項線性組合表示。于是，將eAt定義式(8.3-3)中高于或等于n次的各項冪指數全部用An－1以下冪次的各項線性組合表示，經整理后即可將eAt轉化為如下有限項之和形式：

(8.3-27)即對于A高于或等于n的冪指數，可用An－1以下冪次的各項線性由凱萊-哈密頓定理還可得出，如果將方陣A的特征根

λi(i=0，1，2，…，n－1)(即A的特征多項式det(λI－A)=0的根)替代式(8.3-27)中的A，方程仍然成立，即有

(8.3-28)由凱萊-哈密頓定理還可得出，如果將方陣A的特征根

λi若A的特征根λi均為相異單根，則由上式可得n個聯立方程組

(8.3-29)

解式(8.3-29)方程組，得αi(i=0，1，…，n－1)，代入式

(8.3-27)，即得狀態轉移矩陣eAt=j(t)。若A的特征根λi均為相異單根，則由上式可得n個聯立方程若特征根中有二重根，如λ1=λ2為二重根，其余λi(i=3，4，…，n－1)仍為相異單根，則方程組演變為

(8.3-30)

解式(8.3-30)方程組，得αi代入式(8.3-27)，即得狀態轉移矩陣eAt=j(t)。若特征根中有二重根，如λ1=λ2為二重根，其余λi(i=

例8.3-1已知

解

依式(8.3-29)列本例方程組

例8.3-1已知

解

依式(8.3

解得代入式

(8.3-27)，得狀態轉移矩陣

解得代入式

(

例8.3-2已知

解

依式(8.3-30)列本例方程組

例8.3-2已知

解

依式(8.3解得

將α0、α1代入式(8.3-27)，得狀態轉移矩陣解得

將α0、α1代入式(8.3-27)，得狀態轉移矩

例8.3-3已知

解

例8.3-3已知

解對上式右端矩陣作拉氏逆變換，得對上式右端矩陣作拉氏逆變換，得

例8.3-4已知系統的狀態方程與輸出方程分別為

并知求系統的輸出y(t)。例8.3-4已知系統的狀態方程與輸出方程分別為

(1)求系統特征根:

解得λ1=－1，λ2=－2。(1)求系統特征根:

解得λ1=－1，λ2=－(2)求狀態轉移矩陣eAt。

依式(7.3-29)列本例方程組

解得(2)求狀態轉移矩陣eAt。

依式(7.3-29)故得故得

(3)計算狀態矢量。(3)計算狀態矢量。(4)計算輸出y(t)。

考慮本問題C=［10]，D=0，所以系統輸出為(4)計算輸出y(t)。

考慮本問題C=［10]

例8.3-5

已知系統的狀態方程與輸出方程分別為

且知求系統的輸出y(t)。例8.3-5已知系統的狀態方程與輸出方程分別為

解用拉氏變換解。

(1)求Φ(s)，F(s)。解用拉氏變換解。

(1)求Φ(s)，F(s)。

(2)計算X(s)。(2)計算X(s)。

(3)計算Y(s)。(3)計算Y(s)。

(4)取拉氏逆變換，算得(4)取拉氏逆變換，算得8.4離散系統動態方程的求解

離散系統狀態方程和輸出方程矩陣形式分別為

(8.4-1) (8.4-2)

這里仍設n階系統有p個輸入、q個輸出。上式中A、B、C、

D分別為n×n階、n×p階、q×n階、q×p階常量矩陣。8.4離散系統動態方程的求解

離8.4.1時域解法

1.迭代歸納解的一般形式

設x(k0)為k0時刻的狀態，由式(8.4-1)得8.4.1時域解法

1.迭代歸納解的一般形式

觀察規律，歸納得解的一般形式為觀察規律，歸納得解的一般形式為令上式中m=k，則得

(8.4-3)

若k0=0，則式(8.4-3)又可改寫為

(8.4-4)令上式中m=k，則得

(8.4-3)式(8.4-4)即是離散系統狀態矢量的解，其中(Ⅰ)部分為狀態矢量的零輸入解；(Ⅱ)部分為狀態矢量的零狀態解。應注意，當k=0時，式中(Ⅱ)部分是不存在的，這是因為第(Ⅱ)部分的求和式的上、下限是i=0至k－1，所以k－1＞0即要求

k＞1時才有第(Ⅱ)部分。此時的結果只有第(Ⅰ)項，即x(0)本身。于是將上式對k的限制以乘階躍序列的形式書寫表意更確切，式(8.4-4)可改寫為

(8.4-5)式(8.4-4)即是離散系統狀態矢量的解，其中(Ⅰ)部分將式(8.4-5)代入式(8.4-2)即得系統的輸出為

(8.4-6)將式(8.4-5)代入式(8.4-2)即得系統的輸出為

2.定義狀態轉移矩陣j(k)=Ak

與連續系統類似，離散系統狀態轉移矩陣亦具有以下幾點重要性質：2.定義狀態轉移矩陣j(k)=Ak

與連續系統類似將狀態矢量x(k)與輸出y(k)用狀態轉移矩陣j(k)表示，改寫式(8.4-5)、式(8.4-6)得

(8.4-10)

(8.4-11)將狀態矢量x(k)與輸出y(k)用狀態轉移矩陣j(k)表

3.系統單位序列矩陣h(k)

如同連續系統一樣，這里定義單位序列為

(8.4-12)

亦有3.系統單位序列矩陣h(k)

如同連續系統一樣，這定義系統的單位序列矩陣為

(8.4-13)定義系統的單位序列矩陣為

8.4.2狀態方程的變換域解

對式(8.4-1)取單邊Z變換，得

解上式，得

(8.4-14)

對式(8.4-2)取單邊Z變換，得8.4.2狀態方程的變換域解

對式(8.4-1)將式(8.4-14)代入上式，得

(8.4-15)將式(8.4-14)代入上式，得

系統函數為

(8.4-16)

對上式作逆Z變換即得系統的單位序列矩陣h(k)。系統函數為

(8.4-16)

對

1.定義Φ(z)j(k)

應用j(k)改寫yx(k)，得

yx(k)=Cj(k)x(0)(8.4-17)

而由式(8.4-15)知

Yx(z)=C

［zI－A］－1zx(0)(8.4-18)

觀察對比式(8.4-17)與式(8.4-18)可以看出

j(k)Φ(z)=［zI－A］－1z(8.4-19)

Φ(z)稱為預解矩陣，應注意它與連續系統中的預解矩陣Φ(s)的區別。1.定義Φ(z)j(k)

應用j(k)改寫y

2.利用Φ(z)改寫X(z)、Y(z)、H(z)表示形式

將式(8.4-19)分別代入式(8.4-14)、式(8.4-15)、式(8.4-16)并整理，得2.利用Φ(z)改寫X(z)、Y(z)、H(z)表示形8.4.3j(k)=Ak的求法

1.化Ak為有限項和法

由凱萊-哈密頓定理可知，對于n階方陣A，對于k≥n，Ak也可展開為有限項和

(8.4-23)

并且用A的特征根λi替代式(8.4-23)中的矩陣A，方程仍成立，即滿足

(8.4-24)8.4.3j(k)=Ak的求法

1.化Ak為有若A的特征根λi均為相異單根，則由上式可得n個聯立方程組

(8.4-25)

解式(8.4-25)方程組，得αi(i=0，1，…，n－1)，代入式

(8.4-23)，即得狀態轉移矩陣j(k)。若A的特征根λi均為相異單根，則由上式可得n個聯立方程組若特征根中有二重根，如λ1=λ2為二重根，其余λi(i=3，4，…，n－1)仍為相異單根，則方程組演變為

(8.4-26)

解式(8.4-26)方程組，得αi代入式(8.4-23)，即得狀態轉移矩陣j(k)。若特征根中有二重根，如λ1=λ2為二重根，其余λi(i=

2.Z變換法求j(k)。

基本步驟：2.Z變換法求j(k)。

基本步驟：

例8.4-1已知

解

解得特征根。λ1=2，λ2=3。

由式(8.4-25)列寫方程組

例8.4-1已知

解

解得特征根。λ1解得

所以解得

所以

例8.4-2已知

解

解得特征根：λ1=λ2=2(二重根)。

依式(8.4-26)列方程組

例8.4-2已知

解

解得特征根：λ1解得

所以解得

所以

例8.4-3某離散系統的狀態方程與輸出方程分別為

(1)求系統的單位序列矩陣h(k)；

(2)若求零輸入響應yx(k)和零狀態響應yf(k)。例8.4-3某離散系統的狀態方程與輸出方程分別為

解(1)采用時域法求解。

①求j(k)。

本例A矩陣與例8.4-1系統的相同，所以狀態轉移矩陣相同，這里就不重復求解，只直接用其結果。解(1)采用時域法求解。

①求j(k)。

②求h(k)。

因本問題D=0，所以②求h(k)。

因本問題D=0，所以③求零輸入響應yx(k)。

由式(8.4-11)可知③求零輸入響應yx(k)。

由式(8.4-11)可④求零狀態響應yf(k)。

由式(8.4-11)可知

考慮本例子D=0，所以④求零狀態響應yf(k)。

由式(8.4-11)可若還要求全響應，則若還要求全響應，則(2)用Z變換法求解。

①求預解矩陣Φ(z)。(2)用Z變換法求解。

①求預解矩陣Φ(z)。

信號與系統(精編版)第8章-系統的狀態變量分析課件信號與系統(精編版)第8章-系統的狀態變量分析課件

例8.4-4某離散系統的狀態方程和輸出方程分別為

若k≥0時f(k)=0，y(k)=8(－1)k－5(－2)k。求常數a、b及狀態變量x1(k)、x2(k)。例8.4-4某離散系統的狀態方程和輸出方程分別為

解由已知條件知

故可看出系統的兩個特征根：λ1=－1，λ2=－2。而

(8.4-27)解由已知條件知

故可看出系統的兩個特征根：λ1=－由于

(8.4-28)

令式(8.4-27)與式(8.4-28)相等，即

比較上式兩端λ的同次冪系數，便得：a=3，b=－4。由于

(8.4-28)

令式(8.4-2由特征根列寫有限項和式方程

解得由特征根列寫有限項和式方程

解得所以狀態轉移矩陣所以狀態轉移矩陣

設

設解得x1(0)=2，x2(0)=1。對本例因D＝０，f(k)=0，所以本例系統的狀態矢量為解得x1(0)=2，x2(0)=1。對本例因D＝０，f(k)信號與系統(精編版)第8章系統的狀態變量分析信號與系統(精編版)第8章系統的狀態變量分析8.1系統的狀態、狀態變量與狀態方程

8.1.1系統的狀態、狀態變量概念

1.系統的狀態

這里我們先給系統的狀態下一個定義：系統在t0時刻的狀態是指一組最少數目的數據，知道這組數據并連同t≥t0時的輸入f(t)，足以確定t≥t0任意時刻的輸出y(t)，這組最少數目的數據，就稱為系統在t0時刻的狀態。8.1系統的狀態、狀態變量與狀態方程

8.1.1例如，一個n階連續系統t0時刻的n個數據和t≥t0時系統的p個輸入分別為

(8.1-1)例如，一個n階連續系統t0時刻的n個數據和t≥t0時系統圖8.1-1由L、C上電壓、電流關系看“狀態”圖8.1-1由L、C上電壓、電流關系看“狀態”

2.系統的狀態變量

為了簡化書寫，系統t0時刻的狀態常寫為{x(t0)}，t1時刻的狀態寫為{x(t1)}。即是說，系統的狀態是與觀察時刻密切相關的，若觀察時刻為t(為變量)，則系統的狀態也隨t變化，

t時刻的狀態書寫為{x(t)}，即{x1(t)，x2(t)，…，xn(t)}，稱x1(t)～xn(t)這n個變量為n階系統的狀態變量。2.系統的狀態變量

為了簡化書寫，系統t0時刻的狀8.1.2由電路引出系統的狀態方程與輸出方程

先從一個具體電路(系統)的例子看方程的列寫。圖8.1-2(a)為二階電路(系統)，圖中is(t)為激勵源(輸入)，u(t)、iC(t)為兩個響應(輸出)。從系統的觀點看，該電路屬于單輸入兩個輸出的系統，如圖8.1-2(b)所示。8.1.2由電路引出系統的狀態方程與輸出方程

先圖8.1-2二階電路(系統)圖8.1-2二階電路(系統)若用先前的外部描述法，可列寫u(t)~is(t)與iC(t)~is(t)二

階微分方程。若選uC(t)、iL(t)為該二階系統的兩個狀態變量，由節點a列寫KCL方程:

(8.1-2)

由回路B列寫KVL方程:

(8.1-3)若用先前的外部描述法，可列寫u(t)~is(t)與iC(整理式(8.1-2)、式(8.1-3)，分別得

(8.1-4)

(8.1-5)整理式(8.1-2)、式(8.1-3)，分別得

利用內部法亦可找到系統的輸出與狀態變量及系統輸入之間的關系，即系統輸出用系統的狀態變量與系統的輸入表示的代數方程，稱這種代數方程組為內部法描述系統的輸出方程。還是以此電路為例，列寫出該二階系統的輸出方程:

(8.1-6)

(8.1-7)利用內部法亦可找到系統的輸出與狀態變量及系統輸入之間的關將式(8.1-4)與式(8.1-5)、式(8.1-6)與式(8.1-7)兩方程組分別書寫為矩陣形式，即

(8.1-8)

(8.1-9)將式(8.1-4)與式(8.1-5)、式(8.1-6)8.1.3動態方程的一般形式

1.連續系統的動態方程

如圖8.1-3所示為n階連續系統的示意框圖，它有p個輸入，q個輸出，n個狀態變量。一般而言，連續系統的狀態方程，是由每個狀態變量的一階微分置方程的左端，而方程的右端由系統n個狀態變量經相應系數加權與輸入也經相應系數加權的代數和組成的狀態變量的一階微分方程組，8.1.3動態方程的一般形式

1.連續系統的動圖8.1-3n階連續系統示意框圖圖8.1-3n階連續系統示意框圖即

(8.1-10)即

(8.1-10)連續系統的輸出方程，是由系統的每個輸出置方程左端，而方程的右端由系統每個狀態變量經相應系數加權與輸入也經相應系數加權的代數和組成的代數方程組，即

(8.1-11)連續系統的輸出方程，是由系統的每個輸出置方程左端，而方程有時為了方程式簡潔明了，用

其他量也都如此表示，這樣，式(8.1-10)、式(8.1-11)可分別簡潔表示為

(8.1-12)有時為了方程式簡潔明了，用

其他量也都如此表示，這樣，

(8.1-13)

(8.1-13)引入狀態矢量、輸入矢量、輸出矢量及相關系數矩陣，可將狀態方程與輸出方程分別寫為更簡潔的矢量矩陣形式，即

(8.1-14)

(8.1-15)引入狀態矢量、輸入矢量、輸出矢量及相關系數矩陣，可將狀態式中式中分別為狀態矢量、狀態矢量的一階導數矢量、輸入矢量和輸出矢量。其中上標T表示轉置運算。分別為狀態矢量、狀態矢量的一階導數矢量、輸入矢量和輸出矢

2.離散系統的動態方程

圖8.1-4是n階離散系統的示意框圖，它同樣有p個輸入，q個輸出。對于離散系統，有關狀態、狀態變量的概念與連續系統類似，因為離散信號定義的特殊性，致使狀態變量、輸入、輸出都是序列，狀態方程表現為狀態變量的一階前向差分方程組；輸出方程更是與連續系統的輸出方程形式上類似，只是把連續變量t換為整數變量k，同樣都是代數方程。2.離散系統的動態方程

圖8.1-4是n階離散系統對于n階多輸入多輸出LTI離散系統，其狀態方程和輸出方程可分別寫為

(8.1-16)

(8.1-17)對于n階多輸入多輸出LTI離散系統，其狀態方程和輸出方程式中式中圖8.1-4n階離散系統示意框圖圖8.1-4n階離散系統示意框圖8.1.4關于狀態變量分析中幾點應明確的概念

(1)系統的狀態變量個數與系統的階數相匹配。

(2)對于同一個系統來說，狀態變量的選擇不唯一，對

應列寫出的狀態方程也不唯一。如前面講到的圖8.1-2(a)電路，選擇了uC、iL作為狀態變量列寫了狀態方程式(8.1-8)，

我們亦可選擇iC、uL作為該電路的狀態變量列寫出另外形式旳狀態方程。事實上，對于二階系統，如果它的狀態變量用x1，x2來表示，則這組變量的各種線性組合

(8.1-18a)

(8.1-18b)8.1.4關于狀態變量分析中幾點應明確的概念

((3)狀態空間與狀態軌跡概念。

為了使讀者能夠形象直觀地接受狀態軌跡概念，我們

對圖8.1-2(a)電路簡化配置參數：令RL=RC=0，L=0.5H，C=0.5F，uC(0)=0，iL(0)=0，is=1A，解得狀態變量

(8.1-19)(3)狀態空間與狀態軌跡概念。

為了使讀者能夠形圖8.1-5二維狀態空間狀態軌跡圖圖8.1-5二維狀態空間狀態軌跡圖8.2動態方程的建立

在系統的狀態變量法分析中，動態方程的建立是必需的一個重要環節。有了方程，方可施行時域法求解或變換域法求解。8.2動態方程的建立

在系統的狀態變8.2.1連續系統動態方程的建立

1.電路動態方程的建立

電路動態方程的列寫首先遇到的問題是如何選擇狀態變量。這里明確，一般建議選獨立電容上的電壓變量、獨立電感上的電流變量作為狀態變量。8.2.1連續系統動態方程的建立

1.電路動態那么電路中的獨立電容、獨立電感又該如何確定呢？“獨立”之意即是彼此不能線性相關。如圖8.2-1(a)、(b)兩電路中的電容不全是相互獨立的電容。對于圖(a)電路中的A回路，顯然有

(8.2-1)那么電路中的獨立電容、獨立電感又該如何確定呢？“獨立”之圖8.2-1只有電壓源和電容或僅有電容構成的回路圖8.2-1只有電壓源和電容或僅有電容構成的回路再觀察圖(b)電路中的B回路，Us是已知的電壓源，當然有

(8.2-2)

類似圖(a)情況的分析，圖(b)中兩個電容只有一個是獨立電容。

圖8.2-2(a)、(b)兩電路中的電感不全是相互獨立的電感。對于圖(a)電路中的a節點，顯然有

(8.2-3)

通過雷同對式(8.2-1)一樣的分析過程，可知這三個電感任取兩個電感為相互獨立的電感。再觀察圖(b)電路中的B回路，Us是已知的電壓源，當然有圖8.2-2只有電流源和電感或僅有電感構成的節點圖8.2-2只有電流源和電感或僅有電感構成的節點對于圖(b)電路中的b節點，有

(8.2-4)

也通過類似對式(8.2-2)一樣的分析過程，可知這兩個電感只有一個為獨立電感。對于圖(b)電路中的b節點，有

(8

例8.2-1圖8.2-3所示電路中，電流iC(t)和電壓u(t)為輸出。試選取狀態變量，列寫該電路的狀態方程和輸出方程。例8.2-1圖8.2-3所示電路中，電流iC(t)和圖8.2-3例8.2-1用圖圖8.2-3例8.2-1用圖

解本題并未指定狀態變量，按理說做題者有選擇狀態變量的自由，但一般都是選擇獨立電容電壓、獨立電感電流作為狀態變量。本題電路中不存在圖8.2-1中所示的回路，也不存在圖8.2-2中所示的節點，所以該電路中的電容與兩個電感都是獨立的。選電容電壓uC和電感電流iL2、iL3為狀態變量，

并令

(8.2-5)解本題并未指定狀態變量，按理說做題者有選擇狀態變量的對于接有電容C的節點b，可列出電流方程

(8.2-6)

選包含L2的回路abea和包含L3的回路abcdea，列出兩個獨立電壓方程

(8.2-7)對于接有電容C的節點b，可列出電流方程

整理式(8.2-6)、式(8.2-7)，得

(8.2-8)整理式(8.2-6)、式(8.2-7)，得

將式(8.2-8)寫為狀態方程的標準形式為

(8.2-9)將式(8.2-8)寫為狀態方程的標準形式為

再令電路的輸出iC=y1，u=y2，觀察電路可直接寫得輸出方程為

將上式寫為輸出方程的標準形式即矩陣形式

(8.2-10)再令電路的輸出iC=y1，u=y2，觀察電路可直接

例8.2-2圖8.2-4所示電路中各元件參數值已標示在圖上，電壓u3、電流i2為輸出。試列寫出該電路的狀態方程與輸出方程。例8.2-2圖8.2-4所示電路中各元件參數值已標示圖8.2-4例8.2-2用圖圖8.2-4例8.2-2用圖

解選電感上電流、電容上電壓分別作為狀態變量x1、x2，如圖中所標。對包含電感的回路A列寫KVL方程:

(8.2-11)

對連接電容的節點b列寫KCL方程:

(8.2-12)解選電感上電流、電容上電壓分別作為狀態變量x1、x2對節點a列寫KCL方程:

(8.2-13)

對回路B列寫KVL方程:

(8.2-14)對節點a列寫KCL方程:

(8.2將式(8.2-13)代入式(8.2-14)并整理得

(8.2-15)

將u3=x2代入式(8.2-12)、將式(8.2-15)代入式(8.2-11)并整理，得

(8.2-16)將式(8.2-13)代入式(8.2-14)并整理得

寫為矩陣形式，有

(8.2-17)

由y1=u3=x2，y2=i2=－(1/2)x1+(1/4)us，寫得輸出方程的矩陣形式

(8.2-18)寫為矩陣形式，有

(8.2-17)

2.由輸入輸出微分方程列寫動態方程

設n階LTI連續系統輸入輸出方程為

(8.2-19)2.由輸入輸出微分方程列寫動態方程

設n階LTI連若m=n，即方程兩端輸出與輸入的最高導數項次數相等，構造函數y1(t)，使其滿足方程

(8.2-20)

選取狀態變量

(8.2-21)若m=n，即方程兩端輸出與輸入