第2課時

分段函數函數的概念與性質第2課時分段函數函數的概念與性質人教版高中數學必修一《分段函數》教學課件分段函數1.(1)教材P68例5,在畫函數圖象時,將函數y=|x|化簡得到提示:當x≥0和x<0時,這個函數表達式不一樣,也就是對應關系不同.(2)作出函數y=2x(x∈R)的圖象,再作出y=x2(x∈R)的圖象.把這兩個圖象放在同一個直角坐標系中還能表示函數圖象嗎?提示:函數y=2x(x∈R)和y=x2(x∈R)合起來不能表示函數圖象,因為取某個x值時,y值不一定唯一.分段函數(3)在同一個直角坐標系中分別畫出函數y=2x(x<0)和y=x2(x≥0)的圖象,這兩個函數圖象合起來還能表示函數圖象嗎?如何寫它的解析式?提示:可以表示函數圖象,因為符合函數定義,解析式可寫為提示:不管分段函數分了幾段,它都是一個函數,不要把它誤認為是幾個函數.(5)請舉出幾個實際生活中分段函數的例子.提示:實際生活中,出租車的計費、電信資費、個人所得稅額等均是分段函數.(3)在同一個直角坐標系中分別畫出函數y=2x(x<0)和y2.填空如果函數y=f(x),x∈A,根據自變量x在A中不同的取值范圍,有著不同的對應關系,則稱這樣的函數為分段函數.2.填空3.做一做(2)已知函數f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的值域為

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(2)由題圖可知,當x∈[-2,4]時,f(x)∈[-2,3];當x∈[5,8]時,f(x)∈[-4,2.7].故函數f(x)的值域為[-4,3].答案:(1)A

(2)[-4,3]3.做一做(2)由題圖可知,當x∈[-2,4]時,f(x)∈探究一探究二探究三探究四思想方法求分段函數的求值

(2)若f(x)=2,求x的值.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法求分段函數的求值(2)若f探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.求分段函數的函數值的步驟(1)先確定所求值對應的自變量屬于哪一段區間.(2)再代入該段對應的解析式進行求值,直到求出值為止.當出現f(f(x0))的形式時,應從內到外依次求值.2.已知函數值求自變量取值的步驟(1)先確定自變量,可能存在的區間及其對應的函數解析式.(2)再將函數值代入到不同的解析式中.(3)通過解方程求出自變量的值.(4)檢驗所求的值是否在所討論的區間內.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.求分段函數的探究一探究二探究三探究四思想方法延伸探究在本例已知條件下,若f(x)>0,求x的取值范圍.∴-2<x<0或0<x<2或x≥2,∴x的取值范圍是(-2,0)∪(0,+∞).隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法延伸探究在本例已知條件下,若探究一探究二探究三探究四思想方法分段函數的圖象例2

畫出下列函數的圖象,并寫出它們的值域:(2)y=|x+1|+|x-3|.分析:先化簡函數解析式,再畫函數圖象,在畫分段函數的圖象時,要注意對應關系與自變量取值范圍的對應性.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法分段函數的圖象(2)y=|x探究一探究二探究三探究四思想方法觀察圖象,得函數的值域為(1,+∞).(2)將原函數式中的絕對值符號去掉,它的圖象如圖②.觀察圖象,得函數的值域為[4,+∞).隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法觀察圖象,得函數的值域為(1探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.因為分段函數在定義域的不同區間內解析式不一樣,所以它的圖象也由幾部分構成,有的可以是光滑的曲線段,有的也可以是一些孤立的點或幾段線段,畫圖時要特別注意區間端點處對應點的實虛之分.2.對含有絕對值的函數,要作出其圖象,首先根據絕對值的意義去掉絕對值符號,將函數轉化為分段函數來畫圖象.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.因為分段函數探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法解析:因為f(0)=0-1=-1,所以函數圖象過點(0,-1);當x<0時,y=x2,則函數圖象是開口向上的拋物線在y軸左側的部分.因此只有選項C中的圖象符合.答案:C隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法解析:因為f(0)=0-1=探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練根據分段函數圖象求解析式例3已知函數y=f(x)的圖象由圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成,則函數的解析式為

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探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練根據分段函數圖象求解探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練解析:根據圖象,設左側的射線對應的函數解析式為y=kx+b(x≤1).∵點(1,1),(0,2)在射線上,∴左側射線對應的函數解析式為y=-x+2(x≤1).同理,當x≥3時,對應的函數解析式為y=x-2(x≥3).再設拋物線對應的二次函數解析式為y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0).∵點(1,1)在拋物線上,∴a+2=1,∴a=-1.∴當1<x<3時,對應的函數解析式為y=-x2+4x-2(1<x<3).綜上可知,探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練解析:根據圖象,設左探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練變式訓練

2已知函數f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式為

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探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練變式訓練2已知函數探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練分段函數在實際中的應用例4某上市股票在30天內每股的交易價格P(元)與時間t(天)組成有序數對(t,P),點(t,P)落在下圖中的兩條線段上,該股票在30天內(包括30天)的日交易量Q(萬股)與時間t(天)的部分數據如下表所示.(1)根據提供的圖象,寫出該種股票每股交易價格P(元)與時間t(天)所滿足的函數關系式;(2)根據表中數據確定日交易量Q(萬股)與時間t(天)的一次函數關系式;(3)在(2)的結論下,用y(萬元)表示該股票日交易額,寫出y關于t的函數關系式,并求出這30天中第幾日交易額最大,最大值為多少?探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練分段函數在實際中的應探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練反思感悟

分段函數的意義是不同范圍內的自變量x與y的對應關系不同,從而需分段來表達它,其定義域、值域分別是各段定義域、值域的并集.解實際問題時要結合實際意義寫出定義域.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練反思感悟分段函數探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練變式訓練3某市郊帶空調公共汽車的票價按下列規則制定:(1)乘坐汽車5千米以內,票價2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票價增加1元(不足5千米按5千米計算).每個站點之間的距離為1千米,如果某空調公共汽車運行路線中設20個汽車站,求票價y(元)關于里程x(千米)的函數解析式,并畫出圖象.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練變式訓練3某市郊帶空探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練解:設票價為y元,里程為x千米,根據題意,如果某空調汽車運行路線中設20個汽車站(包括起點站和終點站),那么汽車行駛的里程約為19千米,所以自變量x的取值范圍是{x∈N*|x≤19}.由空調汽車票價制定的規定,可得到以下函數解析式:根據這個函數解析式,可畫出函數圖象,如圖所示.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練解:設票價為y元,里探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練利用數形結合思想求方程根的個數典例

對于m不同的取值范圍,討論方程x2-4|x|+5=m的實根的個數.分析:可考慮給定方程左側對應函數的圖象,即畫出函數y=x2-4|x|+5的圖象,看圖象與直線y=m的交點個數的變化便可得出結論.解:將方程x2-4|x|+5=m實根的個數問題轉化為函數y=x2-4|x|+5的圖象與直線y=m的交點個數問題.作出圖象,如圖所示.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練利用數形結合思想求方探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練當m<1時,直線y=m與該圖象無交點,故方程無解.當m=1時,直線y=m與該圖象有兩個交點,故方程有兩個實根.當1<m<5時,直線y=m與該圖象有四個交點,故方程有四個實根.當m=5時,直線y=m與該圖象有三個交點,故方程有三個實根.當m>5時,直線y=m與該圖象有兩個交點,故方程有兩個實根.反思感悟

本題通過構造函數,利用數形結合的思想,直觀形象地通過圖象得出實數根的個數.但要注意這種方法一般只求根的個數,不需知道實數根的具體數值.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練當m<1時,直線y=探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練變式訓練

討論關于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的實數解的個數.解:作函數y=|x2-4x+3|及y=a的圖象如圖所示,方程|x2-4x+3|=a的實數解就是兩個函數圖象的交點(縱坐標相等)的橫坐標,因此原方程的解的個數就是這兩個函數圖象的交點個數.當a<0時,原方程沒有實數解;當a=0或a>1時,原方程有兩個實數解;當a=1時,原方程有三個實數解;當0<a<1時,原方程有四個實數解.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練變式訓練討論關于x探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練A.0 B.π C.π2 D.9解析:f(f(-3))=f(0)=π.答案:B答案:C探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練A.0 B.π C.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練3.某客運公司確定客票價格的方法是:如果行程不超過100千米,票價是每千米0.5元,如果超過100千米,超過部分按每千米0.4元定價,則客運票價y(元)與行程千米數x(千米)之間的函數關系式是

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解析:根據行程是否大于100千米來求出解析式.解析:當a≥0時,由a+1=2,得a=1>0,所以a=1符合題意;答案:1探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練3.某客運公司確定客探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練(1)畫出函數的圖象;(2)求f(1),f(-1),f[f(-1)]的值.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練(1)畫出函數的圖象第2課時

分段函數函數的概念與性質第2課時分段函數函數的概念與性質人教版高中數學必修一《分段函數》教學課件分段函數1.(1)教材P68例5,在畫函數圖象時,將函數y=|x|化簡得到提示:當x≥0和x<0時,這個函數表達式不一樣,也就是對應關系不同.(2)作出函數y=2x(x∈R)的圖象,再作出y=x2(x∈R)的圖象.把這兩個圖象放在同一個直角坐標系中還能表示函數圖象嗎?提示:函數y=2x(x∈R)和y=x2(x∈R)合起來不能表示函數圖象,因為取某個x值時,y值不一定唯一.分段函數(3)在同一個直角坐標系中分別畫出函數y=2x(x<0)和y=x2(x≥0)的圖象,這兩個函數圖象合起來還能表示函數圖象嗎?如何寫它的解析式?提示:可以表示函數圖象,因為符合函數定義,解析式可寫為提示:不管分段函數分了幾段,它都是一個函數,不要把它誤認為是幾個函數.(5)請舉出幾個實際生活中分段函數的例子.提示:實際生活中,出租車的計費、電信資費、個人所得稅額等均是分段函數.(3)在同一個直角坐標系中分別畫出函數y=2x(x<0)和y2.填空如果函數y=f(x),x∈A,根據自變量x在A中不同的取值范圍,有著不同的對應關系,則稱這樣的函數為分段函數.2.填空3.做一做(2)已知函數f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的值域為

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(2)由題圖可知,當x∈[-2,4]時,f(x)∈[-2,3];當x∈[5,8]時,f(x)∈[-4,2.7].故函數f(x)的值域為[-4,3].答案:(1)A

(2)[-4,3]3.做一做(2)由題圖可知,當x∈[-2,4]時,f(x)∈探究一探究二探究三探究四思想方法求分段函數的求值

(2)若f(x)=2,求x的值.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法求分段函數的求值(2)若f探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.求分段函數的函數值的步驟(1)先確定所求值對應的自變量屬于哪一段區間.(2)再代入該段對應的解析式進行求值,直到求出值為止.當出現f(f(x0))的形式時,應從內到外依次求值.2.已知函數值求自變量取值的步驟(1)先確定自變量,可能存在的區間及其對應的函數解析式.(2)再將函數值代入到不同的解析式中.(3)通過解方程求出自變量的值.(4)檢驗所求的值是否在所討論的區間內.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.求分段函數的探究一探究二探究三探究四思想方法延伸探究在本例已知條件下,若f(x)>0,求x的取值范圍.∴-2<x<0或0<x<2或x≥2,∴x的取值范圍是(-2,0)∪(0,+∞).隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法延伸探究在本例已知條件下,若探究一探究二探究三探究四思想方法分段函數的圖象例2

畫出下列函數的圖象,并寫出它們的值域:(2)y=|x+1|+|x-3|.分析:先化簡函數解析式,再畫函數圖象,在畫分段函數的圖象時,要注意對應關系與自變量取值范圍的對應性.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法分段函數的圖象(2)y=|x探究一探究二探究三探究四思想方法觀察圖象,得函數的值域為(1,+∞).(2)將原函數式中的絕對值符號去掉,它的圖象如圖②.觀察圖象,得函數的值域為[4,+∞).隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法觀察圖象,得函數的值域為(1探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.因為分段函數在定義域的不同區間內解析式不一樣,所以它的圖象也由幾部分構成,有的可以是光滑的曲線段,有的也可以是一些孤立的點或幾段線段,畫圖時要特別注意區間端點處對應點的實虛之分.2.對含有絕對值的函數,要作出其圖象,首先根據絕對值的意義去掉絕對值符號,將函數轉化為分段函數來畫圖象.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.因為分段函數探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法解析:因為f(0)=0-1=-1,所以函數圖象過點(0,-1);當x<0時,y=x2,則函數圖象是開口向上的拋物線在y軸左側的部分.因此只有選項C中的圖象符合.答案:C隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法解析:因為f(0)=0-1=探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練根據分段函數圖象求解析式例3已知函數y=f(x)的圖象由圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成,則函數的解析式為

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探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練根據分段函數圖象求解探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練解析:根據圖象,設左側的射線對應的函數解析式為y=kx+b(x≤1).∵點(1,1),(0,2)在射線上,∴左側射線對應的函數解析式為y=-x+2(x≤1).同理,當x≥3時,對應的函數解析式為y=x-2(x≥3).再設拋物線對應的二次函數解析式為y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0).∵點(1,1)在拋物線上,∴a+2=1,∴a=-1.∴當1<x<3時,對應的函數解析式為y=-x2+4x-2(1<x<3).綜上可知,探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練解析:根據圖象,設左探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練變式訓練

2已知函數f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式為

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探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練變式訓練2已知函數探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練分段函數在實際中的應用例4某上市股票在30天內每股的交易價格P(元)與時間t(天)組成有序數對(t,P),點(t,P)落在下圖中的兩條線段上,該股票在30天內(包括30天)的日交易量Q(萬股)與時間t(天)的部分數據如下表所示.(1)根據提供的圖象,寫出該種股票每股交易價格P(元)與時間t(天)所滿足的函數關系式;(2)根據表中數據確定日交易量Q(萬股)與時間t(天)的一次函數關系式;(3)在(2)的結論下,用y(萬元)表示該股票日交易額,寫出y關于t的函數關系式,并求出這30天中第幾日交易額最大,最大值為多少?探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練分段函數在實際中的應探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練反思感悟

分段函數的意義是不同范圍內的自變量x與y的對應關系不同,從而需分段來表達它,其定義域、值域分別是各段定義域、值域的并集.解實際問題時要結合實際意義寫出定義域.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練反思感悟分段函數探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練變式訓練3某市郊帶空調公共汽車的票價按下列規則制定:(1)乘坐汽車5千米以內,票價2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票價增加1元(不足5千米按5千米計算).每個站點之間的距離為1千米,如果某空調公共汽車運行路線中設20個汽車站,求票價y(元)關于里程x(千米)的函數解析式,并畫出圖象.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練變式訓練3某市郊帶空探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練解:設票價為y元,里程為x千米,根據題意,如果某空調汽車運行路線中設20個汽車站(包括起點站和終點站),那么汽車行駛的里程約為19千米,所以自變量x的取值范圍是{x∈N*|x≤19}.由空調汽車票價制定的規定,可得到以下函數解析式:根據這個函數解析式,可畫出函數圖象,如圖所示.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練解:設票價為y元,里探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練利用數形結合思想求方程根的個數典例

對于m不同的取值范圍,討論方程x2-4|x|+5=m的實根的個數.分析:可考慮給定方程左側對應函數的圖象,即畫出函數y=x2-4|x|+5的圖象,看圖象與直線y=m的交點個數的變化便可得出結論.解:將方程x2-4|x|+5=m實根的個數問題轉化為函數y=x2-4|x|+5的圖象與直線y=m的交點個數問題.作出圖象,如圖所示.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練利用數形結合思想求方探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練當m<1時,直線y=m與該圖象無交點,故方程無解.當m=1時,直線y=m與該圖象有兩個交點,