§5三次樣條插值/*CubicSplineInterpolation*/

許多實際工程技術中一般對精度要求非常高，（1）要求近似曲線在節點連續；（2）要求近似曲線在節點處導數連續，即充分光滑。

分段插值不能保證節點的光滑性，而Hermite插值需要知道節點處的導數值，實際中無法確定。

問題背景§5三次樣條插值/*CubicSplineInt1一、三次樣條函數的力學背景

在工程技術和數學應用中經常遇到這樣一類數據處理問題：在平面上給定了一組有序的離散點列，要求用一條光滑曲線把這些點按次序連接起來。........壓鐵彈性木條.數據點形象地稱之為樣條曲線一、三次樣條函數的力學背景在工程技術和數學應用中經常2

在力學上，通常均勻細木條可以看作彈性細梁，壓鐵看作是作用在梁上的集中載荷，“樣條曲線”就模擬為彈性細梁在外加集中載荷作用下的彎曲變形曲線。設細梁剛度系數為，彎矩為，樣條曲線的曲率為由力學知識：當時（即“小撓度”的情況）上述微分方程簡化為：是線性函數因此，“樣條曲線”可近似認為是三次多項式在力學上，通常均勻細木條可以看作彈性細梁，壓鐵看作是3二、三次樣條函數定義及求法設在區間上給定一個分割，定義在上的函數如果滿足下列條件：(1)在每個小區間內是三次多項式(2)在整個區間上，為二階連續可導函數，即在每個節點處則稱為三次樣條函數二、三次樣條函數定義及求法設在區間上給4如果三次樣條函數滿足則稱為插值于的三次樣條函數，簡稱三次樣條插值函數。例1：如果三次樣條函數滿足則稱為插值于5假設現在已知函數在節點處的函數值：如何求的三次樣條插值函數:4n個未知數4n-2個條件假設現在已知函數在節點處的函數值：如何求6三彎矩方程求解法：以樣條插值函數在節點上二階導數作為未知量，再利用其一階導數在內節點上連續的條件導出三彎矩方程求解（M連續性方程）三轉角方程求解法：以樣條插值函數在節點上一階導數作為未知量，再利用其二階導數在內節點上連續的條件導出三彎矩方程求解（m連續性方程）三彎矩方程求解法：以樣條插值函數在節點上二階導數作三轉角方程7線性插值函數1、M連續方程與的表達式記因為在每一個子區間上都是線性函數

兩邊積分兩邊再積分一次？線性插值函數1、M連續方程與的表達式記因為8代入插值條件：在整個區間上，的表達式為：未知數n+1個代入插值條件：在整個區間上，的表達式9的計算方法：由的計算方法：由10由由11由其中由其中12寫成方程組的形式：上述方程組稱為的M連續方程n-1個方程n+1個未知數三彎矩方程寫成方程組的形式：上述方程組稱為的M連續方程n132、m連續方程與的表達式記在區間上采用Hermite插值2、m連續方程與的表達式記在區間上14的計算方法：對兩邊求導（微分2次）的計算方法：對兩邊求導（微分2次）15數值計算方法-第三章-多項式插值與函數逼近課件16兩者相等得到方程組：其中同前兩者相等得到方程組：其中同前17寫成方程組的形式：n-1個方程n+1個未知數三轉角方程上述方程組稱為的m連續方程寫成方程組的形式：n-1個方程三轉角方程上述方程組稱為18M、m連續方程的求解：需要補充附加條件3、邊界條件/*boundaryconditions*/已知端點的斜率：已知端點的二階導數：設是以為周期的周期函數，對附加周期性條件：

即要求三次樣條插值函數在端點處函數值、一階導數值和二階導數值相同。M、m連續方程的求解：需要補充附加條件3、邊界條件/*bou19M連續方程在各類邊界條件下的求解方法對于第一類邊界條件由得M連續方程在各類邊界條件下的求解方法對于第一類邊界條件由得20從而得到方程組（三對角）：可用追趕法求解從而得到方程組（三對角）：可用追趕法求解21對于第二類邊界條件類似地可以得到方程組（三對角）：對于第二類邊界條件類似地可以得到方程組（三對角）：22對于第三類邊界條件得到方程其中對于第三類邊界條件得到方程其中23第三類邊界條件對應的方程組：對三對角算法經過修改后可以求解上述方程組不是三對角方程組第三類邊界條件對應的方程組：對三對角算法經過修改后可以求解上24注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導數值（除了在2個端點處的函數值）；而Hermite插值依賴于f在許多插值節點的導數值。f(x)H(x)S(x)注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區別在于S(x250123

02361

0例1：已知函數在的數據表：解：求在區間上的三次樣條插值函數。

0123026三彎矩方程組用追趕法求解方程組得三彎矩方程組用追趕法求解方程組得27三次樣條插值函數三次樣條插值函數28數值計算方法-第三章-多項式插值與函數逼近課件29數值計算方法-第三章-多項式插值與函數逼近課件304、三次樣條函數的性質性質1（極小模性質）設是任一被插函數，是自然三次樣條插值函數，則成立式中等號當且僅當時成立。證明：因為故結論成立4、三次樣條函數的性質性質1（極小模性質）設31（積分可加性質）下面證明分步積分（積分可加性質）下面證明分步積分32分步積分分步積分33等號成立為線性函數（由插值條件）等號成立為線性函數（由插值條件）34性質2（最佳逼近性質）設是任一被插函數，是帶有斜率邊界條件的三次插值樣條函數，是與有相同分割的任一三次樣條函數，則有

證明：證明方法與性質1類似（自己證明）性質2（最佳逼近性質）設是任一被35性質3（誤差估計）設函數，是區間的一個分割，是關于的帶有Ⅰ型(斜率邊界)或Ⅱ型(二階導數邊界)邊界條件的插值函數，則有誤差估計其中

是分割比，并且系數與是最優估計。

性質說明：三次樣條插值函數本身連同它的一、二、三階導數分別收斂到及其相應導數，具有強收斂性。性質3（誤差估計）設函數，是36§5三次樣條插值/*CubicSplineInterpolation*/

許多實際工程技術中一般對精度要求非常高，（1）要求近似曲線在節點連續；（2）要求近似曲線在節點處導數連續，即充分光滑。

分段插值不能保證節點的光滑性，而Hermite插值需要知道節點處的導數值，實際中無法確定。

問題背景§5三次樣條插值/*CubicSplineInt37一、三次樣條函數的力學背景

在工程技術和數學應用中經常遇到這樣一類數據處理問題：在平面上給定了一組有序的離散點列，要求用一條光滑曲線把這些點按次序連接起來。........壓鐵彈性木條.數據點形象地稱之為樣條曲線一、三次樣條函數的力學背景在工程技術和數學應用中經常38

在力學上，通常均勻細木條可以看作彈性細梁，壓鐵看作是作用在梁上的集中載荷，“樣條曲線”就模擬為彈性細梁在外加集中載荷作用下的彎曲變形曲線。設細梁剛度系數為，彎矩為，樣條曲線的曲率為由力學知識：當時（即“小撓度”的情況）上述微分方程簡化為：是線性函數因此，“樣條曲線”可近似認為是三次多項式在力學上，通常均勻細木條可以看作彈性細梁，壓鐵看作是39二、三次樣條函數定義及求法設在區間上給定一個分割，定義在上的函數如果滿足下列條件：(1)在每個小區間內是三次多項式(2)在整個區間上，為二階連續可導函數，即在每個節點處則稱為三次樣條函數二、三次樣條函數定義及求法設在區間上給40如果三次樣條函數滿足則稱為插值于的三次樣條函數，簡稱三次樣條插值函數。例1：如果三次樣條函數滿足則稱為插值于41假設現在已知函數在節點處的函數值：如何求的三次樣條插值函數:4n個未知數4n-2個條件假設現在已知函數在節點處的函數值：如何求42三彎矩方程求解法：以樣條插值函數在節點上二階導數作為未知量，再利用其一階導數在內節點上連續的條件導出三彎矩方程求解（M連續性方程）三轉角方程求解法：以樣條插值函數在節點上一階導數作為未知量，再利用其二階導數在內節點上連續的條件導出三彎矩方程求解（m連續性方程）三彎矩方程求解法：以樣條插值函數在節點上二階導數作三轉角方程43線性插值函數1、M連續方程與的表達式記因為在每一個子區間上都是線性函數

兩邊積分兩邊再積分一次？線性插值函數1、M連續方程與的表達式記因為44代入插值條件：在整個區間上，的表達式為：未知數n+1個代入插值條件：在整個區間上，的表達式45的計算方法：由的計算方法：由46由由47由其中由其中48寫成方程組的形式：上述方程組稱為的M連續方程n-1個方程n+1個未知數三彎矩方程寫成方程組的形式：上述方程組稱為的M連續方程n492、m連續方程與的表達式記在區間上采用Hermite插值2、m連續方程與的表達式記在區間上50的計算方法：對兩邊求導（微分2次）的計算方法：對兩邊求導（微分2次）51數值計算方法-第三章-多項式插值與函數逼近課件52兩者相等得到方程組：其中同前兩者相等得到方程組：其中同前53寫成方程組的形式：n-1個方程n+1個未知數三轉角方程上述方程組稱為的m連續方程寫成方程組的形式：n-1個方程三轉角方程上述方程組稱為54M、m連續方程的求解：需要補充附加條件3、邊界條件/*boundaryconditions*/已知端點的斜率：已知端點的二階導數：設是以為周期的周期函數，對附加周期性條件：

即要求三次樣條插值函數在端點處函數值、一階導數值和二階導數值相同。M、m連續方程的求解：需要補充附加條件3、邊界條件/*bou55M連續方程在各類邊界條件下的求解方法對于第一類邊界條件由得M連續方程在各類邊界條件下的求解方法對于第一類邊界條件由得56從而得到方程組（三對角）：可用追趕法求解從而得到方程組（三對角）：可用追趕法求解57對于第二類邊界條件類似地可以得到方程組（三對角）：對于第二類邊界條件類似地可以得到方程組（三對角）：58對于第三類邊界條件得到方程其中對于第三類邊界條件得到方程其中59第三類邊界條件對應的方程組：對三對角算法經過修改后可以求解上述方程組不是三對角方程組第三類邊界條件對應的方程組：對三對角算法經過修改后可以求解上60注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導數值（除了在2個端點處的函數值）；而Hermite插值依賴于f在許多插值節點的導數值。f(x)H(x)S(x)注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區別在于S(x610123

02361

0例1：已知函數在的數據表：解：求在區間上的三次樣條插值函數。

0123062三彎矩方程組用追趕法求解方程組得三彎矩方程組用追趕法求解方程組得63三次樣條插值函數三次樣條插值函數64數值計