第四章隨機變量的數字特征數學期望方差協方差和相關系數矩與協方差矩陣§4.1數學期望

4.1.1概念例1、盒子中有6個球（如圖），122333從中任取一球再放回，重復了三次，問三次抽到號碼的平均值。定義4.1：設離散型隨機變量X的分布列是，若級數收斂，則稱隨機變量X的數學期望存在，且稱級數的和為X的數學期望，并記為EX，有時也稱EX為X的均值。對連續型隨機變量X的數學期望類似的可定義如下：定義4.2：如果連續型隨機變量X具有密度函數f(x)，積分收斂，則稱X的數學期望存在，否則稱X的數學期望不存在。若X的數學期望存在，稱積分值為X的數學期望，也記為EX。注1、若，仍稱X的數學期望不存在。2、離散型取有限個值，連續型密度函數只在有限區間上積分，則X的期望一定存在。3、離散型只取非負值，連續型只在x>0時f(x)>0，則只需直接計算期望。4.1.2常見隨機變量的數學期望（1）（0－1）分布p1-pP10X（2）二項分布B(n,p)（3）泊松分布P(λ)（4）幾何分布G(p)（5）超幾何分布H(N,m,n)（5）均勻分布U(a,b)（6）指數分布（7）正態分布N(μ,σ2)4.1.3隨機變量函數的數學期望

定理4.1：設Y是隨機變量X的函數，即（g

是連續函數），（1）若X是離散型隨機變量，其分布律為而級數絕對收斂，則有（2）若X

是連續型隨機變量，其密度函數為，若積分絕對收斂，則有定理4.2：設Z是二維隨機變量（X，Y）的函數，即Z＝g（X，Y），則（1）若（X，Y）是二維離散型隨機變量，有（2）若（X，Y）是二維連續型隨機變量，有例1：設

X～B（n，p），求EX(X－1)。解：因X～B（n，p），則X的分布律為令Y＝g（X）＝X(X－1)例2、已知X～N(0,1)，求E(X4)例3、（X,Y）的聯合密度函數為：求：EY例4：設隨機變量（X，Y）服從二維正態分布，其密度為求

的數學期望。解：例5：設X、Y相互獨立同服從標準正態分布N（0，1），求E（max｛X,Y｝）。解：由題設，(X，Y)的聯合密度為xyox<yy<x（1）

EC＝C，(C為常數)（2）

E(CX)＝CEX，(C為常數)（3）

E(X+Y)＝EX＋EYE(aX+b)＝aEX＋b，

E()＝（4）若X、Y是相互獨立的隨機變量，則

E(X·Y)＝EX·EY。4.1.4數學期望的性質例6、盒中有N個球，其中M個黑球，N-M個白球，從中任取n個球，令X表示取得黑球的個數，求EX。§4.2隨機變量的方差

4.2.1方差的定義

對隨機變量的特征進行考察，除了數學期望外，還要考察X的可取值與EX的偏離情況，由于X－EX可正可負，因此用[X－EX]2

來考慮。

定義4.3：設X是一個隨機變量，若(X－EX)2

的數學期望存在，則稱E(X－EX)2為X的方差，記為DX或Var(X)，即DX＝E(X－EX)2

離散型隨機變量：連續型隨機變量：方差的計算公式：4.2.2幾種常見的隨機變量的方差（1）（0－1）分布p1-pP10X（2）二項分布：（3）泊松分布：（4）均勻分布：（5）指數分布：（6）正態分布：4.2.3方差的性質

（1）D(C)＝0，(C為常數)

（2）D(CX)＝C2DX，(C為常數)

（3）若X、Y是相互獨立的隨機變量，則

D(X+Y)=D(X-Y)＝DX＋DY（4）DX＝0例1、已知X～N(1,22)，Y～N(2,22)，且X、Y相互獨立，求：X-2Y+3的數學期望和方差。

定理：切比雪夫不等式§4.3協方差與相關系數4.3.1協方差與相關系數的概念

我們在證明方差的性質時看到，當兩個隨機變量X和Y相互獨立時，有但當X和Y不相互獨立時，它們之間的關系呢？稱

為

X、Y

的相關系數。定義4.4：設X、Y

是兩個隨機變量，稱為隨機變量X、Y

的協方差，記為即：相關系數的特征：是一個無量綱的量。它描述的是

X、Y

之間的線性相關程度。特殊的，當時，稱X,Y不相關。結論：X、Y相互獨立，則其一定不相關；但若X，Y不相關，卻未必相互獨立。4.3.2協方差與相關系數的性質1、協方差的性質:2、相關系數的性質:（1）||≤1;（2）||=1的充要條件為X與Y以概率1線性相關。即存在常數

a、b，a≠0，使例1、已知隨機變量X,Y相互獨立，且求

3X-Y與

X+Y的相關系數。獨立與不相關的關系：X、Y相互獨立，則其一定不相關；但若X，Y不相關，卻未必相互獨立。例2、已知（X,Y）的聯合密度函數為：證明：X，Y不相關，X，Y不獨立。§4.4矩、協方差矩陣4.4.1矩定義4.5：設X、Y是隨機變量，

稱為X的k階原點矩

稱為X的k階中心矩稱為X與Y的k+l階混合中心矩4.4.2協方差矩陣設n維隨機變量

X＝，記

稱

為X的期望向量，記

為

Xi

與Xj

的協方差，則稱n階矩陣Σ為隨機變量X的協方差矩陣。設n維隨機變量

X＝，記

稱

為X的期望向量，記

為

Xi

與Xj

的協方差，則稱n階矩陣Σ協方差矩陣的性質：（1）（2），即協方差矩陣Σ是對稱的。（3）協方差矩陣Σ是非負定矩陣，即對任意的n維實向量

t

＝，有

t’Σt

（4）4.4.3n維正態分布定義4.6：若n維隨機向量X＝的聯合概率密度為其中x＝，μ＝，是n維實向量，Σ＝是n階正定矩陣，|Σ|表示Σ的行列式，則稱X服從n維正態分布，記為X～N（μ，Σn×n）。特殊的，n=2時，即：其中1、定義：其中

任意，7、

Xn×1～N（μn×1,Σn×n）的充要條件是

l’X～N（l’μ，l’

Σl）（其中l為n維常向量）（其含義是：X服從多維正態分布的充要條件是其任一線性組合服從一維正態分布。）第五章極限定理大數定律（依概率收斂、切比雪夫大數定律、辛欽大數定律、貝努里大數定律）中心極限定理（列維-林德伯格中心極限定理、德莫佛--拉普拉斯定理）§5.1大數定理

一、問題的提出:

當n足夠大時,頻率與概率有較大偏差的概率很小.用數學語言來講,就是要證明:對于任意

>0,意義：即n很大時，Xn以很大的可能性靠近X，其中ε為誤差。1、切比雪夫大數定律:

設X1,

X2,

…,Xn,

…是由相互獨立的隨機變量所構成的序列,其中EXk=k,

DXk≤C<+∞（k=1,2,…,n,…），（引理：切比雪夫不等式）2、辛欽大數定律

此定理使算術平均值的法則有了理論依據：我們測量時以n次測量的平均值作為最后的試驗結果。3、貝努里大數定律

設nA是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則

貝努里定理說明,事件A發生的頻率nA/n以概率收斂到事件A發生的概率p,這就以嚴格的數學形式表達了頻率的穩定性。就是說,當n很大時,事件A發生的頻率與概率有較大的差別的可能性很小,因而在實際中便可以用頻率來代替概率。一、問題的提出:

相互獨立的隨機變量序列{Xn},

設EXn,DXn

(n=1,2,…)存在,令§5.2中心極限定理

1、林德貝格(Lindeberg)定理

設隨機變量序列{Xn}相互獨立，數學期望及方差存在：則稱{Xn}服從中心極限定理。

上式中極限稱為林德貝格條件，我們要驗證此條件成立是比較困難的，所以計算時一般不會引用此定理。但是該條件給了我們一個很好的結論：2、獨立同分布的中心極限定理

設隨機變量序列{Xn}(n=1,2,…)獨立同分布，例1、計算機進行加法運算，把每個加數四舍五入到整數相加，假設各個加數的舍入誤差是相互獨立的同服從于U(-0.5,0.5)。求：(1)1500個數相加，誤差之和的絕對值超過15的概率；(2)最多幾個數相加才能保證誤差之和的絕對值小于10的概率達到0.95。例1、計算機進行加法運算，把每個加數四舍五入到整數相加，假設各個加數的舍入誤差是相互獨立的同服從于U(-0.5,0.5)。求：(1)1500個數相加，誤差之和的絕對值超過15的概率；(2)最多幾個數相加才能保證誤差之和的絕對值小于10的概率達到0.95。3、德莫佛--拉普拉斯定理例2、有240臺電話分機，獨立使用，每臺