§4.3高階微分方程的降階和冪級數解法

11/17/20221可編輯ppt一、可降階的一些方程類型

n階微分方程的一般形式:

1不顯含未知函數x,或更一般不顯含未知函數及其直到k-1(k>1)階導數的方程是若能求得(4.58)的通解對上式經過k次積分,即可得(4.57)的通解即11/17/20222可編輯ppt

解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:對上式求k次積分,即得原方程的通解11/17/20223可編輯ppt解令則方程化為這是一階方程,其通解為即有對上式積分4次,得原方程的通解為例111/17/20224可編輯ppt

2不顯含自變量t的方程,

一般形式:因為11/17/20225可編輯ppt用數學歸納法易得:將這些表達式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一階11/17/20226可編輯ppt

解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解11/17/20227可編輯ppt解令則方程化為從而可得及這兩方程的全部解是例2再代回原來變量得到所以得原方程的通解為11/17/20228可編輯ppt

3已知齊線性方程的非零特解,進行降階的非零解令則代入(4.69)得即11/17/20229可編輯ppt引入新的未知函數方程變為是一階線性方程,解之得因而則11/17/202210可編輯ppt因此(4.69)的通解為11/17/202211可編輯ppt

解題步驟:第一步:第二步:解之得即11/17/202212可編輯ppt第三步:第四步:(4.69)的通解為注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)11/17/202213可編輯ppt解這里由(4.70)得例311/17/202214可編輯ppt11/17/202215可編輯ppt代入(4.2)得11/17/202216可編輯ppt事實上11/17/202217可編輯ppt若則即因此,對(4.67)仿以上做法,11/17/202218可編輯ppt11/17/202219可編輯ppt二、二階線性方程的冪級數解法對二階變系數齊線性方程其求解問題,歸結為尋求它的一個非零解.下面考慮該方程及初始條件用級數表示解?11/17/202220可編輯ppt定理1011/17/202221可編輯ppt定理1111/17/202222可編輯ppt例4解設級數為方程的解,由初始條件得:因而將它代入方程,合并同類項,并令各項系數等于零,得11/17/202223可編輯ppt即因而也即11/17/202224可編輯ppt故方程的解為11/17/202225可編輯ppt例5解將方程改寫為易見,它滿足定理11條件,且11/17/202226可編輯ppt將(4.75)代入(4.74)中,得11/17/202227可編輯ppt由(4.76)得即11/17/202228可編輯ppt從而可得11/17/202229可編輯ppt因此(4.77)變為11/17/202230可編輯ppt若取則可得(4.74)的另一個特解由達朗貝爾判別法,對任x值(4.77),(4.78)收斂.11/17/202231可編輯ppt因而(4.74)的通解為因此,不能象上面一樣求得通解;因此,(4.74)的通解為11/17/202232可編輯ppt例6解代入方程得11/17/202233可編輯ppt代回原來