萬(wàn)能解題模型(二)與角平分線有關(guān)的基本模型一、三角形中角平分線的夾角問(wèn)題模型1兩內(nèi)角平分線的夾角如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線BE，CF相交于點(diǎn)G，則∠BGC與∠A之間的關(guān)系為：∠BGC＝90°＋∠A．解題通法：三角形兩內(nèi)角的平分線的夾角等于90°與第三個(gè)內(nèi)角的一半的和．模型2一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角平分線的夾角如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，BP與CP相交于點(diǎn)P，則∠P與∠A之間的關(guān)系為：∠P＝∠A．解題通法：三角形一內(nèi)角與另一外角的平分線的夾角等于第三個(gè)內(nèi)角的一半．模型3兩外角平分線的夾角如圖，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分線，則∠O與∠A之間的關(guān)系為：∠O＝90°－∠A．解題通法：三角形兩外角的平分線的夾角等于90°與第三個(gè)內(nèi)角的一半的差．模型4內(nèi)角平分線和高線的夾角如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線(AE可能在AD的左側(cè)或右側(cè))，則∠EAD＝|∠B－∠C|．1．(2019·大慶)如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是外角∠ACM的平分線，BE與CE相交于點(diǎn)E.若∠A＝60°，則∠BEC＝(B)A．15°

B．30°

C．45°

D．60°2．(2018·黃石)如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE，BF分別是∠BAC，∠ABC的平分線，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，則∠EAD＋∠ACD＝(A)A．75°

B．80°

C．85°

D．90°3．(2018·深圳改編)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD，BE相交于點(diǎn)F，且AF＝4，EF＝，則AE＝．4．如圖，在△ABC中，∠A＝α，△ABC的兩外角平分線交于點(diǎn)D1，∠CBD1的平分線與∠BCD1的平分線交于點(diǎn)D2，∠CBD2的平分線與∠BCD2的平分線交于點(diǎn)D3，則∠D3＝157.5°－α(用含α的代數(shù)式表示)．二、與角平分線有關(guān)的圖形和輔助線作法模型1角平分線＋平行線→等腰三角形常見(jiàn)模型有以下四種：解題通法：遇到角平分線及平行線，除了可以得到角度的關(guān)系，還可以得到一個(gè)等腰三角形．5．(2019·陜西)如圖，OC是∠AOB的平分線，l∥OB.若∠1＝52°，則∠2的度數(shù)為(C)A．52°

B．54°

C．64°

D．69°

6．(2018·淄博)如圖，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，則BC的長(zhǎng)為(B)A．4

B．6

C．4

D．87．(2019·安順節(jié)選)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：結(jié)論：AB＝AF＋CF.證明：延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G.又∵∠AEB＝∠GEC，BE＝CE，∴△AEB≌△GEC(AAS)．∴AB＝GC.∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠FAG.∵∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG.又∵CG＝CF＋FG，∴AB＝AF＋CF.模型2利用角平分線，作輔助線構(gòu)造全等三角形①過(guò)角平分線上的點(diǎn)作角兩邊的垂線如圖1，BO是∠ABC的平分線，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F，則OE＝OF，△BEO≌△BFO.圖1

圖2②過(guò)角平分線上任意一點(diǎn)作角平分線的垂線如圖2，BO是∠ABC的平分線，EF⊥BO，則△BEO≌△BFO.③采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形圖3如圖3，在△ABC中，BC>BA，BO是∠ABC的平分線．(截長(zhǎng)法)在BC上取線段BE＝BA，連接OE，則△BEO≌△BAO；(補(bǔ)短法)延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，使BD＝BC，連接OD，則△BDO≌△BCO.解題通法：遇到角平分線時(shí)，我們通常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)向兩邊作垂線或在角平分線的兩端取相等的線段(截長(zhǎng)或補(bǔ)短)構(gòu)造全等三角形．8．(2019·陜西)如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E.若DE＝1，則BC的長(zhǎng)為(A)A．2＋B.＋C．2＋D．39．(2019·永州)已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)D為OC上一點(diǎn)，過(guò)D作直線DE⊥OA，垂足為E，且直線DE交OB于點(diǎn)F，如圖所示．若DE＝2，則DF＝4．10．(2019·威海改編)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，交AD于點(diǎn)E，且EC平分∠BED.連接BE.若AB＝6，則CD＝3．11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD.證明：延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使AE＝AB，連接DE.∵AB＝AE，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ABD≌△AED(SAS)．∴∠B＝∠E.∵∠ACD＝∠E＋∠CDE，∠ACD＝2∠B，∴∠ACD＝2∠E.∴∠E＝∠CDE.∴CD＝CE.∴AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CD.12．感知：如圖1，AD平分∠BAC.∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求證：DB＝DC.應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，則AB－AC＝a(用含a的代數(shù)式表示)．

,圖1)

,圖2)

,圖3)證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E