8.3.1

棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

人教A版2019高中數學必修第二冊

8.3簡單幾何體的表面積與體積

前面我們認識了基本立體圖形的結構特征，本節課進一步學習簡單幾何體的表面積和體積．表面積是幾何體表面的面積，它表示幾何體表面的大小，體積是幾何體所占空間的大小．例1如圖已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體P-ABC，求它的表面積．BCAP【解析】因為△PBC是正三角形，其邊長為a，所以因此，四面體P-ABC的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和．棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和.1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積變式已知一個正四棱錐P-ABCD的側棱長為5，底面的邊長為6，求它的表面積.ACBPDE解：如圖示，正四棱錐P-ABCD中，PA=5，AB=6.因此，正四棱錐P-ABCD的表面積為AE=3，過點P作PE⊥AB，垂直為E，則

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－－－1.正六棱臺的上，下底面邊長分別是2cm和6cm，側棱長是5cm，求它的表面積.解：如圖示，AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm.因此，正六棱臺的表面積為ADBCFEA'D'B'C'F'E'教材116頁

我們以前已經學習了特殊的棱柱——正方體、長方體的體積公式，它們分別是：Ｖ正方體＝a3（a是正方體的棱長）Ｖ長方體＝abc（a，b，c分別是長方體的長、寬、高）2.棱柱、棱錐、棱臺的體積

棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離.一般地，如果棱柱的底面面積為S，高為h，那么這個棱柱的體積

特別的，直棱柱的側棱垂直于底面，故側棱長即為直棱柱的高.如果一個棱柱和一個棱錐的底面積相等，高也相等，那么，棱柱的體積是棱錐的體積的3倍．因此，一般地，如果棱錐的底面面積為S，高為h，那么這個棱錐的體積棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離.因此，一般地，如果棱錐的底面面積為S，高為h，那么這個棱錐的體積

棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足之間的距離.

由于棱臺是由棱錐截成的，因此可以利用兩個棱錐的體積差，得到棱臺的體積公式其中S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高.

(S′,S,h分別是棱臺的上下底面積和高)ADBCA′B′C′D′OO′P棱臺體積公式的證明

棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間有什么關系？你用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征來解釋這種關系嗎？

3.某廣場設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的四面體得到的.如果被截正方體的棱長是50cm，那么石凳的體積是多少？解：如圖示，由題意知正方體的棱長為0.5m，則有BCA'B'C'D'ADEFG∴這個石凳的體積為

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－－－教材116頁課堂小結如圖已知棱長為a的正四面體P-ABC，求它的體積．BCAP

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－－－教材116頁2.如圖是一個表面被涂上紅色的棱長是4cm的立方體，將其適當分割成棱長為1cm的小立方體.

(1)共得到多少個棱長為1cm的小立方體？

(2)三面是紅色的小立方體有多少個？它們的表面積之和是多少？

(3)兩面是紅色的小立方體有多少個？它們的表面積之和是多少？(4)一面是紅色的小立方體有多少個？它們的表面積之和是多少？(5)

六面均沒有顏色的小立方體有多少個？它們的表面積之和是多少？它們占有多少立方厘米的空間？解：(1)共有64個棱長為1cm的小立方體.(2)三面是紅色的小立方體有8個,表面積之和是48cm2.

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－－－教材116頁2.如圖是一個表面被涂上紅色的棱長是4cm的立方體，將其適當分割成棱長為1cm的小立方體.(3)兩面是紅色的小立方體有多少個？它們的表面積之和是多少？(4)一面是紅色的小立方體有多少個？它們的表面積之和是多少？(5)

六面均沒有顏色的小立方體有多少個？它們的表面積之和是多少？它們占有多少立方厘米的空間？解：(3)兩面是紅色的小立方體有24個,表面積之和是144cm2.(4)一面是紅色的小立方體有24個,表面積之和是144cm2.(5)六面均沒有顏色的小立方體有8個,表面積之和是32cm2，它們占有的空間是8cm3.

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－－－教材116頁4.求證：直三棱柱的任意兩個側面的面積和大于第