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文檔簡介
2.圓的雙切線模型及應(yīng)用圓的雙切線模型是圓中常見的一類考題,由于其結(jié)論豐富,變化多端,頗受命題人的熱愛,2020年的理數(shù)全國一卷的選擇題11題就是一個(gè)典例應(yīng)用.盡管如此,在實(shí)際應(yīng)用中,學(xué)生對(duì)該模型中的相關(guān)幾何結(jié)論的理解和使用仍然顯得辦法不多,因此,本文將系統(tǒng)的梳理一下圓的雙切線模型中的常見結(jié)論及應(yīng)用,希望提升同學(xué)們對(duì)這類問題的解決能力.如圖1,從圓外任一點(diǎn)向圓引兩條切線,圓心,兩切點(diǎn),我們把線段的長度叫做切線長,設(shè)圓的半徑為,則四邊形具有如下的性質(zhì):1.;.2.切線長的計(jì)算:,當(dāng)半徑給定,切線長最小等價(jià)于最小.3.四點(diǎn)共圓,的外接圓以為直徑(托勒密定理).4.平分.5.,當(dāng)半徑給定,四邊形最小等價(jià)于最小.6.假設(shè)且.由基本的三角恒等關(guān)系可知:,故可得:.對(duì)使用均值不等式可得最小值.圖17.假設(shè),圓的方程為()則切點(diǎn)弦的方程為:.可以看到,該模型中的很多幾何量最終都可以建立為的函數(shù)從而求得最小值,這是應(yīng)該注意的地方.下面我們將通過幾個(gè)例子詳細(xì)展示圓的雙切線模型在高考以及模考中的應(yīng)用,進(jìn)一步體會(huì)相關(guān)結(jié)論的用途.例1.若是直線:上一動(dòng)點(diǎn),過作圓:的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,則四邊形面積的最小值為()A. B. C. D.解析:考察性質(zhì)5.因?yàn)橹本€與圓相切,所以,且所以四邊形面積,又,所以當(dāng)最小時(shí),最小,四邊形面積的最小值,由圖象可得,最小值即為點(diǎn)C到直線的距離,所以,所以所以四邊形面積的最小值,故選:B例2.(2020全國1卷)已知⊙M:,直線:,為上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作⊙M的切線,切點(diǎn)為,當(dāng)最小時(shí),直線的方程為()A. B. C. D.解析:綜合考察性質(zhì)3,5,7.圓的方程可化為,點(diǎn)到直線的距離為,所以直線與圓相離.依圓的知識(shí)可知,四點(diǎn)四點(diǎn)共圓,且,所以,而,當(dāng)直線時(shí),,,此時(shí)最小.∴即,由解得,.所以以為直徑的圓的方程為,即,兩圓的方程相減可得:,即為直線的方程.我們?cè)谄綍r(shí)解析幾何的教學(xué)與備考中,應(yīng)該更加深入地總結(jié)出一些常見常考的解析幾何模型及應(yīng)用,這樣就更好地展示出了解析幾何的生命力,使得學(xué)生可以從幾何與代數(shù)多角度來研究問題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).練習(xí)題.1.已知圓:,是直線的一點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)為,,則的最小值為()A. B. C. D.2.設(shè)為圓外一點(diǎn),過引圓的切線,兩切點(diǎn)分別為和,若,則()A.B.C. D.3.過橢圓上一點(diǎn)分別向圓和圓作切線,切點(diǎn)分別為、,則的最小值為()A. B. C. D.4.已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作圓的兩條切線,,,為切點(diǎn).若的最大值為,則的值為()A. B. C. D.5.已知圓:,點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),過作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,則的最小值為(
)A. B. C. D.6.已知圓,點(diǎn)M為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則當(dāng)四邊形周長取最小值時(shí),四邊形的外接圓方程為(
)A. B.C. D.7.已知,過點(diǎn)作圓(為參數(shù),且)的兩條切線分別切圓于點(diǎn)、,則的最大值為(
)A. B. C. D.8.已知圓,直線,P為l上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別A、B,當(dāng)最小時(shí),直線AB的方程為(
)A. B.C. D.5.解析:圓:化為標(biāo)準(zhǔn)方程:,其圓心,半徑.過點(diǎn)P引圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B,如圖:在△PAC中,有,即,變形可得:.設(shè),則.所以當(dāng)?shù)闹导磝最小時(shí),的值最大,此時(shí)最小.而的最小值為點(diǎn)C到直線的距離,即,所以.故選:B6.解析:圓的圓心,半徑,點(diǎn)C到直線l的距離,依題意,,四邊形周長,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,此時(shí)直線,由得點(diǎn),四邊形的外接圓圓心為線段中點(diǎn),半徑,方程為.故選:D7.解析:圓心,半徑為,圓心在直線上運(yùn)動(dòng),設(shè),則,由圓的幾何性質(zhì)可知,所以,,當(dāng)直線與直線垂直時(shí),取最小值,則取最小值,且,則,則,由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在上為增函數(shù),且,故函數(shù)在上為減函數(shù),故當(dāng)時(shí),取得最大值.故選:C.解析:圓的標(biāo)
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