2022年高考數學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設雙曲線（，）的一條漸近線與拋物線有且只有一個公共點，且橢圓的焦距為2，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．2．關于圓周率，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發，某同學通過下面的隨機模擬方法來估計的值：先用計算機產生個數對，其中，都是區間上的均勻隨機數，再統計，能與構成銳角三角形三邊長的數對的個數﹔最后根據統計數來估計的值.若，則的估計值為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點，坐標原點為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．若復數是純虛數，則()A．3 B．5 C． D．5．若單位向量，夾角為，，且，則實數（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－16．已知，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．我國古代數學家秦九韶在《數書九章》中記述了“三斜求積術”，用現代式子表示即為：在中，角所對的邊分別為，則的面積.根據此公式，若，且，則的面積為（）A． B． C． D．8．已知，，那么是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．高三珠海一模中，經抽樣分析，全市理科數學成績X近似服從正態分布，且．從中隨機抽取參加此次考試的學生500名，估計理科數學成績不低于110分的學生人數約為（）A．40 B．60 C．80 D．10010．已知、，，則下列是等式成立的必要不充分條件的是（）A． B．C． D．11．設，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，，則.其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④12．已知函數，，若成立，則的最小值為（）A．0 B．4 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數（為虛數單位）為純虛數，則實數的值為_____．14．已知等差數列的各項均為正數，，且，若，則________.15．某高校開展安全教育活動，安排6名老師到4個班進行講解，要求1班和2班各安排一名老師，其余兩個班各安排兩名老師，其中劉老師和王老師不在一起，則不同的安排方案有________種.16．設，分別是橢圓C：（）的左、右焦點，直線l過交橢圓C于A，B兩點，交y軸于E點，若滿足，且，則橢圓C的離心率為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數，其中．（Ⅰ）當為偶函數時，求函數的極值；（Ⅱ）若函數在區間上有兩個零點，求的取值范圍．18．（12分）隨著現代社會的發展，我國對于環境保護越來越重視，企業的環保意識也越來越強.現某大型企業為此建立了5套環境監測系統，并制定如下方案：每年企業的環境監測費用預算定為1200萬元，日常全天候開啟3套環境監測系統，若至少有2套系統監測出排放超標，則立即檢查污染源處理系統；若有且只有1套系統監測出排放超標，則立即同時啟動另外2套系統進行1小時的監測，且后啟動的這2套監測系統中只要有1套系統監測出排放超標，也立即檢查污染源處理系統.設每個時間段（以1小時為計量單位）被每套系統監測出排放超標的概率均為，且各個時間段每套系統監測出排放超標情況相互獨立.（1）當時，求某個時間段需要檢查污染源處理系統的概率；（2）若每套環境監測系統運行成本為300元/小時（不啟動則不產生運行費用），除運行費用外，所有的環境監測系統每年的維修和保養費用需要100萬元.現以此方案實施，問該企業的環境監測費用是否會超過預算(全年按9000小時計算)？并說明理由.19．（12分）已知函數.（1）求不等式的解集；（2）若存在實數，使得不等式成立，求實數的取值范圍.20．（12分）已知非零實數滿足．（1）求證：；（2）是否存在實數，使得恒成立？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由21．（12分）已知函數，.(1)求的值；(2)令在上最小值為，證明：.22．（10分）如圖，在三棱錐中，，，側面為等邊三角形，側棱.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐外接球的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

設雙曲線的漸近線方程為，與拋物線方程聯立，利用，求出的值，得到的值，求出關系，進而判斷大小，結合橢圓的焦距為2，即可求出結論.【詳解】設雙曲線的漸近線方程為，代入拋物線方程得，依題意，，橢圓的焦距，，雙曲線的標準方程為.故選:B.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單幾何性質，要注意雙曲線焦點位置，屬于中檔題.2．B【解析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出，能與構成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機模擬方法得到，能與構成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計出.【詳解】因為，都是區間上的均勻隨機數，所以有，，若，能與構成銳角三角形三邊長，則，由幾何概型的概率計算公式知，所以.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數模擬法估計概率，考查學生的基本計算能力，是一個中檔題.3．B【解析】

由題可知，，再結合雙曲線第一定義，可得，對有，即，解得，再對，由勾股定理可得，化簡即可求解【詳解】如圖，因為，所以.因為所以.在中，，即，得，則.在中，由得.故選：B【點睛】本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質的應用，屬于中檔題4．C【解析】

先由已知，求出，進一步可得，再利用復數模的運算即可【詳解】由z是純虛數，得且，所以，.因此，.故選：C.【點睛】本題考查復數的除法、復數模的運算，考查學生的運算能力，是一道基礎題.5．D【解析】

利用向量模的運算列方程，結合向量數量積的運算，求得實數的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查向量模的運算，考查向量數量積的運算，屬于基礎題.6．D【解析】

“是的充分不必要條件”等價于“是的充分不必要條件”，即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知：可化簡為，，所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集，所以.【點睛】利用原命題與其逆否命題的等價性，對是的充分不必要條件進行命題轉換，使問題易于求解.7．A【解析】

根據，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因為，所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8．B【解析】

由，可得，解出即可判斷出結論．【詳解】解：因為，且．，解得．是的必要不充分條件．故選：．【點睛】本題考查了向量數量積運算性質、三角函數求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．9．D【解析】

由正態分布的性質，根據題意，得到，求出概率，再由題中數據，即可求出結果.【詳解】由題意，成績X近似服從正態分布，則正態分布曲線的對稱軸為，根據正態分布曲線的對稱性，求得，所以該市某校有500人中，估計該校數學成績不低于110分的人數為人，故選:.【點睛】本題考查正態分布的圖象和性質,考查學生分析問題的能力,難度容易.10．D【解析】

構造函數，，利用導數分析出這兩個函數在區間上均為減函數，由得出，分、、三種情況討論，利用放縮法結合函數的單調性推導出或，再利用余弦函數的單調性可得出結論.【詳解】構造函數，，則，，所以，函數、在區間上均為減函數，當時，則，；當時，，.由得.①若，則，即，不合乎題意；②若，則，則，此時，，由于函數在區間上單調遞增，函數在區間上單調遞增，則，；③若，則，則，此時，由于函數在區間上單調遞減，函數在區間上單調遞增，則，.綜上所述，.故選：D.【點睛】本題考查函數單調性的應用，構造新函數是解本題的關鍵，解題時要注意對的取值范圍進行分類討論，考查推理能力，屬于中等題.11．C【解析】

根據線面平行或垂直的有關定理逐一判斷即可.【詳解】解：①：、也可能相交或異面，故①錯②：因為，，所以或，因為，所以，故②對③：或，故③錯④：如圖因為，，在內過點作直線的垂線，則直線，又因為，設經過和相交的平面與交于直線，則又，所以因為，，所以，所以，故④對.故選：C【點睛】考查線面平行或垂直的判斷，基礎題.12．A【解析】

令，進而求得，再轉化為函數的最值問題即可求解.【詳解】∵∴（），∴，令：，，在上增，且，所以在上減，在上增，所以，所以的最小值為0.故選：A【點睛】本題主要考查了導數在研究函數最值中的應用，考查了轉化的數學思想，恰當的用一個未知數來表示和是本題的關鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用復數的乘法求解再根據純虛數的定義求解即可.【詳解】解：復數為純虛數,解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查了根據復數為純虛數求解參數的問題,屬于基礎題.14．【解析】

設等差數列的公差為，根據，且，可得，解得，進而得出結論.【詳解】設公差為，因為，所以，所以，所以故答案為：【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式、需熟記公式，屬于基礎題.15．156【解析】

先考慮每班安排的老師人數，然后計算出對應的方案數，再考慮劉老師和王老師在同一班級的方案數，兩者作差即可得到不同安排的方案數.【詳解】安排6名老師到4個班則每班老師人數為1，1，2，2，共有種，劉老師和王老師分配到一個班，共有種，所以種.故答案為：.【點睛】本題考查排列組合的綜合應用，難度一般.對于分組的問題，首先確定每組的數量，對于其中特殊元素，可通過“正難則反”的思想進行分析.16．【解析】

采用數形結合，計算以及，然后根據橢圓的定義可得，并使用余弦定理以及，可得結果.【詳解】如圖由，所以由，所以又，則所以所以化簡可得：則故答案為：【點睛】本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用，關鍵在于根據角度求出線段的長度，考查分析能力以及計算能力，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）極小值，極大值；（Ⅱ）或【解析】

（Ⅰ）根據偶函數定義列方程，解得.再求導數，根據導函數零點列表分析導函數符號變化規律，即得極值，（Ⅱ）先分離變量，轉化研究函數，，利用導數研究單調性與圖象，最后根據圖象確定滿足條件的的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）由函數是偶函數，得，即對于任意實數都成立，所以.此時，則.由，解得.當x變化時，與的變化情況如下表所示：00↘極小值↗極大值↘所以在，上單調遞減，在上單調遞增.所以有極小值，有極大值.（Ⅱ）由，得.所以“在區間上有兩個零點”等價于“直線與曲線，有且只有兩個公共點”.對函數求導，得.由，解得，.當x變化時，與的變化情況如下表所示：00↘極小值↗極大值↘所以在，上單調遞減，在上單調遞增.又因為，，，，所以當或時，直線與曲線，有且只有兩個公共點.即當或時，函數在區間上有兩個零點.【點睛】利用函數零點的情況求參數值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解.(2)分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.(3)轉化為兩熟悉的函數圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.18．（1）；（2）不會超過預算，理由見解析【解析】

（1）求出某個時間段在開啟3套系統就被確定需要檢查污染源處理系統的概率為,某個時間段在需要開啟另外2套系統才能確定需要檢查污染源處理系統的概率為，可得某個時間段需要檢查污染源處理系統的概率；（2）設某個時間段環境監測系統的運行費用為元，則的可能取值為900，1500.求得，，求得其分布列和期望，對其求導，研究函數的單調性，可得期望的最大值，從而得出結論.【詳解】（1）某個時間段在開啟3套系統就被確定需要檢查污染源處理系統的概率為,某個時間段在需要開啟另外2套系統才能確定需要檢查污染源處理系統的概率為某個時間段需要檢查污染源處理系統的概率為.（2）設某個時間段環境監測系統的運行費用為元，則的可能取值為900，1500.，令,則當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減,的最大值為,實施此方案，最高費用為（萬元），，故不會超過預算.【點睛】本題考查獨立重復事件發生的概率、期望，及運用求導函數研究期望的最值，由根據期望值確定方案，此類題目解決的關鍵在于將生活中的量轉化為數學中和量，屬于中檔題.19．（1）；（2）.【解析】

（1）將函數的解析式表示為分段函數，然后分、、三段求解不等式，綜合可得出不等式的解集；（2）求出函數的最大值，由題意得出，解此不等式即可得出實數的取值范圍.【詳解】.（1）當時，由，解得，此時；當時，由，解得，此時；當時，由，解得，此時.綜上所述，不等式的解集；（2）當時，函數單調遞增，則；當時，函數單調遞減，則，即；當時，函數單調遞減，則.綜上所述，函數的最大值為，由題知，，解得.因此，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了絕對值不等式中的參數問題，考查分類討論思想的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.20．（1）見解析（2）存在，【解析】

（1）利用作差法即可證出.（2）將不等式通分化簡可得，討論或，分離參數，利用基本不等式即可求解.【詳解】又即即①當時，即恒成立（當且僅當時取等號），故②當時恒成立（當且僅當時取等號），故綜上，【點睛】本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類討論的思想，屬于基礎題.21．(1)；(2)見解析．【解析】

(1)將轉化為對任意恒成立，令，故只需，即可求出的值；(2)由(1)知，可得，令，可證，使得，從而可確定在上單調遞減，在上單調遞增，進而可得，即，即可證出．【詳解】函數