PAGEPAGE7數學習題課教學模式探討江北高級中學楊后瓊郝安軍眾所周知，教會學生解題是中學數學教學的首要任務。提高學生的成績，分析問題和解決問題的能力，提升其思維水平更是重中之重。由于數學知識嚴密的邏輯性與高度的概括性,在例、習題中,還隱藏很多沒寫明的東西。即使最簡單的例、習題里,也存在著可開掘的因素,而這些往往并不是學生們所能領會的.習題課是以穩固知識、訓練技能技巧、開展思維為主要任務的課。因此,習題課的設計要按照整體、有序和適度原那么,做到有目的、有實效、有層次,逐步提高,防止簡單的機械重復和單一模式化…,需要注意的是,習題課中不僅要求學生得到正確的計算結果,更要重視計算過程,注重思維訓練,讓學生有所“悟〞.對于“悟〞,分三個層次其一是要明確每一道習題考查那些知識點〔課本上的哪些根底知識〕要求的層次；其二是讓學生做完一道習題后,反思一下,到底解題關鍵、困難在哪里自己在思考過程中有哪些障礙,可以總結那些經驗；其三是引導學生觀察、比擬分析每個條件的作用,〔包括小條件〕讓學生從不同的角度運用不同的知識和方法處理問題,從而提高分析、探索能力和創造能力。由此，我們高中數學組積極探索“三環九步〞教學的課堂。“三環〞即預習環節〔包含依案預習、預習檢測、預習展示三步〕，交流環節〔包含合作探究、交流展示、點評凝練三步〕，反應環節〔包含當堂檢測、歸納提升、課后練習三步〕。目前我們通過實踐對于習題課的根本流程作一簡單總結。習題課教學模式第一步：課前預習、回歸教材，夯實根底教師：〔1〕整體把握教材，將習題課納入教學方案。〔2〕做好習題課的準備工作。

①精選例題，②要認真考慮教學方法，③要認真配置好課內外的練習題。學生：認真復習相關知識，如課本、資料等，完成課前準備區，加強習題研究，尋找最優方法或一題多解，到達舉一反三，觸類旁通。通過自測自批，發現預習過程中存在的問題及時做好標注。第二步：課堂探究、交流展示。步驟一：自主糾錯教師：應根據教學內容以及學生的認知程度，編制一份練習題，它以題組形式出現，題型要表達多樣性，內容要表達層次性〔分為根本練習、深化練習、綜合練習〕，結構要表達完整性，能表達知識和方法。學生：認真、標準、高效地完成老師布置的課堂練習題。對于有疑問或不會的題目要作出相應的標記。學生對照答案，自我批閱或同學間批閱，尋找自己錯誤的原因。步驟二：合作交流教師：要參與小組的探究學習和交流展示，并進行巡視引導，了解和發現小組學習過程中學生存在的問題和需要精講的問題。學生：〔1〕組內交流：在獨立完成學習任務后，進行小組內合作交流，互相討論。在小組內重點交流做標記題目，由學生提出不會的問題由會做的同學進行講解，展示思路。在這個階段主要由學生給學生講解，從而到達讓學生互相學習、共同提高的目的。組內都不會或不能達成共識的問題應反應給老師。〔2〕班內展示：小組代表展示本組的解題方法、一題多解情況。通過多個小組代表展示，引發全班同學的討論，達成共識優秀成果，修正問題成果。步驟三：精講點撥教師：針對學生存在的問題，找準切入點，進行方法指導。例如從何處分析，為什么這樣分析，有哪些方法和技巧，如何挖掘隱含條件，如何排除思維障礙。這是習題訓練課的開展局部，重在解法的強化、規律的總結等。學生：認真聽講，做好筆記，對教師精講的知識、方法、技巧、規律等要及時總結、歸納、整理，做到堂堂清、日日清。總結知識點、提練歸納數學思想。第三步：穩固擴展課堂、課堂反應：教師：針對有代表性的共性題設計相應的變式練習。反復訓練，以練促思，以練促改，舉一反三。通過練習，讓學生穩固知識，掌握方法、思路、規律。課堂中的重點習題，要研討解法與思維方法，探討解決問題的不同方法，對題目進行變式訓練與歸類比擬。學生：在規定時間內完成課后練習題，同時能針對不同題型歸納總結出解決問題的方法，學會讀題、審題、解題。完成課堂小結。課后教師：針對出錯多的練習題目，再設計類似的分層次的強化訓練題，以檢查學生改錯程度和掌握程度。教師要要設法檢查學生復習、整理的情況。學生：對課堂上教師點撥的內容進行復習、整理、穩固。完成相關分層次強化訓練題，總結深化審題、標準解答和解題方法，學生完成相應的課后習題。在習題課的設計中教師要充分了解學情，以學生的根底與認知水平設置習題，切忌盲目的照搬和設置太難的題目。通過數學組教師的具體實踐，習題課的設計中有以下幾點想法：〔1〕目標要明確。問題設計必須以教學目的為指南，以課程標準，高考考試大綱為依據，圍繞教學任務設問。教師要盡量了解學生的情況和教材的內容，善于從教材中挖掘問題，從學生的現實生活中挖掘問題，使問題的內容緊扣教材的重點，難點、關鍵。〔2〕難度要適中。問題的難易程度直接影響學生學習的興趣和動機。過于簡單的問題，學生探索過程感到索然無味，過深難的問題，超出學生的實際水平，使學生茫然或理不出思路，學生思而不得，探而無獲，這樣的問題顯然沒有討論的價值，久而久之，學生對問題的探究失去動力和興趣。因此設計問題一定要從學生的實際出發，既要考慮學生的現有知識水平，又要考慮學生的思維特點和心理狀況，使學生經過一定的努力，能夠享受到成功的喜悅。〔3〕梯度要合理。學生對問題的認識總是從已有的知識和經驗出發，問題的安排順序要與思維開展的順序相一致，問題的設計必須是階梯式上升，由淺入深、從易到難，由小到大，由收斂到發散，由定向到開放。問題有恰當的坡度，保證學生思維的連續和暢通，使學生在探究過程中不斷產生認知沖突，從解答問題中領悟到獲取新知識的體驗。〔4〕例題選取要具有典型性、代表性、針對性。題目的內容應能充分反映數學的知識性和應用性，練習的深廣度和難易水平要正確地反映教學大綱的要求。同時題目能反映分析和處理數學問題的一般方法。題目本身不易過多、過繁，可用一題多變的方法，不斷改變條件，逐步引伸，要防止過于繁雜的數字運算。〔5〕角度要新穎，新、老題交匯，以過去高考題為引領。同一內容，同一知識點對于高考試題如果變換一下角度，使其成為富有新意、形式新穎的問題，學生就會興趣盎然，樂于作答。〔6〕習題的選取能盡量聯系知識的交匯點。以上只是對于習題課教學模式的一些想法，教師應具體的內容具體對待，在教學中以學生為主體逐步完善高效課堂建設。附習題課導學案探究點一函數單調性的判定及證明例1設函數f(x)＝eq\f(x＋a,x＋b)(a>b>0)，求f(x)的單調區間，并說明f(x)在其單調區間上的單調性．變式遷移1f(x)是定義在R上的增函數，對x∈R有f(x)>0，且f(5)＝1，設F(x)＝f(x)＋eq\f(1,f(x))，討論F(x)的單調性，并證明你的結論．探究點二函數的單調性與最值例2(2023·煙臺模擬)函數f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)．(1)當a＝eq\f(1,2)時，求函數f(x)的最小值；(2)假設對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，試求實數a的取值范圍．變式遷移2函數f(x)＝x－eq\f(a,x)＋eq\f(a,2)在(1，＋∞)上是增函數，求實數a的取值范圍．探究點三抽象函數的單調性例3(2023·廈門模擬)函數f(x)對于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x>0時，f(x)<0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求證：f(x)在R上是減函數；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．變式遷移3定義在區間(0，＋∞)上的函數f(x)滿足f(eq\f(x1,x2))＝f(x1)－f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調性；(3)假設f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.分類討論及數形結合思想例(12分)求f(x)＝x2－2ax－1在區間[0,2]上的最大值和最小值．【突破思維障礙】(1)二次函數的單調區間是由圖象的對稱軸確定的．故只需確定對稱軸與區間的關系．由于對稱軸是x＝a，而a的取值不定，從而導致了分類討論．(2)不是應該分a<0,0≤a≤2，a>2三種情況討論嗎？為什么成了四種情況？這是由于拋物線的對稱軸在區間[0,2]所對應的區域時，最小值是在頂點處取得，但最大值卻有可能是f(0)，也有可能是f(2)．課堂小結1．函數的單調性的判定與單調區間確實定常用方法有：(1)定義法；(2)導數法；(3)圖象法；(4)單調性的運算性質．2．假設函數f(x)，g(x)在區間D上具有單調性，那么在區間D上具有以下性質：(1)f(x)與f(x)＋C具有相同的單調性．(2)f(x)與af(x)，當a>0時，具有相同的單調性，當a<0時，具有相反的單調性．(3)當f(x)恒不等于零時，f(x)與eq\f(1,f(x))具有相反的單調性．(4)當f(x)，g(x)都是增(減)函數時，那么f(x)＋g(x)是增(減)函數．(5)當f(x)，g(x)都是增(減)函數時，那么f(x)·g(x)當兩者都恒大于零時，是增(減)函數；當兩者都恒小于零時，是減(增)函數．課后作業一、選擇題(每題5分，共25分)1．(2023·泉州模擬)“a＝1”是“函數f(x)＝x2－2ax＋3在區間[1，＋∞)上為增函數的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．(2023·天津)函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))假設f(2－a2)>f(a)，那么實數a的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．(2023·寧夏，海南)用min{a，b，c}表示a，b，c三個數中的最小值．設f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，那么f(x)的最大值為()A．4B．5 C．6D．4．(2023·丹東月考)假設f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝eq\f(a,x＋1)在區間[1,2]上都是減函數，那么a的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1]5．(2023·葫蘆島模擬)定義在R上的增函數f(x)，滿足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0B．一定小于0C．等于0D．正負都有可能題號12345答案二、填空題(每題4分，共12分)6．函數y＝－(x－3)|x|的遞增區間是________．7．設f(x)是增函數，那么以下結論一定正確的是________(填序號)．①y＝[f(x)]2是增函數；②y＝eq\f(1,f(x))是減函數；③y＝－f(x)是減函數；④y＝|f(x)|是增函數．8．設0<x<1，那么函數y＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－x)的最小值是________．三、解答題(共38分)9．(12分)(2023·湖州模擬)函數f(x)＝a－eq\f(1,|x|).(1)求證：函數y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數；(2)假設f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求實數a的取值范圍．10〔12〕